【数学】2019届一轮复习北师大版5-3平面向量的数量积学案 16页

‎§5.3　平面向量的数量积 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.‎ ‎1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．‎ ‎2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 ‎|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，‎ ‎|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 ‎3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 ‎(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0.‎ ‎(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；‎ 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.‎ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(4)cos θ＝.‎ ‎(5)|a·b|≤|a||b|.‎ ‎4．平面向量数量积满足的运算律 ‎(1)a·b＝b·a；‎ ‎(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；‎ ‎(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.‎ ‎(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝ .‎ 知识拓展 ‎1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；‎ 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．‎ ‎2．平面向量数量积运算的常用公式 ‎(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.‎ ‎(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.‎ ‎(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　)‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)‎ ‎(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)‎ ‎(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是.(　×　)‎ ‎(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P105例4]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.‎ 答案　12‎ 解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，‎ 由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，‎ ‎∴10＋2－k＝0，解得k＝12.‎ ‎3．[P106T3]已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．‎ 答案　－2‎ 解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为 ‎|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．‎ 答案　 解析　a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，‎ 所以a·b＝－1×＋2×1＝.‎ ‎5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为________．‎ 答案　 解析　＝(2,1)，＝(5,5)，‎ 由定义知，在方向上的投影为＝＝.‎ ‎6．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.‎ 答案　－ 解析　∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，‎ ‎∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，‎ ‎∴a·b＋b·c＋a·c＝－.‎ 题型一　平面向量数量积的运算 ‎1．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)‎ A．20 B. 15 C．9 D．6‎ 答案　C 解析　＝＋，‎ ＝－＝－＋，‎ ‎∴·＝(4＋3)·(4－3)‎ ‎＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，故选C.‎ ‎2．(2018届“超级全能生”全国联考)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于(　　)‎ A．16 B．12‎ C．8 D．－4‎ 答案　A 解析　以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)，‎ 设E(0，t)，·＝(2,3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，t＝，‎ 即E，·＝·(0,6)＝16.故选A.‎ 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法 ‎(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎(3)利用数量积的几何意义求解．‎ 题型二　平面向量数量积的应用 命题点1　求向量的模 典例 (1)(2018届广州海珠区综合测试)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，则|b|等于(　　)‎ A．4 B．2‎ C. D．1‎ 答案　D 解析　由|a－2b|＝2，‎ 得(a－2b)2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝4，‎ 即|a|2－4|a||b|cos 60°＋4|b|2＝4，‎ 则|b|2－|b|＝0，解得|b|＝0(舍去)或|b|＝1，故选D.‎ ‎(2)(2017·衡水调研)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．‎ 答案　5‎ 解析　建立平面直角坐标系如图所示，‎ 则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．‎ 所以|＋3|‎ ‎＝(0≤y≤b)．‎ 当y＝b时，|＋3|min＝5.‎ 命题点2　求向量的夹角 典例 (1)(2017·山西四校联考)已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为______．‎ 答案　 解析　∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，‎ 又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝－，‎ 又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.‎ ‎(2)(2018届吉林百校联盟联考)已知单位向量e1与e2的夹角为，向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为，则λ等于(　　)‎ A．－ B．－3‎ C．－或－3 D．－1‎ 答案　B 解析　依题意可得 ‎|e1＋2e2|＝＝，‎ 同理，|2e1＋λe2|＝，‎ 而(e1＋2e2)·(2e1＋λe2)＝4＋λ，‎ 又向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为，‎ 可知＝＝－，‎ 由此解得λ＝－或－3，又4＋λ<0，‎ ‎∴λ＝－3.‎ 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 ‎①写出有关向量的坐标，利用公式|a|＝即可．‎ ‎②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|＝.‎ ‎(2)求平面向量的夹角的方法 ‎①定义法：cos θ＝，注意θ的取值范围为[0，π]．‎ ‎②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝ .‎ ‎③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．‎ 跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.‎ 答案　2 解析　方法一　|a＋2b|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ 方法二　(数形结合法)‎ 由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，‎ 如图，‎ 则|a＋2b|＝||.‎ 又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.‎ ‎(2)(2017·山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是____________．‎ 答案　 解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，‎ ‎|e1－e2|＝＝ ‎＝＝2.‎ 同理|e1＋λe2|＝.‎ 所以cos 60°＝ ‎＝＝＝，‎ 解得λ＝.‎ 题型三　平面向量与三角函数 典例 (2017·广州海珠区摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．‎ 解　(1)由m·n＝－，‎ 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，‎ 所以cos A＝－.‎ 因为0b，所以A>B，则B＝，‎ 由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，‎ 解得c＝1.‎ 故向量在方向上的投影为 ‎||cos B＝ccos B＝1×＝.‎ 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 ‎(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．‎ ‎(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．‎ 跟踪训练 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.‎ ‎(1)若m⊥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若m与n的夹角为，求x的值．‎ 解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.‎ 所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，‎ 所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.‎ ‎(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，‎ 即sin x－cos x＝，所以sin＝，‎ 因为0|b|‎ 答案　A 解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，‎ ‎∴|a＋b|2＝|a－b|2.‎ ‎∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.‎ ‎∴a·b＝0.∴a⊥b.‎ 故选A.‎ 方法二　利用向量加法的平行四边形法则．‎ 在▱ABCD中，设＝a，＝b，‎ 由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，‎ 从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.‎ ‎2．(2018届河北武邑中学调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(1,3)，则向量2a－b与a的夹角为(　　)‎ A．135° B．60°‎ C．45° D．30°‎ 答案　C 解析　由题意可得2a－b＝2(2,1)－(1,3)＝(3，－1)，‎ 则|2a－b|＝＝，|a|＝＝，‎ 且(2a－b)·a＝(3，－1)·(2,1)＝6－1＝5，‎ 设所求向量的夹角为θ，由题意可得cos θ＝＝＝，‎ 则向量2a－b与a的夹角为45°.‎ ‎3．(2017·豫南九校联考)已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则等于(　　)‎ A．－ B．1 C．2 D. 答案　B 解析　∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则2a－b＝(0,5)，‎ a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，‎ ‎|2a－b|＝5，∴＝＝1，故选B.‎ ‎4．(2018·乐山质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　在△ABC中，cos∠BAC＝ ‎＝＝，‎ ‎∴·＝||||cos∠BAC＝3×2×＝.‎ ‎5．(2017·沈阳质检)在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由|＋|＝|－|，化简得·＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，‎ 所以＝，＝，‎ 所以·＝×＋×＝.‎ ‎6．(2017·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　因为(－)·(＋－2)＝0，‎ 即·(＋)＝0，因为－＝，‎ 所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，‎ 所以△ABC是等腰三角形，故选C.‎ ‎7．(2017·全国Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.‎ 答案　7‎ 解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，‎ ‎∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．‎ 又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，‎ 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，‎ 解得m＝7.‎ ‎8．(2018·银川质检)已知向量a，b的夹角为，|a|＝，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________.‎ 答案　6‎ 解析　a·(a－2b)＝a2－2a·b ‎＝2－2××2×＝6.‎ ‎9．(2018届吉林长春普通高中一模)已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.‎ 答案　2‎ 解析　因为平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，所以由题意可知，a，b，c的夹角为120°，又|a|＝|b|＝1，|c|＝3，所以a·b＝－，a·c＝b·c＝－，|a＋b＋c|＝ ＝2.‎ ‎10．(2017·巢湖质检)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．‎ 答案　∪∪ 解析　a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则 解得λ<－或0<λ<或λ>，‎ 所以λ的取值范围是∪∪.‎ ‎11．(2018·贵阳质检)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ 解　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，‎ 所以a·b＝－6，‎ 所以cos θ＝＝＝－.‎ 又0≤θ≤π，所以θ＝.‎ ‎(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，‎ 所以|a＋b|＝.‎ ‎(3)因为与的夹角θ＝，‎ 所以∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ 所以S△ABC＝||||·sin∠ABC ‎＝×4×3×＝3.‎ ‎12．(2017·江苏)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ 解　(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，‎ 所以－cos x＝3sin x.‎ 若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，‎ 故cos x≠0.于是tan x＝－.‎ 又x∈[0，π]，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)‎ ‎＝3cos x－sin x ‎＝2cos.‎ 因为x∈[0，π]，所以x＋∈，‎ 从而－1≤cos≤，‎ 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.‎ ‎13．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且＋＋＝0，则向量在向量 方向上的投影为(　　)‎ A．3 B. C．－3 D．－ 答案　B 解析　△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且＋＋＝0，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴四边形OBAC为平行四边形．‎ ‎∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，∴||＝||＝||，‎ ‎∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO＝∠ACO＝60°，因此，∠ACB＝∠ACO＝30°，‎ ‎∴向量在方向上的投影为||×cos∠ACB＝2cos 30°＝，故选B.‎ ‎14．(2017·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．‎ 答案　 解析　不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，‎ 线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．‎ 设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0