【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第三章第1讲　导数的概念及运算学案 16页

知识点 考纲下载 导数概念及其几何意义，导数的运算 ‎ 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．‎ ‎ 能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝的导数．‎ ‎ 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.‎ 导数在研究函数中的应用 ‎ 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．‎ ‎ 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．‎ ‎ 会利用导数解决某些实际问题.‎ 第1讲　导数的概念及运算 ‎1．导数的概念 ‎(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ ．‎ ‎(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎(3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．‎ ‎2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝nxn－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0且a≠1)‎ f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)‎ f′(x)＝ f(x)＝ln x(x>0)‎ f′(x)＝ ‎3.导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　)‎ ‎(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)‎ ‎(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)‎ ‎(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)‎ ‎(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎ (教材习题改编)函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　)‎ A．xsin x　　　　　　　　 B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 解析：选B．y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.‎ ‎ (教材习题改编)函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(　　)‎ 解析：选B．由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.‎ ‎ 已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选D.f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，所以a＝.‎ ‎ (教材习题改编)函数y＝xln x与x轴的交点为P，则曲线y＝xln x在点P处的切线方程为________．‎ 解析：由y＝0得xln x＝0，即x＝1，‎ 所以P点的坐标为(1，0)．‎ 又y′＝ln x＋1，所以曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝1＝ln 1＋1＝1.‎ 故切线方程为y＝x－1.‎ 答案：y＝x－1‎ ‎ 若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ 解析：设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，‎ 所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，‎ 所以－x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2，‎ 所以y0＝eln 2＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)．‎ 答案：(－ln 2，2)‎ 导数的计算 ‎[典例引领]‎ ‎ 求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x2sin x；‎ ‎(2)y＝ln x＋；‎ ‎(3)y＝.‎ ‎【解】　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.‎ ‎(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.‎ ‎(3)y′＝′＝＝－.‎ ‎[注意]　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0＝(　　)‎ A．e2 B．1‎ C．ln 2 D．e 解析：选B．因为f(x)＝x(2 017＋ln x)，‎ 所以f′(x)＝2 017＋ln x＋1＝2 018＋ln x，‎ 又f′(x0)＝2 018，‎ 所以2 018＋ln x0＝2 018，所以x0＝1.‎ ‎2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)‎ A．－e B．－1‎ C．1 D．e 解析：选B．因为f(x)＝2xf′(1)＋ln x，‎ 所以f′(x)＝2f′(1)＋，‎ 所以f′(1)＝2f′(1)＋1，‎ 即f′(1)＝－1.‎ 导数的几何意义(高频考点)‎ 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：‎ ‎(1)求切线方程；‎ ‎(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；‎ ‎(3)已知切线方程(或斜率)求参数值；‎ ‎(4)导数与函数图象的关系．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　求切线方程 ‎ (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1，2)处的切线方程为_____________．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．‎ ‎【解析】　(1)因为y′＝2x－，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.‎ ‎(2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，‎ 所以设切点为(x0，y0)．‎ 又因为f′(x)＝1＋ln x，所以 解得x0＝1，y0＝0.‎ 所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln 1＝1.‎ 所以直线l的方程为y＝x－1.‎ ‎【答案】　(1)y＝x＋1　(2)y＝x－1‎ ‎ 角度二　已知切线方程(或斜率)求切点坐标 ‎ (2018·广州综合测试(一))设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为(　　)‎ A．(0，0)　　　　　　　 B．(1，－1)‎ C．(－1，1) D．(1，－1)或(－1，1)‎ ‎【解析】　由f(x)＝x3＋ax2得f′(x)＝3x2＋2ax，记y0＝f(x0)，‎ 由题可得 由①②可得x＋ax＝－x0，即x0(x＋ax0＋1)＝0.④‎ 由③可得3x＋2ax0＋1＝0.⑤‎ 由⑤可得x0≠0，所以④式可化为x＋ax0＋1＝0.⑥‎ 由⑤⑥可得x0＝±1，代入②式得或 即P(1，－1)或P(－1，1)．故选D.‎ ‎【答案】　D ‎ 角度三　已知切线方程(或斜率)求参数值 ‎ 已知函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然对数的底数，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则a＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．2 D．－2‎ ‎【解析】　f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)′‎ ‎＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex＝[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex，‎ 故f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1.‎ 因为f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，‎ 故f′(0)＝1，即a－1＝1，解得a＝2.‎ ‎【答案】　C ‎ 角度四　导数与函数图象的关系 ‎ (1)(2017·高考浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)‎ ‎(2)如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(　　)‎ ‎【解析】　(1)不妨设导函数y＝f′(x)的零点依次为x1，x2，x3，其中x1<00，排除B，故选D.‎ ‎(2)函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0，2)时，S＝f(x)是随着x的增大而增大，且增长速度越来越快，即y＝f′(x)也为增函数，且f′(x)>0.当x∈[2，3]时，S＝f(x)也是随着x的增大而增大的，但增长速度越来越慢，即y＝f′(x)为减函数且f′(x)>0.当x∈(3，＋∞)时，面积S没有变化．故选D.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)D 导数几何意义的应用类型及求解思路 ‎(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．‎ ‎(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．‎ ‎(3)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.‎ ‎(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)‎ 解析：选D.由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A、C．又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故排除B．‎ ‎2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)‎ A．3 B．2‎ C．1 D． 解析：选A．因为y′＝－，令y′＝，解得x＝3，即切点的横坐标为3.‎ ‎3．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于________．‎ 解析：依题意知，y′＝3x2＋a，则 由此解得所以2a＋b＝1.‎ 答案：1‎ 两条曲线的公切线 ‎[典例引领]‎ ‎ 已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．‎ ‎【解析】　法一：因为 y＝x＋ln x，所以y′＝1＋，y′|x＝1＝2.‎ 所以曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.‎ 因为 y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，‎ 所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．‎ 由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.‎ 由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.‎ 法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.‎ 设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．因为 y′＝2ax＋(a＋2)，‎ 所以y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．‎ 由解得 ‎【答案】　8‎ 求两条曲线的公切线的方法 ‎(1)利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解．‎ ‎(2)利用公切线得出关系式．‎ 设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，y1)，在y＝g(x)上的切点P2(x2，y2)，则f′(x1)＝g′(x2)＝.　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．曲线y＝ln x的切线l：x－y＋m＝0与曲线y＝x2＋a也相切，则m＋a＝________．‎ 解析：设直线l：x－y＋m＝0与曲线y＝ln x相切于点(x0，ln x0)．‎ 由y＝ln x得y′＝，‎ 所以y′|x＝x0＝＝1.所以x0＝1.‎ 所以切点为(1，0)，则1－0＋m＝0，所以m＝－1.‎ 因为曲线y＝x2＋a也与直线x－y－1＝0相切．‎ 由消去y，得x2－x＋a＋1＝0，‎ 所以Δ＝(－1)2－4(a＋1)＝0.所以a＝－.‎ 所以m＋a＝(－1)＋＝－.‎ 答案：－ ‎2．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．‎ 解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.‎ 设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax－a)．‎ 则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax－a＝x0＋1.‎ 解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1，0)．‎ 所以过切点且与该切线垂直的直线方程为 y＝－1·(x＋1)，即x＋y＋1＝0.‎ 答案：x＋y＋1＝0‎ ‎ 导数运算的技巧 ‎(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商等形式，‎ 再利用运算法则求导数．‎ ‎(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．‎ ‎ 理解“直线与曲线相切”需注意两点 ‎(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切 线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明此直线与曲线只有一个公共点．‎ ‎(2)曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线y＝0是曲线y＝x3在点(0，0)处的切线．‎ ‎ 求曲线的切线方程应注意的问题 ‎(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.‎ ‎(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．　　　 ‎ ‎1．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 解析：选C．因为f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，所以f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－.‎ ‎2．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为(　　)‎ A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0‎ C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0‎ 解析：选C．由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.‎ ‎3．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝(　　)‎ A．－6 B．－8‎ C．6 D．8‎ 解析：选D.因为f′(x)＝4ax3－bsin x＋7.‎ 所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsin x＋7.‎ 所以f′(x)＋f′(－x)＝14.‎ 又f′(2 018)＝6，所以f′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.‎ ‎4．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．2 D．4‎ 解析：选B．由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.‎ ‎5．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为(　　)‎ A．1 B． C． D． 解析：选B．因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.‎ ‎6．曲线y＝ln x在与x轴交点处的切线方程为________．‎ 解析：因为曲线y＝ln x与x轴的交点为(1，0)，且函数y＝ln x的导函数为y′＝，所以曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线的斜率为k＝＝1.即过点(1，0)，且斜率为1的直线的方程为y－0＝1(x－1)，整理得x－y－1＝0.‎ 答案：x－y－1＝0‎ ‎7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2 018)＝________．‎ 解析：令ex＝t，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，故f(x)＝ln x＋x.求导得f′(x)＝＋1，故f′(2 018)＝＋1＝.‎ 答案： ‎8．(2017·高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．‎ 解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.‎ 答案：1‎ ‎9．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；‎ ‎(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．‎ 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．‎ ‎(1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1.‎ ‎(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，‎ 所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，‎ 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，‎ 即4a2＋4a＋1>0，‎ 所以a≠－.‎ 所以a的取值范围为∪.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；‎ ‎(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；‎ ‎(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．‎ 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．‎ 因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.‎ 所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，‎ 即y＝13x－32.‎ ‎(2)设切点为(x0，y0)，‎ 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，‎ 所以直线l的方程为 y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，‎ 又因为直线l过点(0，0)，‎ 所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，‎ 整理得，x＝－8，‎ 所以x0＝－2，‎ 所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，‎ k＝3×(－2)2＋1＝13.‎ 所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ ‎(3)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，‎ 所以切线的斜率k＝4.‎ 设切点的坐标为(x0，y0)，‎ 则f′(x0)＝3x＋1＝4，‎ 所以x0＝±1.‎ 所以或 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，‎ 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.‎ 即y＝4x－18或y＝4x－14.‎ ‎1．(2018·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． B．[－，＋∞)‎ C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)‎ 解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.‎ ‎2．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)‎ A．－1 B．－3‎ C．－4 D．－2‎ 解析：选D.因为f′(x)＝，‎ 所以直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，‎ 又f(1)＝0，‎ 所以切线l的方程为y＝x－1.‎ g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，‎ 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，于是解得m＝－2.‎ ‎3．(2018·云南第一次统考)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________．‎ 解析：由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.‎ 答案：4‎ ‎4．设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．‎ 解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)，因为两切线垂直，所以k1 k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1)．‎ 答案：(1，1)‎ ‎5．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．‎ 解：(1)由题意得，y′＝－2x＋.设点P的坐标为(x1，y1)，‎ 则y1＝kx1，①‎ y1＝－x＋x1－4，②‎ ‎－2x1＋＝k，③‎ 联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)．‎ 所以k＝.‎ ‎(2)过P点作切线的垂线，‎ 其方程为y＝－2x＋5.④‎ 将④代入抛物线方程得，‎ x2－x＋9＝0.‎ 设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，‎ 所以x2＝，y2＝－4.‎ 所以Q点的坐标为.‎ ‎6．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，‎ 因为f′(－1)＝0，‎ 所以3a－6－6a＝0，‎ 所以a＝－2.‎ ‎(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，‎ 则设切点为(x0，3x＋6x0＋12)．‎ 因为g′(x0)＝6x0＋6，‎ 所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，‎ 将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.‎ 当x0＝－1时，切线方程为y＝9；‎ 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.‎ 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，‎ ‎①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，‎ 解得x＝－1或x＝2.‎ 在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；‎ 在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，‎ 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.‎ ‎②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，‎ 解得x＝0或x＝1.‎ 在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；‎ 在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，‎ 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.‎ 综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.‎