【数学】2018届一轮复习北师大版第4讲　直接证明与间接证明、数学归纳法学案 13页

第 4 讲　直接证明与间接证明、数学归纳法 [学生用书 P237]) 1．直接证明 直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法． (1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推 理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 综合法又称为：由因导果法(顺推证法)． (2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这 种证明方法叫做分析法． 分析法又称为：执果索因法(逆推证法)． 2．间接证明 反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从 而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 3．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立． 1．辨明三个易误点 (1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即 要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论． (2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假 设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的． (3)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意： ①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题 时要搞清从 n＝k 到 n＝k＋1 增加了哪些项或减少了哪些项． 2．证题的三种思路 (1)综合法证题的一般思路 用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一 般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结 论． (2)分析法证题的一般思路 分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的 充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条 件． (3)反证法证题的一般思路 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排 中律的一般形式是：或者是 A，或者是非 A，即在同一讨论过程中，A 和非 A 有且仅有一个 是正确的，不能有第三种情况出现． 3．明确数学归纳法的两步证明 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范， 两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着 “已知条件”的作用，在 n＝k＋1 时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键 是“一凑假设，二凑结论”． 1. 下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④ 分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有(　　) A．2 个　　　　　　　　 B．3 个 C．4 个 D．5 个 　D　[解析] 由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确． 2．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从 n＝k 到 n＝k＋1， 左边需增添的代数式是(　　) A．2k＋2　　 B．2k＋3 C．2k＋1 D．(2k＋2)＋(2k＋3) [答案] D 3.教材习题改编 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时，应 假设(　　) A．三角形三个内角都不大于 60° B．三角形三个内角都大于 60° C．三角形三个内角至多有一个大于 60° D．三角形三个内角至多有两个大于 60° [答案] B 4．用数学归纳法证明 2n＞2n＋1，n 的第一个取值应是______． [解析] 因为 n＝1 时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1 不成立； n＝2 时，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1 不成立； n＝3 时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1 成立． 所以 n 的第一个取值应是 3. [答案] 3 5．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到边 a 的对角 A 为钝角的结论，三边 a， b，c 应满足________． [解析] 由余弦定理 cos A＝ b2＋c2－a2 2bc <0，所以 b2＋c2－a2<0，即 a2>b2＋c2. [答案] a2>b2＋c2 　综合法[学生用书 P237] [典例引领] 　已知数列{an}满足 a1＝ 1 2且 an＋1＝an－a2n(n∈N*)． (1)证明：1< an an＋1≤2(n∈N*)； (2)设数列{a2n}的前 n 项和为 Sn，证明： 1 2（n＋2）< Sn n ≤ 1 2（n＋1）(n∈N*)． 【证明】　(1)由题意得 an＋1－an＝－a2n<0，即 an＋10. 由 00，b>0，且 a＋b＝ 1 a＋ 1 b.证明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2 与 b2＋b<2 不可能同时成立． 【证明】　由 a＋b＝ 1 a＋ 1 b＝ a＋b ab ，a>0，b>0，得 ab＝1. (1)由基本不等式及 ab＝1，有 a＋b≥2 ab＝2，即 a＋b≥2. (2)假设 a2＋a<2 与 b2＋b<2 同时成立，则由 a2＋a<2 及 a>0，得 00　　　　　　 B．a2＋b2≥2(a－b－1) C．a2＋3ab>2b2 D． a b< a＋1 b＋1 　B　[解析] 在 B 中，因为 a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋ (b＋1)2≥0， 所以 a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立． 4．已知 f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则 f(k＋1)与 f(k)的关系是(　　) A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2 C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2 D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2 　A　[解析] f(k＋1)＝1 2＋22＋32＋…＋(2k) 2＋(2k＋1) 2＋[2(k＋1)] 2＝f(k)＋(2k＋1) 2＋ (2k＋2)2. 5．在△ABC 中，sin Asin C＜cos Acos C，则△ABC 一定是(　　) A．锐角三角形　　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 　C　[解析] 由 sin Asin C＜cos Acos C 得 cos Acos C－sin Asin C＞0， 即 cos(A＋C)＞0，所以 A＋C 是锐角， 从而 B＞ π 2 ，故△ABC 必是钝角三角形． 6．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)单调递减，若 x1＋x2>0，则 f(x1)＋ f(x2)的值(　　) A．恒为负值　　 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 　A　[解析] 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)单调递减，可知 f(x)是 R 上的单调递减函数，由 x1＋x2>0，可知 x1>－x2，f(x1)－1)． h′(x)＝ 1 x＋1－x2＋x－1＝ －x3 x＋1. h(x)在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即 f(x)≤g(x)． 13．设平面内有 n 条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过 同一点．若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数，则 f(4)＝________；当 n＞4 时，f(n)＝ ________(用 n 表示)． [解析] f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3，f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4，f(6)＝f(5)＋5＝2＋3＋4＋ 5， 猜想 f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝ （n＋1）（n－2） 2 (n＞4)． [答案] 5　 1 2(n＋1)(n－2) 14．设 a，b 是两个实数，给出下列条件： ①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2； ④a2＋b2＞2；⑤ab＞1. 其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是________．(填序号) [解析] 若 a＝ 1 2，b＝ 2 3，则 a＋b＞1， 但 a＜1，b＜1，故①推不出； 若 a＝b＝1，则 a＋b＝2，故②推不出； 若 a＝－2，b＝－3，则 a2＋b2＞2，故④推不出； 若 a＝－2，b＝－3，则 ab＞1，故⑤推不出； 对于③，即 a＋b＞2，则 a，b 中至少有一个大于 1， 反证法：假设 a≤1 且 b≤1， 则 a＋b≤2 与 a＋b＞2 矛盾， 因此假设不成立，故 a，b 中至少有一个大于 1. [答案] ③ 15．若 f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数 f(x)是[a，b]上的“四维光 军”函数． (1)设 g(x)＝ 1 2x2－x＋ 3 2是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数 b 的值； (2)是否存在常数 a，b(a＞－2)，使函数 h(x)＝ 1 x＋2是区间[a，b]上的“四维光军”函数？ 若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由． [解] (1)由已知得 g(x)＝ 1 2(x－1)2＋1，其图象的对称轴为 x＝1， 所以函数在区间[1，b]上单调递增，由“四维光军”函数的定义可知 ，g(1)＝1，g(b)＝ b， 即 1 2b2－b＋ 3 2＝b，解得 b＝1 或 b＝3. 因为 b＞1，所以 b＝3. (2)假设函数 h(x)＝ 1 x＋2在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数， 因为 h(x)＝ 1 x＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 所以有{h（a）＝b， h（b）＝a， 即{ 1 a＋2＝b， 1 b＋2＝a 解得 a＝b，这与已知矛盾．故不存在． 16．设等差数列{an}的公差 d＞0，且 a1＞0.记 Tn＝ 1 a1a2＋ 1 a2a3＋…＋ 1 anan＋1. (1)用 a1，d 分别表示 T1、T2、T3，并猜想 Tn； (2)用数学归纳法证明你的猜想． [解] (1)T1＝ 1 a1a2＝ 1 a1（a1＋d）； T2＝ 1 a1a2＋ 1 a2a3＝( 1 a1－ 1 a2＋ 1 a2－ 1 a3)× 1 d ＝( 1 a1－ 1 a1＋2d)× 1 d＝ 2 a1（a1＋2d）； T3＝ 1 a1a2＋ 1 a2a3＋ 1 a3a4 ＝( 1 a1－ 1 a2＋ 1 a2－ 1 a3＋ 1 a3－ 1 a4)× 1 d ＝( 1 a1－ 1 a1＋3d)× 1 d＝ 3 a1（a1＋3d）. 由此可猜想 Tn＝ n a1（a1＋nd）. (2)证明：①当 n＝1 时，T1＝ 1 a1（a1＋d），结论成立． ②假设当 n＝k 时(k∈N*)时结论成立， 即 Tk＝ k a1（a1＋kd）. 则当 n＝k＋1 时，T k＋1 ＝Tk＋ 1 ak＋1ak＋2＝ k a1（a1＋kd）＋ 1 （a1＋kd）[a1＋（k＋1）d]＝ （k＋1）（a1＋kd） a1（a1＋kd）[a1＋（k＋1）d]＝ k＋1 a1[a1＋（k＋1）d]. 即 n＝k＋1 时，结论成立． 由①②可知，Tn＝ n a1（a1＋nd）对于一切 n∈N*恒成立．