江苏省苏州市2020-2021学年第一学期高三期初调研试卷数学（解析版） 17页

江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷 数学试题 ‎2020．9‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．集合A＝，B＝，AB＝‎ A．(1，3) B．(1，3] C．[﹣1，) D．(1，)‎ ‎2．复数z满足(1＋i)z＝2＋3i，则z在复平面表示的点所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．的展开式中x的系数为 A．﹣32 B．32 C．﹣8 D．8‎ ‎4．已知随机变量服从正态分布N(1，)，若P(＜4)＝0.9，则P(﹣2＜＜1)为 A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6‎ ‎5．在△ABC中，，，若，则 A．y＝2x B．y＝﹣2x C．x＝2y D．x＝﹣2y ‎6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵，记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q．科学研究发现v与成正比，当v＝1m/s时，鲑的耗氧量的单位数为900．当v＝2m/s时，其耗氧量的单位数为 A．1800 B．2700 C．7290 D．8100‎ ‎7．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题不正确的是 A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于 B．点C到面ABC1D1的距离为 C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为 D．三棱柱AA1D1—BB1C1外接球半径为 ‎8．设a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则 A．有最小值为4 B．有最小值为 ‎ C．有最小值为 D．无最小值 17‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．A，B是不在平面内的任意两点，则 A．在内存在直线与直线AB异面 B．在内存在直线与直线AB相交 C．存在过直线AB的平面与垂直 D．在内存在直线与直线AB平行 ‎10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足 (t≥0，＞0，)，则下列叙述正确的是 A． ‎ B．当t(0，60]时，函数单调递增 ‎ C．当t(0，60]时，的最大值为 ‎ D．当t＝100时，‎ ‎11．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有 A．的图象不经过第三象限 ‎ B．在R上单调递增 ‎ C．的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1 ‎ D．函数不存在零点 17‎ ‎12．数列为等比数列 A．为等比数列 ‎ B．为等比数列 ‎ C．为等比数列 ‎ D．不为等比数列(为数列的前n项和 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．已知，则＝ ．‎ ‎14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为 ．‎ ‎15．直线将圆C：分割成两段圆弧之比为3：1，则k＝ ．‎ ‎16．已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为 ．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．现在以下三个条件：①(2c＋b)cosA＋acosB＝0；②sin2B＋sin2C﹣sin2A＋sinBsinC＝0；③a2﹣b2﹣c2＝S．请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．‎ 已知向量＝(4sinx，)，＝(cosx，sin2x)，函数，在△ABC中，a＝，且 ，求2b＋c的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且，，是等比数列的前 3项．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）设，求的前n项和．‎ 17‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥S—ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．‎ ‎（1）证明：EF∥平面SAD；‎ ‎（2）若SD＝8，求二面角D—EF—S的正弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某省2021年开始将全面实施新高考方案，在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．‎ ‎（1）某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：‎ 原始分 ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎88‎ ‎87‎ ‎85‎ ‎83‎ ‎82‎ 转换分 ‎100‎ ‎99‎ ‎97‎ ‎95‎ ‎94‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎86‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N(75.8，36)．若Y~N(，)，令，则~N(0，1)，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约 为多少分？（结果保留整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(＝k)取得最大值时k的值．‎ 附：若~N(0，1)，则P(≤0.8)≈0.788，P(≤1.04)≈0.85．‎ 17‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，已知椭圆(a＞b＞0)的长轴两个端点分别为A，B，P(，)(＞0)是椭圆上的动点，以AB为一边在x轴下方作矩形ABCD，使AD＝kb(k＞0)，PD交AB于 E，PC交AB于F．‎ ‎（1）若k＝1，△PCD的最大面积为12，离心率为，求椭圆方程；‎ ‎（2）若AE，EF，FB成等比数列，求k的值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求证：的导函数在(0，π)上存在一零点；‎ ‎（2）求证：有且仅有两个不同的零点．‎ 17‎ 江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷 数学试题 ‎2020．9‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．集合A＝，B＝，AB＝‎ A．(1，3) B．(1，3] C．[﹣1，) D．(1，)‎ 答案：B 解析：∵集合A＝，‎ ‎∴集合A＝，又∵集合B＝，‎ ‎∴AB＝(1，3]，故选B．‎ ‎2．复数z满足(1＋i)z＝2＋3i，则z在复平面表示的点所在的象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：，∴z在复平面表示的点在第一象限．故选A．‎ ‎3．的展开式中x的系数为 A．﹣32 B．32 C．﹣8 D．8‎ 答案：A 解析：，当，，此时 ＝﹣32，故选A．‎ ‎4．已知随机变量服从正态分布N(1，)，若P(＜4)＝0.9，则P(﹣2＜＜1)为 A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6‎ 答案：C 解析：P(﹣2＜＜1)＝0.5﹣(1﹣P(＜4))＝0.4，故选C．‎ ‎5．在△ABC中，，，若，则 A．y＝2x B．y＝﹣2x C．x＝2y D．x＝﹣2y 答案：D 17‎ 解析：由知D是BC中点，由知E是AD三等分点，从而得E是三角形的重心，根据，，得，故选D．‎ ‎6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵，记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q．科学研究发现v与成正比，当v＝1m/s时，鲑的耗氧量的单位数为900．当v＝2m/s时，其耗氧量的单位数为 A．1800 B．2700 C．7290 D．8100‎ 答案：D 解析：设v＝k，则，解得，所以v＝，解得Q＝8100，故选D．‎ ‎7．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题不正确的是 ‎ ‎ A．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于 B．点C到面ABC1D1的距离为 C．两条异面直线D1C和BC1所成的角为 D．三棱柱AA1D1—BB1C1外接球半径为 答案：C 解析：连接CB1，交BC1于点O，在正方体中易得CB1⊥平面ABC1D1，则∠CBC1即为直线BC与平面ABC1D1所成的角，等于，故A正确；‎ ‎ CO即为点C到面ABC1D1的距离，等于，故B正确；‎ ‎ ∵A1B∥D1C，∴∠A1BC1即为异面直线D1C和BC1所成的角，等于，故C错误；‎ ‎ 三棱柱AA1D1—BB1C1外接球即为原正方体的外接球，直径为，半径为，故 17‎ D正确．故选C．‎ ‎8．设a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则 A．有最小值为4 B．有最小值为 ‎ C．有最小值为 D．无最小值 答案：B 解析：∵2a＋b＝1，∴，其中0＜a＜1，‎ ‎∴，‎ 当且仅当a＝取“＝”．故选B．‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．A，B是不在平面内的任意两点，则 A．在内存在直线与直线AB异面 B．在内存在直线与直线AB相交 C．存在过直线AB的平面与垂直 D．在内存在直线与直线AB平行 答案：AC 解析：当AB∥平面时，B不正确；当AB与平面相交时，D不正确．故选AC．‎ ‎10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足 (t≥0，＞0，)，则下列叙述正确的是 ‎ ‎ A． ‎ B．当t(0，60]时，函数单调递增 ‎ 17‎ C．当t(0，60]时，的最大值为 ‎ D．当t＝100时，‎ 答案：AD 解析：求得R＝6，当t＝0时，，，由，得，故A正确；当t(0，50]时，函数单调递增，故B错误；当t(0，60]时，的最大值为6，故C错误；当t＝100时，∠AOP＝60°，故AP＝R＝6，故D正确．故选AD．‎ ‎11．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有 A．的图象不经过第三象限 ‎ B．在R上单调递增 ‎ C．的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1 ‎ D．函数不存在零点 答案：ACD 解析：，‎ 函数的图象不经过第三象限，A正确；‎ 在R上单调递减，故B错误；‎ 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1，故C正确；‎ 假设函数存在零点，则，得0＝1不成立，故假设不成立，函数不存在零点，故D正确．故选ACD．‎ ‎12．数列为等比数列 A．为等比数列 ‎ B．为等比数列 ‎ 17‎ C．为等比数列 ‎ D．不为等比数列(为数列的前n项和 答案：BCD 解析：当公比为﹣1时，不是等比数列，故A错误，BCD都正确．‎ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．已知，则＝ ．‎ 答案：‎ 解析：．‎ ‎14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为 ．‎ 答案：3π 解析：根据题意该球面与正方体三个面有交线，每条弧线均是90°为圆心角，2为半径的弧，故所有弧长之和为3π．‎ ‎15．直线将圆C：分割成两段圆弧之比为3：1，则k＝ ．‎ 答案：±7‎ 解析：由题意知点C到直线的距离为，‎ ‎ ，解得k＝±7．‎ ‎16．已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为 ．‎ 答案：54‎ 解析：设，公比为q，，‎ 则，‎ 令，，可得m＝16时，‎ ‎．‎ 17‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S．现在以下三个条件：①(2c＋b)cosA＋acosB＝0；②sin2B＋sin2C﹣sin2A＋sinBsinC＝0；③a2﹣b2﹣c2＝S．请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．‎ 已知向量＝(4sinx，)，＝(cosx，sin2x)，函数，在△ABC中，a＝，且 ，求2b＋c的取值范围．‎ 解：‎ ‎①若，则由正弦定理可得，‎ 即，‎ 因为C为三角形内角，sinC＞0，可得，因为，可得．‎ ‎②若sin2B＋sin2C﹣sin2A＋sinBsinC＝0，由正弦定理可得：，由余弦定理可得，因为，可得．‎ ‎③若a2﹣b2﹣c2＝S，则，‎ 所以，可得，因为，可得．‎ 由正弦定理可得，‎ 所以，，因为，所以，‎ 所以，‎ ‎ ，因为，所以，，所以，即2b＋c的取值范围为．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 17‎ 已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且，，是等比数列的前 3项．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）设，求的前n项和．‎ 解：（1）设数列的公差为d，‎ ‎ 由题意知：‎ ‎ 又因为成等比数列，所以，，，又因为，所以，‎ ‎ 由①②得，，所以，‎ ‎ ，，，∴．‎ ‎ （2）因为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以数列的前n项和．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥S—ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．‎ ‎（1）证明：EF∥平面SAD；‎ ‎（2）若SD＝8，求二面角D—EF—S的正弦值．‎ 解：（1）证明：取SD的中点M，连接AM，MF，‎ ‎ ∵M，F分别为SD，SC的中点，MF∥CD，且，‎ ‎ 又底面ABCD为正方形，且E为AB中点，∴MF∥AE，且MF＝AE，‎ ‎ ∴四边形AEMF为平行四边形，∴EF∥AM，‎ 17‎ ‎ ∵EF不在平面SAD内，AM在平面SAD内，‎ ‎ ∴EF∥平面SAD；‎ ‎ （2）以点D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间坐标系D—xyz，则D(0，0，0)，E(4，2，0)，F(0，2，4)，S(0，0，8)，故 ‎ ‎ ‎ 设平面DEF的一个法向量为，则，可取，‎ ‎ 设平面EFS的一个法向量为，则，可取，‎ ‎ 设二面角D—EF—S的平面角为，则 ‎ ，‎ ‎∴，即二面角D—EF—S的正弦值为．‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某省2021年开始将全面实施新高考方案，在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．‎ ‎（1）某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：‎ 原始分 ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎88‎ ‎87‎ ‎85‎ ‎83‎ ‎82‎ 转换分 ‎100‎ ‎99‎ ‎97‎ ‎95‎ ‎94‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎86‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X，求X的分布列和数学期望；‎ 17‎ ‎（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y服从正态分布N(75.8，36)．若Y~N(，)，令，则~N(0，1)，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约 为多少分？（结果保留整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(＝k)取得最大值时k的值．‎ 附：若~N(0，1)，则P(≤0.8)≈0.788，P(≤1.04)≈0.85．‎ 解：（1）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，‎ ‎ 根据条件得，，‎ ‎，‎ ‎ 则随机变量X的分布列为 ‎ ‎ ‎ 数学期望．‎ ‎ （2）①设该划线分为m，由Y~N(75.8，36)得，，‎ ‎ 令，则，‎ ‎ 依题意，，即，‎ ‎ 因为当时，，所以，‎ ‎ 所以，故，取m＝69；‎ ‎ ②由①讨论及参考数据得 ‎，‎ ‎ 即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，‎ ‎ 故，，‎ ‎ 由，‎ ‎ 即，‎ 17‎ ‎ 解得，‎ ‎ 又，所以k＝631，‎ ‎ 所以当k＝631时取得最大值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，已知椭圆(a＞b＞0)的长轴两个端点分别为A，B，P(，)(＞0)是椭圆上的动点，以AB为一边在x轴下方作矩形ABCD，使AD＝kb(k＞0)，PD交AB于 E，PC交AB于F．‎ ‎（1）若k＝1，△PCD的最大面积为12，离心率为，求椭圆方程；‎ ‎（2）若AE，EF，FB成等比数列，求k的值．‎ 解：（1）如图，当k＝1时，CD过点(0，﹣b)，CD＝2a，‎ ‎ 当点P为(0，b)时△PCD的面积最大，即有，‎ ‎ ∴ab＝6，①‎ ‎ 由已知离心率为，，，，②‎ ‎ 由①②解得a＝3，b＝2，‎ ‎ ∴所求椭圆的方程为，‎ ‎ （2）如图，由题意得：，因为 ‎ 在椭圆上，所以，又直线PD方程为，‎ ‎ 令，解得，同理可得，‎ 所以，‎ 因为AE，EF，FB成等比数列，所以AE·FB＝EF2，‎ 17‎ 即，化简得：‎ 又，所以，代入式得，‎ 因为，所以，又，所以 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求证：的导函数在(0，π)上存在一零点；‎ ‎（2）求证：有且仅有两个不同的零点．‎ 解：（1）设，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 所以在上单调递减，‎ ‎ 又因为，，‎ ‎ 且当时，的图像不间断，‎ ‎ 所以在上有唯一的零点，所以命题得证；‎ ‎ （3）1°由（1）知：当时，，在上单调递增；‎ ‎ 当时，，在上单调递减；‎ ‎ 所以在上存在唯一的极大值点 ‎ 所以 ‎ 又因为 ‎ 所以在上恰有一个零点 ‎ 又因为 ‎ 所以在上也恰有一个零点 ‎ 2°当时，，‎ 17‎ ‎ 设，‎ ‎ 所以在上单调递减，所以 ‎ 即在上没有零点 ‎ 3°当时，‎ ‎ 设，‎ ‎ 所以在上单调递减，所以 ‎ 所以当时，恒成立 ‎ 所以在上没有零点，‎ ‎ 综上，有且仅有两个不同的零点．‎ 17‎