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- 2021-06-16 发布
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第2讲 一元二次不等式的解法
[学生用书P107]
1.三个“二次”间的关系
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx
+c(a>0)的
图象
一元二次方
程ax2+bx
+c=0(a>0)
的根
有两个相异
实根x1,x2
(x10(a>0)
的解集
{x|x>x2
或x0)
的解集
{x|x10或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法
不等式
解集
ab
(x-a)·
(x-b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|x>a
或x0.( )
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c
=0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( )
(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
(教材习题改编)不等式(x+1)(x+2)<0的解集为( )
A.{x|-21} D.{x|x<-1或x>2}
答案:A
(教材习题改编)不等式-2x2+x<-3的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析:选D.-2x2+x<-3,
即为2x2-x-3>0,Δ=25>0,
方程2x2-x-3=0的两实根为x1=-1,x2=,
所以2x2-x-3>0的解集为
.
(教材习题改编)关于x的不等式-x2+mx+n>0的解集为{x|-10,
即为x2-2mx-2n<0.
由题意知,x2-2mx-2n<0的解集为{x|-10⇒x>1或x<-1.
答案:{x|x>1或x<-1}
一元二次不等式的解法(高频考点)
[学生用书P108]
一元二次不等式的解法是每年高考的重点,虽然考查的机会较少,但常与集合、分段函数、导数等内容综合考查,主要命题角度有:
(1)不含参数的一元二次不等式;
(2)含参数的一元二次不等式.
[典例引领]
角度一 不含参数的一元二次不等式
求不等式-x2+8x-3>0的解集.
【解】 因为Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,所以方程-x2+8x-3=0有两个不相等的实根x1=4-,x2=4+.又二次函数y=-x2+8x-3的图象开口向下,所以原不等式的解集为{x|4-1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|11.
若a<0,原不等式等价于(x-1)>0,
解得x<或x>1.
若a>0,原不等式等价于(x-1)<0.
①当a=1时,=1,(x-1)<0无解;
②当a>1时,<1,解(x-1)<0,
得1,解(x-1)<0,
得11};
当01时,解集为.
一元二次不等式的解法
(1)对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法或判别式法求解,题目简单,情况单一.
(2)含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.
①若二次项系数为常数,需先将二次项系数化为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论.
②若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,以确定不
等式是一次不等式还是二次不等式,再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式.
③对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式,则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根,要注意解集的形式与二次项系数的联系.
[注意] 当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于0的情况.
[通关练习]
1.设实数a∈(1,2),关于x的一元二次不等式x2-(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0的解集为( )
A.(3a,a2+2) B.(a2+2,3a)
C.(3,4) D.(3,6)
解析:选B.由x2-(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0,得(x-3a)·(x-a2-2)<0,因为a∈(1,2),所以3a>a2+2,所以关于x的一元二次不等式x2-(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0的解集为(a2+2,3a).故选B.
2.求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
解:因为12x2-ax>a2,
所以12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,
令(4x+a)(3x-a)=0,
得x1=-,x2=.
当a>0时,-<,
解集为;
当a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R且x≠0};
当a<0时,->,
解集为.
综上所述,当a>0时,不等式的解集为
;
当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};
当a<0时,不等式的解集为.
一元二次不等式恒成立问题(高频考点)[学生用书P109]
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.主要命题角度有:
(1)在R上的恒成立问题;
(2)在给定区间上的恒成立问题;
(3)给定参数范围的恒成立问题.
[典例引领]
角度一 在R上的恒成立问题
(1)若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( )
A.(-3,0) B.[-3,0)
C.[-3,0] D.(-3,0]
(2)设a为常数,对于∀x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是( )
A.(0,4) B.[0,4)
C.(0,+∞) D.(-∞,4)
【解析】 (1)当k=0时,显然成立;当k≠0时,即一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则解得-30,则必有或a=0,所以0≤a<4.
【答案】 (1)D (2)B
角度二 在给定区间上的恒成立问题
设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
【解】 要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
即m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法:
法一:令g(x)=m+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)⇒7m-6<0,
所以m<,
所以00,
又因为m(x2-x+1)-6<0,
所以m<.
因为函数y=
=在[1,3]上的最小值为,
所以只需m<即可.
所以,m的取值范围是.
角度三 给定参数范围的恒成立问题
对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.
【解】 由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,
令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.
由题意知在m∈[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
所以
解得x<1或x>3.
故当x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意的m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零.
形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路
(1)x∈R的不等式确定参数的范围时,结合二次函数的图象,利用判别式来求解.
(2)x∈[a,b]的不等式确定参数范围时,①根据函数的单调性,求其最值,让最值大于等于或小于等于0,从而求出参数的范围;②数形结合,利用二次函数在端点a,b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围.
(3)已知参数m∈[a,b]的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
[注意] 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数.
[通关练习]
1.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.
解析:
作出二次函数f(x)的图象,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,
则有
即
解得-,不满足题意;
当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数.
需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,即
不等式组的解集为空集,即m无解.
综上可知,不存在这样的m.
一元二次不等式的应用[学生用书P110]
[典例引领]
某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域.
(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值范围.
【解】 (1)由题意得y=100·100.
因为售价不能低于成本价,所以100-80≥0,得x≤2.所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].
(2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10 260,化简得8x2-30x+13≤0.解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.
(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.
(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.
[通关练习]
汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,问:甲、乙两车有无超速现象?
解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2>12,
即x2+10x-1 200>0,
解得x>30或x<-40(不合实际意义,舍去),
这表明甲车的车速超过30 km/h.
但根据题意刹车距离略超过12 m.
由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.
对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,
即x2+10x-2 000>0,
解得x>40或x<-50(不合实际意义,舍去),
这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.
一元二次不等式的求解策略
(1)化:把不等式化为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判:计算对应方程的判别式.
(3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根.
(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.
一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法
方法
解读
适合题型
判别式法
(1)ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立的条件是
(2)ax2+bx+c≤0对任意实数x恒成立的条件是
二次不等式在R上恒成立
分离参数法
如果不等式中的参数比较“孤单”,分离后其系数与0能比较大小,便可将参数分离出来,利用下面的结论求解:a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求
主参换位法
把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]上恒成立问题,若f(x)>0恒成立⇒
若f(x)<0恒成立⇒
若在分离参数时会遇到讨论参数与变量,使求函数的最值比较麻烦,或者即使能容易分离出却难以求出时
[学生用书P291(单独成册)]
1.不等式(x-2)(2x-3)<0的解集是( )
A.∪(2,+∞) B.R
C. D.∅
解析:选C.因为不等式(x-2)(2x-3)<0,
解得0的解集为{x|-30的解集是( )
A.
B.
C.
D.
解析:选C.由题意得方程ax2-5x+b=0的两根分别为-3,2,于是
⇒
则不等式bx2-5x+a>0,
即为30x2-5x-5>0,
即(3x+1)(2x-1)>0,
⇒x<-或x>.故选C.
4.规定符号“⊙”表示一种运算,定义a⊙b=+a+b(a,b为非负实数),若1⊙k2<3,则k的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(0,2)
解析:选A.因为定义a⊙b=+a+b(a,b为非负实数),1⊙k2<3,所以+1+k2<3,
化为(|k|+2)(|k|-1)<0,所以|k|<1,
所以-11时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1b的解集为,则关于x的不等式ax2+bx-a>0的解集为________.
解析:由已知ax>b的解集为,可知a<0,且=,将不等式ax2+bx-a>0两边同除以a,得x2+x-<0,即x2+x-<0,即5x2+x-4<0,解得-10恒成立,
所以原不等式等价于2-ax+x2<3(1-x+x2),
即2x2+(a-3)x+1>0恒成立.
所以Δ=(a-3)2-8<0,3-20.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域;
(2)若ax2+bx+c≤0的解集为R,求实数c的取值范围.
解:(1)因为当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0,
当x∈(-3,2)时,f(x)>0.
所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,
所以
所以a=-3,b=5.
所以f(x)=-3x2-3x+18
=-3+.
因为函数图象关于x=-对称且抛物线开口向下,
所以f(x)在[0,1]上为减函数,
所以f(x)max=f(0)=18,
f(x)min=f(1)=12,故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].
(2)由(1)知不等式ax2+bx+c≤0可化为-3x2+5x+c≤0,要使-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需
即25+12c≤0,所以c≤-,
所以实数c的取值范围为.
10.解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R).
解:原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0.
(1)当a>0时,原不等式可以化为a(x-2)<0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)·<0.
因为方程(x-2)=0的两个根分别是2,,所以当0时,<2,则原不等式的解集是.
(2)当a=0时,原不等式为-(x-2)<0,
解得x>2,
即原不等式的解集是{x|x>2}.
(3)当a<0时,原不等式可以化为
a(x-2)<0,
根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)·>0,
由于<2,
故原不等式的解集是.
综上所述,当a<0时,不等式的解集为;
当a=0时,不等式的解集为{x|x>2};
当0时,不等式的解集为.
1.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)
C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)
解析:选A.不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)
内有解等价于a<(x2-4x-2)max.
令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),
所以g(x)1时,解得10恒成立,则实数a的取值范围为________.
解析:因为x∈[1,+∞)时,f(x)=>0恒成立,即x2+2x+a>0恒成立.
即当x≥1时,a>-(x2+2x)恒成立.
设g(x)=-(x2+2x),
而g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(1)=-3,故a>-3.
所以,实数a的取值范围是(-3,+∞).
答案:(-3,+∞)
5.求使不等式x2+(a-6)x+9-3a>0,|a|≤1恒成立的x的取值范围.
解:将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x-3)a+x2-6x+9>0.
令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立,所以
(1)若x=3,
则f(a)=0,不符合题意,应舍去.
(2)若x≠3,则由一次函数的单调性,可得
即
解得x<2或x>4.
所以x的取值范围是{x|x<2或x>4}.
6.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m0的解集;
(2)若a>0,且00,
即a(x+1)(x-2)>0.
当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2};
当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-10,且00.
所以f(x)-m<0,即f(x)