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- 2021-06-16 发布
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§2.8 函数的图象
考情考向分析 函数图象和函数性质的综合应用;利用图象解方程或不等式,题型以填空题为主,中档难度.
1.函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到了坐标平面上的一个点的坐标,当自变量取遍定义域A内的每一个值时,就得到一系列这样的点,所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数的图象.
2.描点法作图
方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.
3.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)y=-f(x);
②y=f(x)y=f(-x);
③y=f(x)y=-f(-x);
④y=ax (a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1).
(3)伸缩变换
①y=f(x)y=f(ax).
②y=f(x)y=af(x).
(4)翻折变换
①y=f(x)y=|f(x)|.
②y=f(x)y=f(|x|).
概念方法微思考
1.函数f(x)的图象关于直线x=a对称,你能得到f(x)解析式满足什么条件?
提示 f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).
2.若函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于点(a,b)对称,则f(x),g(x)的关系是______________.
提示 g(x)=2b-f(2a-x)
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到.( × )
(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( × )
(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.( × )
(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.( × )
题组二 教材改编
2.[P30练习T3]若f(x)的图象如图所示,则f(x)=________.
答案
3.[P31习题T6]方程|x-1|=的正实数根的个数是________.
答案 1
4.[P87习题T14改编]任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,若f >[f(x1)+f(x2)],则称f(x)是(a,b)上的凸函数.在下列图象中,为凸函数图象的是________.(填序号)
答案 ④
题组三 易错自纠
5.把函数f(x)=ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象的函数解析式是________________.
答案 y=ln
解析 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln.
6.下列图象是函数y=的图象的是________.(填序号)
答案 ③
7.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是__________.
答案 (0,+∞)
解析 在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象,如图所示.
由图象知,当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解.
题型一 作函数的图象
分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lg(x-1)|;(2)y=2x+1-1;(3)y=x2-|x|-2;(4)y=.
解 (1)首先作出y=lg x的图象,然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图象,再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图象,如图①所示(实线部分).
(2)将y=2x的图象向左平移1个单位,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位,得到y=2x+1-1的图象,如图②所示.
(3)y=x2-|x|-2=其图象如图③所示.
(4)∵y=2+,故函数的图象可由y=的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图④所示.
思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+的函数.
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.
题型二 函数图象的变换
例1 作出函数f(x)=x2+2x-3的图象,然后根据f(x)的图象作出函数y=-f(x)的图象,并说明两函数图象的关系.
解 f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4,
y=f(x)的图象是开口向上的抛物线,其顶点为(-1,-4),与x轴的两个交点是(-3,0),(1,0),和y轴交点是(0,-3),图象如图(1),y=-f(x)的图象如图(2).两图象关于x轴对称.
引申探究
本例中,通过图象的变换分别画出函数y=f(-x),y=-f(-x),y=f(|x|),y=|f(x)|,y=f(x+1),y=f(x)+1的图象,并说明各图象和函数f(x)图象的关系.
解 各个函数图象如下图实线部分所示:
各图象和y=f(x)的图象关系如下:
(1)函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;
(2)函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点对称;
(3)函数y=f(|x|)=即在y轴上及其右侧图象与函数y=f(x)图象相同,再将y轴右侧图象作y轴的对称图象可得x<0时的图象;
(4)函数y=|f(x)|=即在x轴上及其上方的图象与函数y=f(x)图象相同,再将x轴下方的图象作x轴的对称图象可得f(x)<0时的图象;
(5)函数y=f(x+1)的图象是将y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的;
(6)函数y=f(x)+1的图象是将y=f(x)的图象向上平移一个单位得到的.
思维升华 根据图象的变换作函数的草图要遵循函数的基本性质,在函数图象的应用中经常用到.
跟踪训练1 若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为________.(填序号)
答案 ③
解析 要想由y=f(x)的图象得到y=-f(x+1)的图象,需要先将y=f(x)的图象关于x轴对称得到y=-f(x)的图象,然后再向左平移一个单位得到y=-f(x+1)的图象,根据上述步骤可知③正确.
题型三 函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例2 (1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是________.(填序号)
①f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
②f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)
③f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
④f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
答案 ③
解析 将函数f(x)=x|x|-2x
去掉绝对值,得
f(x)=
画出函数f(x)的图象,如图,
观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.③正确,其余错误.
(2)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足00.
当x∈时,y=cos x<0.
结合y=f(x),x∈[0,4]上的图象知,
当10且a≠1,b∈R)的图象如图所示,则a+b的值是________.
答案
解析 由图象可知,函数过点(-3,0),(0,-2),
所以得解得
故a+b=.
(2)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=________.
答案 e-x-1
解析 与y=ex图象关于y轴对称的函数为y=e-x.依题意,f(x)的图象向右平移一个单位长度,得y=e-x的图象.∴f(x)的图象由y=e-x的图象向左平移一个单位长度得到.∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
(3)已知a>0,且a≠1,若函数y=|ax-2|与y=3a的图象有两个交点,则实数a的取值范围是________.
答案
解析 ①当01时,作出函数y=|ax-2|的图象,如图b,若直线y=3a与函数y=|ax-2|(a>1)的图象有两个交点,则由图象可知0<3a<2,此时无解,所以a的取值范围是.
二、函数图象的应用
例2 (1)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是____________.
答案 (3,+∞)
解析 在同一坐标系中,作y=f(x)与y=b的图象.
当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m20.又m>0,解得m>3.
(2)不等式3sin-<0的整数解的个数为________.
答案 2
解析 不等式3sin-<0,即3sin<.设f(x)=3sin,g(x)=,在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象,由图象可知,当x为整数3或7时,有f(x)0,得x>1,
由f′(x)<0,得00的部分是将x∈(-1,0]的部分周期性向右平移1个单位长度得到的,其部分图象如图所示.
若方程f(x)=x+a有两个不同的实数根,则函数f(x)的图象与直线y=x+a有两个不同交点,故a<1,即a的取值范围是(-∞,1).
12.已知函数f(x)=2x,x∈R.
(1)当m取何值时,方程|f(x)-2|=m有一个解?两个解?
(2)若不等式f2(x)+f(x)-m>0在R上恒成立,求m的取值范围.
解 (1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,
G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示.
由图象可知,当m=0或m≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个解;
当00),H(t)=t2+t,t>0,
因为H(t)=2-在区间(0,+∞)上是增函数,
所以H(t)>H(0)=0.
因此要使t2+t>m在区间(0,+∞)上恒成立,应有m≤0,即所求m的取值范围为(-∞,0].
13.已知定义在R上的函数f(x)=关于x的方程f(x)=c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=________.
答案 0
解析 方程f(x)=c有三个不同的实数根等价于y=f(x)与y=c的图象有三个交点,画出函数f(x)的图象(图略),易知c=1,且方程f(x)=c的一根为0,令lg|x|=1,解得x=-10或10
,故方程f(x)=c的另两根为-10和10,所以x1+x2+x3=0.
14.已知函数f(x)=,g(x)=1+,若f(x)1时,由1+=x+1,解得x=.结合图象可知,满足f(x)