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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习苏教版函数的图象学案

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‎§2.8 函数的图象 考情考向分析 函数图象和函数性质的综合应用;利用图象解方程或不等式,题型以填空题为主,中档难度.‎ ‎1.函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到了坐标平面上的一个点的坐标,当自变量取遍定义域A内的每一个值时,就得到一系列这样的点,所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数的图象.‎ ‎2.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.‎ ‎3.图象变换 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y=f(x)y=-f(x);‎ ‎②y=f(x)y=f(-x);‎ ‎③y=f(x)y=-f(-x);‎ ‎④y=ax (a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1).‎ ‎(3)伸缩变换 ‎①y=f(x)y=f(ax).‎ ‎②y=f(x)y=af(x).‎ ‎(4)翻折变换 ‎①y=f(x)y=|f(x)|.‎ ‎②y=f(x)y=f(|x|).‎ 概念方法微思考 ‎1.函数f(x)的图象关于直线x=a对称,你能得到f(x)解析式满足什么条件?‎ 提示 f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).‎ ‎2.若函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于点(a,b)对称,则f(x),g(x)的关系是______________.‎ 提示 g(x)=2b-f(2a-x)‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到.( × )‎ ‎(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( × )‎ ‎(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.( × )‎ ‎(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P30练习T3]若f(x)的图象如图所示,则f(x)=________.‎ 答案  ‎3.[P31习题T6]方程|x-1|=的正实数根的个数是________.‎ 答案 1‎ ‎4.[P87习题T14改编]任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,若f >[f(x1)+f(x2)],则称f(x)是(a,b)上的凸函数.在下列图象中,为凸函数图象的是________.(填序号)‎ 答案 ④‎ 题组三 易错自纠 ‎5.把函数f(x)=ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象的函数解析式是________________.‎ 答案 y=ln 解析 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln.‎ ‎6.下列图象是函数y=的图象的是________.(填序号)‎ 答案 ③‎ ‎7.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是__________.‎ 答案 (0,+∞)‎ 解析 在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象,如图所示.‎ 由图象知,当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解.‎ ‎‎ 题型一 作函数的图象 分别画出下列函数的图象:‎ ‎(1)y=|lg(x-1)|;(2)y=2x+1-1;(3)y=x2-|x|-2;(4)y=.‎ 解 (1)首先作出y=lg x的图象,然后将其向右平移1个单位,得到y=lg(x-1)的图象,再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图象,如图①所示(实线部分).‎ ‎(2)将y=2x的图象向左平移1个单位,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位,得到y=2x+1-1的图象,如图②所示.‎ ‎(3)y=x2-|x|-2=其图象如图③所示.‎ ‎(4)∵y=2+,故函数的图象可由y=的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图④所示.‎ 思维升华 图象变换法作函数的图象 ‎(1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+的函数.‎ ‎(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.‎ ‎‎ 题型二 函数图象的变换 例1 作出函数f(x)=x2+2x-3的图象,然后根据f(x)的图象作出函数y=-f(x)的图象,并说明两函数图象的关系.‎ 解 f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4,‎ y=f(x)的图象是开口向上的抛物线,其顶点为(-1,-4),与x轴的两个交点是(-3,0),(1,0),和y轴交点是(0,-3),图象如图(1),y=-f(x)的图象如图(2).两图象关于x轴对称.‎ ‎  ‎ 引申探究 本例中,通过图象的变换分别画出函数y=f(-x),y=-f(-x),y=f(|x|),y=|f(x)|,y=f(x+1),y=f(x)+1的图象,并说明各图象和函数f(x)图象的关系.‎ 解 各个函数图象如下图实线部分所示:‎ 各图象和y=f(x)的图象关系如下:‎ ‎(1)函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称;‎ ‎(2)函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点对称;‎ ‎(3)函数y=f(|x|)=即在y轴上及其右侧图象与函数y=f(x)图象相同,再将y轴右侧图象作y轴的对称图象可得x<0时的图象;‎ ‎(4)函数y=|f(x)|=即在x轴上及其上方的图象与函数y=f(x)图象相同,再将x轴下方的图象作x轴的对称图象可得f(x)<0时的图象;‎ ‎(5)函数y=f(x+1)的图象是将y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的;‎ ‎(6)函数y=f(x)+1的图象是将y=f(x)的图象向上平移一个单位得到的.‎ 思维升华 根据图象的变换作函数的草图要遵循函数的基本性质,在函数图象的应用中经常用到.‎ 跟踪训练1 若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为________.(填序号)‎ 答案 ③‎ 解析 要想由y=f(x)的图象得到y=-f(x+1)的图象,需要先将y=f(x)的图象关于x轴对称得到y=-f(x)的图象,然后再向左平移一个单位得到y=-f(x+1)的图象,根据上述步骤可知③正确.‎ 题型三 函数图象的应用 命题点1 研究函数的性质 例2 (1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是________.(填序号)‎ ‎①f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)‎ ‎②f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)‎ ‎③f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)‎ ‎④f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)‎ 答案 ③‎ 解析 将函数f(x)=x|x|-2x 去掉绝对值,得 f(x)= 画出函数f(x)的图象,如图,‎ 观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.③正确,其余错误.‎ ‎(2)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足00.‎ 当x∈时,y=cos x<0.‎ 结合y=f(x),x∈[0,4]上的图象知,‎ 当10且a≠1,b∈R)的图象如图所示,则a+b的值是________.‎ 答案  解析 由图象可知,函数过点(-3,0),(0,-2),‎ 所以得解得 故a+b=.‎ ‎(2)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=________.‎ 答案 e-x-1‎ 解析 与y=ex图象关于y轴对称的函数为y=e-x.依题意,f(x)的图象向右平移一个单位长度,得y=e-x的图象.∴f(x)的图象由y=e-x的图象向左平移一个单位长度得到.∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.‎ ‎(3)已知a>0,且a≠1,若函数y=|ax-2|与y=3a的图象有两个交点,则实数a的取值范围是________.‎ 答案  解析 ①当01时,作出函数y=|ax-2|的图象,如图b,若直线y=3a与函数y=|ax-2|(a>1)的图象有两个交点,则由图象可知0<3a<2,此时无解,所以a的取值范围是.‎ 二、函数图象的应用 例2 (1)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是____________.‎ 答案 (3,+∞)‎ 解析 在同一坐标系中,作y=f(x)与y=b的图象.‎ 当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m20.又m>0,解得m>3.‎ ‎(2)不等式3sin-<0的整数解的个数为________.‎ 答案 2‎ 解析 不等式3sin-<0,即3sin<.设f(x)=3sin,g(x)=,在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象,由图象可知,当x为整数3或7时,有f(x)0,得x>1,‎ 由f′(x)<0,得00的部分是将x∈(-1,0]的部分周期性向右平移1个单位长度得到的,其部分图象如图所示.‎ 若方程f(x)=x+a有两个不同的实数根,则函数f(x)的图象与直线y=x+a有两个不同交点,故a<1,即a的取值范围是(-∞,1).‎ ‎12.已知函数f(x)=2x,x∈R.‎ ‎(1)当m取何值时,方程|f(x)-2|=m有一个解?两个解?‎ ‎(2)若不等式f2(x)+f(x)-m>0在R上恒成立,求m的取值范围.‎ 解 (1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,‎ G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示.‎ 由图象可知,当m=0或m≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个解;‎ 当00),H(t)=t2+t,t>0,‎ 因为H(t)=2-在区间(0,+∞)上是增函数,‎ 所以H(t)>H(0)=0.‎ 因此要使t2+t>m在区间(0,+∞)上恒成立,应有m≤0,即所求m的取值范围为(-∞,0].‎ ‎13.已知定义在R上的函数f(x)=关于x的方程f(x)=c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=________.‎ 答案 0‎ 解析 方程f(x)=c有三个不同的实数根等价于y=f(x)与y=c的图象有三个交点,画出函数f(x)的图象(图略),易知c=1,且方程f(x)=c的一根为0,令lg|x|=1,解得x=-10或10‎ ‎,故方程f(x)=c的另两根为-10和10,所以x1+x2+x3=0.‎ ‎14.已知函数f(x)=,g(x)=1+,若f(x)1时,由1+=x+1,解得x=.结合图象可知,满足f(x)