【数学】2019届理科一轮复习北师大版选修4－4第2节参数方程教案 9页

第二节　参数方程 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．‎ ‎(对应学生用书第201页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．曲线的参数方程 ‎(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数．‎ 相对于参数方程，我们直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程．‎ ‎(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．‎ ‎2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ ‎[知识拓展]　在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)‎ ‎(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段 eq o(M0M,sup13(→))的数量．(　　)‎ ‎(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)‎ ‎(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A．在直线y＝2x上　　　 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 B　[由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.‎ 曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，‎ 所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]‎ ‎3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．‎ x－y－1＝0　[由x＝2＋t，且y＝1＋t，‎ 消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.]‎ ‎4．椭圆C的参数方程为(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B，则|AB|min＝________.‎ 　[由(φ为参数)，消去参数φ得＋＝1，‎ 当AB⊥x轴时，|AB|有最小值．‎ 所以|AB|min＝2×＝.]‎ ‎5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ ‎[解]　直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.‎ 因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，‎ 从而点P到直线l的距离 d＝＝.‎ 当s＝时，dmin＝.‎ 因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.‎ ‎(对应学生用书第202页)‎ 参数方程与普通方程的互化 ‎　(1)求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值. ‎ ‎【导学号：79140389】‎ ‎[解]　(1)将消去参数t得直线x＋y－1＝0；‎ 将消去参数α得圆x2＋y2＝9.又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.‎ 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．‎ ‎(2)直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1，‎ 所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，‎ 则3－a＝0，∴a＝3.‎ ‎[规律方法]　化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意参数的范围.‎ 普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出.‎ ‎[跟踪训练]　如图2，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．‎ 图2‎ ‎[解]　圆的半径为，‎ 记圆心为C，连接CP，‎ 则∠PCx＝2θ，‎ 故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，‎ yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．‎ 所以圆的参数方程为 (θ为参数)．‎ 参数方程的应用 ‎　(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ ‎[解]　(1)由消去θ，‎ 得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ 又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，‎ 所以l的参数方程为 即(t为参数)．‎ ‎(2)把直线l的参数方程 代入x2＋y2＝16，‎ 得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，‎ 所以t1t2＝－11，‎ 由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.‎ ‎[规律方法]　(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等.‎ (2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ 过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.‎ ‎①弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.‎ ‎[跟踪训练]　(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ ‎[解]　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，所以a＝8; ‎ 当a＜－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，‎ 所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ 极坐标方程与参数方程的综合应用 ‎　(2018·石家庄质检(二))在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(a>0，β为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos＝.‎ ‎(1)若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；‎ ‎(2)A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求△OAB的面积最大值．‎ ‎[解]　(1)曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆，‎ 直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.‎ 由直线l与圆C只有一个公共点，则可得＝a，‎ 解得a＝－3(舍)，a＝1.‎ 所以a＝1.‎ ‎(2)法一：曲线C的极坐标方程为ρ＝2acos θ(a>0)，‎ 设A的极角为θ，B的极角为θ＋，‎ 则S△OAB＝|OA|·|OB|sin ‎＝|2acos θ|· ‎＝a2，‎ ‎∵cos θcos＝cos2θ－sin θcos θ ‎＝·－sin 2θ ‎＝＋ ‎＝cos＋，‎ 所以当θ＝－时，cos＋取得最大值.‎ ‎△OAB的面积最大值为.‎ 法二：因为曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆，且∠AOB＝，‎ 由正弦定理得＝2a，所以|AB|＝a.‎ 由余弦定理得|AB|2＝3a2‎ ‎＝|OA|2＋|OB|2－|OA|·|OB|‎ ‎≥|OA|·|OB|，‎ 所以S△OAB＝|OA|·|OB|sin ‎≤×3a2×＝，‎ 所以△OAB的面积最大值为.‎ ‎[规律方法]　处理极坐标、参数方程综合问题的方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ (2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·太原模拟(二))在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ(tan α·cos θ－sin θ)＝1(α是常数，0<α<π，且α≠)，点A，B(A在x轴的下方)是曲线C1与C2的两个不同交点．‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标. ‎ ‎【导学号：79140390】‎ ‎[解]　(1)∵∴＋y2＝1，‎ 由得曲线C2的直角坐标方程为y＝tan α·x－1.‎ ‎(2)由(1)得曲线C2的参数方程为(t是参数)，‎ 设A(t1cos α，－1＋t1sin α)，B(t2cos α，－1＋t2sin α)，‎ 将C2：代入＋y2＝1，‎ 整理得t2(1＋3sin2α)－8tsin α＝0，‎ ‎∴t1＝0，t2＝，‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝ ‎＝≤ ‎＝(当且仅当sin α＝取等号)，‎ 当sin α＝时，∴0<α<π，且α≠，‎ ‎∴cos α＝±，‎ ‎∴B，‎ ‎∴|AB|的最大值为，‎ 此时点B的坐标为.‎