2021届高考数学一轮复习专题五圆锥曲线的综合及应用问题第3课时课件 22页

第 3 课时 题型 圆锥曲线中的探索性问题 探索性问题是近几年高考的热点问题，是一种具有开放性 和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备 . 要求解答者自 己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括 . 探索 性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存 在，若结论不正确则不存在 . 解决探索性问题的注意事项： (1) 当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2) 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再 推出条件； (3) 当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维 开放，采取另外的 途径 . 例 1 ： (20 15 年新课标 Ⅰ ) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C ： (1) 当 k ＝ 0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2) y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 ∠ OPM ＝ ∠ OPN ？说明理由 . 思维点拨： 将 ∠ OPM ＝ ∠ OPN 转化为直线 PM 的倾斜角与 直线 PN 的倾斜角互补，进而转化为直线 PM 的斜率与直线 PN 的斜率之和为 0 ，再将其坐标化，即可列出 方程，本题字母 运 算复杂，需要细心和耐心 . 将 y ＝ kx ＋ a 代入曲线 C 的方程整理，得 x 2 － 4 kx － 4 a ＝ 0. ∴ x 1 ＋ x 2 ＝ 4 k ， x 1 x 2 ＝－ 4 a . 当 b ＝－ a 时，有 k 1 ＋ k 2 ＝ 0 ， 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补 . 故 ∠ OPM ＝ ∠ OPN . ∴ 点 P (0 ，－ a ) 符合题意 . 【 跟踪训练 】 1.(2015 年新课标 Ⅱ ) 已知椭圆 C ： 9 x 2 ＋ y 2 ＝ m 2 ( m >0) ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A ， B ，线 段 AB 的中点为 M . (1) 证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； (1) 证明： 设直线 l ： y ＝ kx ＋ b ( k ≠0 ， b ≠0) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， M ( x M ， y M ). 将 y ＝ kx ＋ b 代入 9 x 2 ＋ y 2 ＝ m 2 ，得 ( k 2 ＋ 9) x 2 ＋ 2 kbx ＋ b 2 － m 2 ＝ 0 ，故 ∴ 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 . (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 过点 M (1,1) 任作一条直线 l ， l 与椭圆 E 交于不同于 P 点 的 A ， B 两点， l 与直线 m ： 3 x ＋ 4 y － 12 ＝ 0 交于 C 点，记直线 PA ， PB ， PC 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 3 . 试探究 k 1 ＋ k 2 与 k 3 的关 系，并证明你的结论 . (2) 依题意，直线 l 不可能与 x 轴垂直，故可设直线 l 的方 程为 y － 1 ＝ k ( x － 1) ， 即 y ＝ kx － k ＋ 1 ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 为 l 与椭圆 E 的两个 交点， 将 y ＝ kx － k ＋ 1 代入方程 3 x 2 ＋ 4 y 2 － 12 ＝ 0 化简得 【 方法总结 】 (1) 本题 (1) 的求解主要是利用了以下 性质：若 焦点的距离的最大值和最小值分别为 a ＋ c ， a － c . (2) 求定值问题常见的方法有两种： ① 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 . ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从 而得到定值 . 本题就是利用 (2) 的方法，通过推理运算而得到结 论 . 【 跟踪训练 】 的焦距为 2. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，且满 足 | OA | 2 ＋ | OB | 2 的值为常数 ( 其中 O 为坐标原点 ). ① 求 k 的值以及这个常数； ∴3 b 2 ＋ 2 a 2 ＝ 2 a 2 b 2 ， c ＝ 1 ，又 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ， ∴3 b 2 ＋ 2( b 2 ＋ 1) ＝ 2( b 2 ＋ 1) b 2 ， ∴2 b 4 － 3 b 2 － 2 ＝ 0 ，解得 b 2 ＝ 2 ，得 a 2 ＝ 3 ，