江苏省南京市秦淮中学2021届高三上学期期初调研考试数学试题（学生版） 5页

南京市秦淮中学 2021 届高三期初调研考试试卷 数学 注意事项及说明：本卷考试时间为 120 分钟，全卷满分为 150 分． 公式：球体积 V = 4 3 πR3，随机变量 ξ 的方差 V （ξ） = n i = 1 x2 i pi - μ2 一、单项选择题：（本题共 8 小题．每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．） 1．设 A = x  x > 1  ， B = x  x2 - x - 2 < 0  ，则 CRA  ∩ B =（ ） A． x  x > - 1  B． x  - 1 < x ≤ 1  C． x  - 1 < x < 1  D． x  1 < x < 2  2．若 z(  1 + i) = 1 - i，则 z =（ ） A． 1 - i B． 1 + i C． -i D． i 3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参 加 A、 B、 C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去 1 人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县， 则不同的派遣方案共有（ ） A． 24 B． 36 C． 48 D． 64 4．如图，在正四棱柱 ABCD — A1B1C1D1 中， AB = 2BB1， P 为 B1C1 的中点.则异面直线 AC 与 BP 所成的角为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6， 0.7，若两人各投 2 次，则两人投中次数不等的概率 是（ ） A. 0.6076 B. 0.7516  C. 0.3924 D. 0.2484 6．△ ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F， 使得 DE = 2EF，则 AF  ·BC  的值为（ ） A． -5 8   B． 1 8   C． 1 4   D． 11 8  7． Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地 区新冠肺炎累计确诊病例数 I t  （t 的单位：天）的 Logisic 模型： I t  = K 1 + e-0.23 t - 53  ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I t∗  = 0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t ∗ 约为（ln19 ≈ 3） （ ） A． 60 B． 63 C． 66 D． 69 8．设函数 f(x) = x(ex + ae-x) 的导函数为 f(x)，若 f(x) 是奇函数，则曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处 切线的斜率为（ ） A． -2e B． - 1 e  C． 2 D． 2e 二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错得 0 分．请将答案填写在答题卡相应 的位置上．） 9．为了对变量 x 与 y 的线性相关性进行检验，由样本点 x1, y1  、 x2, y2  、 ⋯、 x10, y10  求得两个 变量的样本相关系数为 r，那么下面说法中错误的有（ ） A. 若所有样本点都在直线 y = - 2x + 1 上，则 r = 1 B. 若所有样本点都在直线 y = - 2x + 1 上，则 r = - 2 C. 若 r  越大，则变量 x 与 y 的线性相关性越强 D. 若 r  越小，则变量 x 与 y 的线性相关性越强 10．已知双曲线 C： x2 a2 - y2 b2 = 1(a > 0， b > 0) 的离心率为 2 3  3 ，右顶点为 A，以 A 为圆心， b 为 半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M， N 两点，则（ ） A. 渐近线方程为 y = ± 3  x B. 渐近线方程为 y = ± 3  3 x C. ∠ MAN = 60° D. ∠ MAN = 120° 11．已知函数 f x  = Acos ωx + φ  (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π) 的图象的一个最高点为 - π 12 , 3  ，与之 相邻的一个对称中心为 π 6 , 0  ，将 f x  的图象向右平移 π 6  个单位长度得到函数 g x  的图象， 则（ ） A． g x  为偶函数 B． g x  的一个单调递增区间为 -5π 12 , π 12       C． g x  为奇函数 D． g x  在 0, π 2       上只有一个零点 12．若 a > 0， b > 0，则下面有几个结论正确的有（ ） A. 若 a ≠ 1， b ≠ 1，则 logab + logba ≥ 2 B. a2 + b2  a + b  ≥ 2  2  C. 若 1 a  + 4 b  = 2，则 a + b ≥ 9 2  D. 若 ab + b2 = 2，则 a + 3b ≥ 4 三、填空题： ( 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填写在答题卡相应的位置上． ) 13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著 作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生 12 只，且雌雄各半. 1 个月后，有一对老鼠生了 12 只小老鼠，一共有 14 只； 2 个月后，每对老鼠各生了 12 只小老 鼠，一共有 98 只.以此类推，假设 n 个月后共有老鼠 an 只，则 an = . 14．函数 y = (x + 3) - 1, (a > 0 且 a ≠ 1)log 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx + ny + 1 = 0 上 （其中 m， n > 0），则 1 m  + 2 n  的最小值等于 . 15．已知椭圆 x2 4  + y2 2  = 1 的焦点为 F，短轴端点为 P，若直线 PF 与圆 O : x2 + y2 = R2(R > 0) 相 切，则圆 O 的半径为 . 16．棱长为 12 的正四面体 ABCD 与正三棱锥 E — BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体 ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三楼锥 E — BCD 的体积为 _______，该正三棱锥 内切球的半径为 . 四、解答题： ( 本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案 填写在答题卡相应的位置上． ) 17．在① cos2B - 3  sinB + 2 = 0，② 2bcosC = 2a - c，③ b a  = cosB + 1 3  sinA  三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，并加以解答． 已知 △ ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 ______，且 a， b， c 成等差 数列，则 △ ABC 是否为等边三角形?若是，写出证明；若不是，说明理由， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．记 Sn 是正项数列 an  的前 n 项和， an + 1 是 4 和 Sn 的等比中项. （1）求数列 an  的通项公式； （2）记 bn = 1 an + 1  ⋅ an + 1 + 1  ，求数列 bn  的前 n 项和 Tn. 19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江 苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为 初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取 100 名学生家长参与问卷测试， 并将问卷得分绘制频数分布表如下： 得分 [30， 40） [40， 50） [50， 60） [60， 70） [70， 80） [80， 90） [90， 100] 男性人数 4 9 12 13 11 6 3 女性人数 1 2 2 21 10 4 2 （1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于 60 分）和“不太了解” （得分低于 60 分）两类，完成 2 × 2 列联表，并判断是否有 99.9% 的把握认为“学生家长对艺术素 质评价的了解程度”与“性别”有关？ 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 （2）以这 100 名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率现在再随机 抽取 3 名学生家长，设这 3 名家长中“比较了解”的人数为 X，求 X 的概率分布和数学期望． 附： X2 = n(ad - bc)2 (a + b) (c + d) (a + c) (b + d) ， n = a + b + c + d  ． 临界值表： P X2 ≥ x0  0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20．如图， AB 是半圆 O 的直径， C 是半圆 O 上除 A， B 外的一个动点， DC 垂直于半圆 O 所在的 平面， DC ∥ EB， DC = EB = 1， AB = 4. （1）证明：平面 ADE ⊥ 平面 ACD； （2）当 C 点为半圆的中点时，求二面角 D ﹣ AE ﹣ B 的余弦值. 21．已知函数 f(x) = 1 3 x3 + (a + 2) 2 x2 + 2ax． （1）当 a = 2 时，求过坐标原点且与函数 y = f x  的图像相切的直线方程； （2）当 a ∈ 0, 2  时，求函数 f x  在 -2a, a  上的最大值． 22．已知点 P(1, 3 2 ) 在椭圆 C： x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 上， F(1, 0) 是椭圆的一个焦点． （1）求椭圆 C 的方程； （2）椭圆 C 上不与 P 点重合的两点 D， E 关于原点 O 对称，直线 PD， PE 分别交 y 轴 于 M， N 两点．求证：以 MN 为直径的圆被直线 y = 3 2  截得的弦长是定值．