江苏省南京市2021届期中考试考前训练含解析 17页

1 江苏省南京市 2021 届期中考试考前训练 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知复数 （其中 是虚数单位），则 在复平面内对应点在（ ）． A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 2．已知集合 则 （ ） 3．已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为 　　 A． B． C． D． 4．函数 的零点所在区间为 　　 A． B． C． D． 5．函数 的部分图象大致为 　　 A． B． C． D． 6. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用 现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账 ( )1 2 3z i i+ = − i z { { }22 1 , 6 5 0A x B y y yx = ≥ = − + ≤ ， =A B ( ]A. 0,5 [ ]B. 0,5 ( ]C. 0,3 [ ]D. 0,3 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 5 2 C ( ) 2 0x y± = 2 0x y± = 3 0x y± = 3 0x y± = 3 1( ) ( )2 xf x x= − ( ) ( 1,0)− 1(0, )2 1( ,1)2 (1,2) 2 2( ) ( ) | |x xf x e e ln x−= + ( ) 2 方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有 　　 A．36 种 B．30 种 C．24 种 D．20 种 7．知四边形 是边长为 2 的正方形， 为平面 内一点，则 的最小值为 　　 A． B． C． D． 8 ． 已 知 直 线 与 直 线 相 交 于 点 ， 点 是 圆 上的动点，则 的最大值为 　　 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．某特长班有男生和女生各 10 人，统计他们的身高，其数据（单位： 如下面的茎叶图 所示，则下列结论正确的是 　　 A．女生身高的极差为 12 B．男生身高的均值较大 C．女生身高的中位数为 165 D．男生身高的方差较小 10．已知函数 的图象关于直线 对称，则 　　 A．函数 为奇函数 B．函数 在 ， 上单调递増 C．若 ，则 的最小值为 D．函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象 11．已知等比数列 的公比 ，等差数列 的首项 ，若 且 ， ( ) ABCD P ABCD ( ) ( )PA PB PC PD+ +     ( ) 1− 2− 4− 6− 1 : 0( )l kx y k R+ = ∈ 2 : 2 2 0l x ky k− + − = A B 2 2( 2) ( 3) 2x y+ + + = | |AB ( ) 3 2 5 2 5 2 2+ 3 2 2+ )cm ( ) ( ) sin(3 )( )2 2f x x π πϕ ϕ= + − < < 4x π= ( ) ( )12f x π+ ( )f x [12 π ]3 π 1 2| ( ) ( ) | 2f x f x− = 1 2| |x x− 3 π ( )f x 4 π cos3y x= − { }na 2 3q = − { }nb 1 12b = 9 9a b> 10 10a b> 3 则以下结论正确的有 　　 A． B． C． D． 12．当 时， 恒成立，则整数 的取值可以是 　　 A． B． C．0 D．1 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13．已知 锐角，且 ，则 ______． 14．曲线 在点 处的切线方程为________． 15．在三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ， 点 是 平 面 内 的 一 个 动 点 ， 若 ， 则 面 积 的 最 大 值 是 __________． 16．数列 的前 项和为 ， ， ， ，则数列 的 前 项和 _____． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分 10 分) 已知△ABC 中， 为钝角，而且 ， ，AB 边上的高为 ． （1）求 的大小； （2）求 的值． 18．(本小题满分 12 分) 为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某高校 入驻该园区．为了解教职工意愿，该高校在其所属的 8 个学院的教职员工中作了“是否愿意 将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8 个学院的调查人数及统计数据如下： C∠ 8AB = 3BC = 3 32 B∠ cos 3cosAC A B+ ( ) 9 10 0a a < 9 10a a> 10 0b > 9 10b b> 1x > (4 1 ) 3k lnx x lnx x− − < − + k ( ) 2− 1− α cos π 3 2 2 α − =   tanα = ( ) e 2xf x x= + ( )( )0, 0f ABC A B C a b c 30A = ° 45C = ° 3c = P ABC 60BPC∠ = ° PBC△ { }na n nS 1 2a = 1 11 2n nnS a +  = −   2logn nb a= 1 1 n nb b +       n nT = 4 调查人数（x） 10 20 30 40 50 60 70 80 愿意整体搬迁人数（y） 8 17 25 31 39 47 55 66 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归方程 （ 保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工 2500 人，请预测该校愿 意将学校整体搬迁至研发园区的人数； （2）若该校的 8 位院长中有 5 位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这 8 位院长中随机选取 4 位院长组成考察团赴研发区进行实地考察，记 X 为考察团中愿意将学 校整体搬迁至研发园区的院长人数，求 X 的分布列及数学期望． 参考公式及数据： ， ， ， ． 19．(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 中， 为直角梯形， ， ，平面 平 面 ． 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， 为 上一 点，且 ． （1）证明：直线 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 20．(本小题满分 12 分) 记 是正项数列 的前 项和， 是 和 的等比中项. ˆˆ ˆy bx a= + ˆb 1 2 2 1 ˆ · n i i i n i i x y n x y b x n x = = − ⋅ ⋅ = − ∑ ∑ ˆˆa y b x= − ⋅ 8 1 16310i i i x y = =∑ 8 2 1 20400i i x = =∑ S ABCD− ABCD / /AD BC BC CD⊥ SCD ⊥ ABCD SCD∆ CD 2 2 4BC AD CD= = = E BS 2BE ES= / /SD ACE S AC E− − nS { }na n 1na + 4 nS 5 （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 . 21．(本小题满分 12 分) 已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为 上的动点，其中 到 的最短距离为 1，且当△ 的面积最大时，△ 恰好为等边三角形． （1）求椭圆 的标准方程； （2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆 的外切圆为 ． 求圆 的方程； 在平面内是否存在定点 ，使得以 为直径的圆与 相切，若存在求出定点 的坐标； 若不存在，请说明理由 22．(本小题满分 12 分) 已知函数 ， ，曲线 在点 ， （1） 处的切线在 轴 上的截距为 ． （1）求 ； （2）讨论函数 和 的单调性； （3）设 ， ，求证： ． 江苏省南京市 2021 届期中考试考前训练 数学参考答案 一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1. D. 解析： { }na ( ) ( )1 1 1 1n n n b a a + = + ⋅ + { }nb n nT 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > P C P 1F 1 2PF F 1 2PF F C C E ( )i E ( )ii Q PQ E Q ( ) (2 )( 0f x ln x a x= + > 0)a > ( )y f x= (1 f ) y 23 3ln − a ( ) ( ) 2 ( 0)g x f x x x= − > 2( ) ( ) ( 0)2 1 xh x f x xx = − >+ 1 2 5a = 1 ( )n na f a+ = 15 2 1 2 0( 2)2 n n n na +− < − <  ( )( ) ( )( ) 3 1 23 1 7 1 7 1+2 1+2 1 2 5 5 5 i ii iz ii i i − −− −= = = = −− 6 2. A 解析∵ 3. 解析：双曲线 的离心率为 ， 可得： ，即 ， 可得 ， 则双曲线 的渐近线方程为： ． 故选： ． 4. 解析函数 是增函数并且是连续函数， 可得 ， （1） ． （1） ， 所以函数的零点在 ， ． 故选： ． 5. 解析函数 的定义域为 ， ， 为偶函数，排除选项 ； 当 时， ，当 时， ，排除选项 和 ． 故选： ． 6 ．.解析根据题意，依次分析四人的结账方式： 对于甲，只会用现金结账，有 1 种方式， 对于乙，只会用现金和银联卡结账，有 2 种方式， 对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有 3 种方式，若乙用银行卡，则丙有 2 种方式， 对于丁，用哪种结账方式都可以，有 4 种方式， 则他们结账方式的组合有 种， =(0,2],B=[1,5 = 0, ,5].] (A A B故 B 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 5 2 5 2 c a = 2 2 51 4 b a + = 1 2 b a = C 2 0x y± = B C 3 1( ) ( )2 xf x x= − 1 1 1( ) 02 8 2f = − < f 11 02 = − > 1( )2f f∴ 0< 1(2 1) C D ( )f x { | 0}x x ≠ 2 2 2 2( ) ( ) | | ( ) | | ( )x x x xf x e e ln x e e ln x f x− −− = + − = + = ( )f x∴ B 1x > ( ) 0f x > 0 1x< < ( ) 0f x < A C D D 3 4 2 4 20× + × = 7 故选： ． 7. 解析：以 为原点， 、 所在的直线分别为 、 轴建立如图所示的平面直角坐 标系，则 ， ， ， ． 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，当 ， 时， 取得最小值，为 ． 故选： ． 8. 解析：因为线 恒过定点 ，直线 恒过定点 且 ，故两直线的交点 在以 为直径的圆上，且圆的方程 ， 要 求 的 最 大 值 ， 转 化 为 在 上 找 一 点 ， 在 上找一点 ，使 最大， 根据题意可得两圆的圆心距 ，则 ． 故选： ． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9. 解析： 、找出所求数据中最大的值 173，最小值 161，再代入公式求值极差 ，故本选项符合题意； 、男生身高的数据在 之间，女生身高数据在 之间，所以男生身高的均 值较大，故本选项符合题意； 、抽取的 10 名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为 165 和 167，所 以中位数是 166，故本选项不符合题意； D C A AB AD x y (0,0)A (2,0)B (2,2)C (0,2)D ( , )P x y ( , )PA x y= − − (2 , )PB x y= − − (2 ,2 )PC x y= − − ( ,2 )PD x y= − − ∴ ( ) ( ) (2 2PA PB PC PD x+ + = −     2 ) (2 2y x− − 4 2 )y− 2 2(2 2 ) 4 8x y y= − + − 2 24( 1) 4( 1) 4x y= − + − − 1x = 1y = ( ) ( )PA PB PC PD+ +     4− C C 1 : 0l kx y+ = (0,0)O 2 : 2 2 0l x ky k− + − = (2,2)C 1 2l l⊥ A OC 2 2:( 1) ( 1) 2D x y− + − = | |AB 2 2:( 1) ( 1) 2D x y− + − = A 2 2:( 2) ( 3) 2E x y+ + + = B AB 2 2(1 2) (1 3) 5+ + + = | | 5 2 2maxAB = + C AB A 173 161 12= − = B 167 ~192 161~173 C 8 、抽取的学生中，男生身高的数据在 之间，女生身高数据在 之间，男 生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意． 故选： ． 10. 解 析 : 函 数 的 图 象 关 于 直 线 对 称 ， ， ； ， ； ； 对 于 ， 函 数 ， 根 据 正 弦 函 数 的 奇 偶 性 ， 所 以 因此函数 是奇函数，故 正确． 对于 ，由于 ， ， ， ，函数 在 ， 上不单 调，故 错误； 对于 ，因为 ， 又因为 ， 的周期 为 ，所以则 的最小值为 ， 正确； 对 于 ， 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到 函 数 ，故 错误． 故选： ． 11. 解析：数列 是公比 为 的等比数列， 是首项为 12，公差设为 的等差 数列， 则 ， ， ，故 正确； 正负不确定，故 错误； 正负不确定， 由 ，不能求得 的符号，故 错误； 由 且 ，则 ， ， 可得等差数列 一定是递减数列，即 ， 即有 ，故 正确． D 167 ~192 161~173 AB AC  ( ) sin(3 )( )2 2f x x π πϕ ϕ= + − < < 4x π= 3 4 2 k π πϕ π∴ × + = + k Z∈ 2 2 π πϕ− < < 4 πϕ∴ = − ( ) sin(3 )4f x x π∴ = − A ( ) sin[3( ) ] sin(3 )12 12 4f x x x π π π+ = + − = ( ) ( )f x f x− = − ( )f x A B [12x π∈ ]3 π 3 [04x π− ∈ 3 ]4 π ( ) sin(3 )4f x x π= − [12 π ]3 π B C ( ) 1maxf x = ( ) 1minf x = − 1 2| ( ) ( ) | 2f x f x− = ( ) sin(3 )4f x x π= − 2 3T π= 1 2|| x x− 3 π C D ( )f x 4 π ( ) sin[3( ) ] sin34 4 4f x x x π π π− = − − = − D AC AD { }na q 2 3 − { }nb d 8 9 1 2( )3a a= − 9 10 1 2( )3a a= − 2 17 9 10 1 2( ) 03a a a∴ = − < A 1a B 10a ∴ 10 10a b> 10b C 9 9a b> 10 10a b> 8 1 2( ) 12 83a d− > + 9 1 2( ) 12 93a d− > + { }nb 0d < 9 9 10a b b> > D 9 故选： ． 12. 解析：由 ，可得 ， 令 ，则 ， 可令 ， ，所以 在 递增， 因为 （1） ，所以 在 有且只有一个实根 ， 于是 在 递减，在 ， 递增， 所以 因为 （3） ， （4） ， 所以 ，且 ， 将 代入 可得 ， ， 因为 在 递增，所以 ， ， 即 ， ， 因为 为整数，所以 ， 故选： ． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13. 解析：由 ，得 ， 是锐角， ，则 ， 故答案为 ． 14. 解析：∵曲线 ，∴ ， 将 带入曲线中可得 ，带入导函数中可得 ， ∴曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． AD ABC (4 1 ) 3( 1)k lnx x lnx x x− − < − + > 1 3( )4 lnxk lnx x x < + + 3( ) ( 1)lnxF x lnx xx x = + + > 2 2 2 1 3 1 2( ) lnx x lnxF x x x x x − − −′ = − + = ( ) 2g x x lnx= − − 1 1( ) 1 0xg x x x −′ = − = > ( )g x (1, )+∞ g 0< ( ) 0F x′ = (1, )+∞ 0x ( )F x 0(1, )x 0(x )+∞ 0 0 0 0 0 3( ) ( ) (*)min lnxF x F x lnx x x = = + + F′ 1 3 09 ln−= < F′ 2 4 1 2 016 8 ln ln− −= = > 0 (3,4)x ∈ 0 02 0x lnx− − = 0 0 2lnx x= − (*) 0 0 0 0 0 0 0 23 1( ) ( ) 2 1min xF x F x x xx x x −= = − + + = + − 0 (3,4)x ∈ 0 0 1 1t x x = + − (3,4) 7(3t ∈ 13)4 1 7( ) (4 12minF x ∈ 13)16 k 0k ABC 3 cos π 3 2 2 α − =   3sin 2 α = α 60α∴ = ° tan 3α = 3 2 0x y− + = ( ) e 2xf x x= + ( ) e ex xf x x=′ + 0x = ( )0 2f = ( ) 00 e 1f ′ = = ( ) e 2xf x x= + ( )0,2 2y x− = 2 0x y− + = 10 15. 解 析 ： ∵ ， ， ， ∴ 由 正 弦 定 理 ， 可 得 ．又 ，∴在三角形 中，令 ，令 ， 由余弦定理可得 ， ∴ ，（当且仅当 时等号成立） ∴ ，∴ ．故答案为 ． 16. 解析： ， ， ， 两式作差，得 ， 化简得 ， 检验：当 时， ， ， ，所以数列 是以 2 为首项，2 为 公比的等比数列； ， ， 令 ， ， 故填 ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 （1）由三角形面积可知 ， ……………2 分 ，又因为 是锐角，所以 ． ………………5 分 （2）由（1）可知 ， 所以 ．………………………………7 分 9 3 8 30A = ° 45C = ° 3c = sin sin a c A C = 13sin 3 22 sin 22 2 c Aa C ×⋅= = = 60BPC∠ = ° PBC PB m= PC n= 2 2 9 12cos 2 2 m n BPC mn + − ∠ = = 2 2 9 922 2m n mn mn+ − = ≥ − 3 2 2m n= = 9 2mn ≤ 1 9 3sin2 8S mn BPC= ∠ = 9 3 8 1 n n + 1 11 2n nnS a +  = −   2n ≥ 时 1 1 11 2n nnS a− −  = −   ( )1 1 1 11 1 2 2 2n n nn na a a n+ −    = − − − ≥       ， ( )1 2 2n n a na + = ≥， 1n = 1 1 2 1 22S a a= = × = 2 4a = 2 1 2a a = { }na 2n na = 2 2log log 2n n nb a n= = = ( )1 1 1 1 1 1 1n n n c b b n n n n+ = = = −+ + 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1 1n nT n n n n = − + − + − + + − = − =+ + + 1 n n + 1 3 18 3 3 8 sin2 2 2 B× × = × × × 3sin 2B = B∠ π 3B∠ = 2 2 2 2 cos 64 9 24 49AC AB BC AB BC B= + − × × = + − = 7AC = 11 又因为 ，……………9 分 因此 ．………………12 分 18. 解：（1）由已知有 ， ， ， ，…………………………………………………………………4 分 故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为 y=0.80x，……………………………………5 分 所以当 x=2500 时，y=2500×0.80=2000． ………………………………………… 6 分 （2）由题意可知 X 的可能取值有 1，2，3，4．……………………………………7 分 ， ， ， ． …………………………………11 分 所以 X 的分布列为 E(X)= ． ……………………………………………12 分 19. （1）证明：连接 交 于点 ，连接 ． 因为 ，所以 与 相似． 所以 ． 又 ，所以 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 ． （2）解：平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ． 以 为坐标原点， 所在的方向分别为 轴、 轴的正方向， X 1 2 3 4 P 2 2 2 64 49 9 13cos 2 2 8 7 14 AB AC BCA AB AC + − + −= = =× × × 1 13cos 3cos 3 7 82 14AC A B+ = × + × = 45x = 36y = 1 2 2 2 1 . . 16310 8 45 36ˆ 0.80 20400 8 45. n i i i n i i x y n x y b x n x = = − − × ×= = ≈ − ×− ∑ ∑ ˆ 36 0.80 45 0a = − × = 1 3 5 3 4 8 1( 1) 14 C CP X C ⋅= = = 2 2 5 3 4 8 3( 2) 7 C CP X C ⋅= = = 2 1 5 3 4 8 3( 3) 7 C CP X C ⋅= = = 4 5 4 8 1( 4) 14 CP X C = = = 1 3 3 1 51 2 3 414 7 7 14 2 × + × + × + × = BD AC F EF / /AD BC AFD∆ BCF∆ 2BF BC FD AD = = 2BE BF ES FD = = / /EF SD EF ⊂ ACE SD ⊂/ ACE / /SD ACE SCD ⊥ ABCD SCD ∩ ABCD CD= BC ⊂ ABCD BC CD⊥ BC ⊥ SCD C ,CD CB  y z 1 14 3 7 3 7 1 14 12 与 均垂直的方向作为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ． 则 ，0， ， ，1， ， ，2， ， ， ，2， ， ，1， ， ． 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 则 ，令 ，得 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ， 则 ，令 ，得 ， ， ． 设二面角 的平面角的大小为 ， 则 ． 所以二面角 的余弦值为 ． 20. （1）因为 是 和 的等比中项， 所以 ①，当 时， ②， 由① ②得： ， 化简得 ，即 或者 （舍去）， ,CD CB  x C xyz− (0C 0) (1S 0) (0A 2) 2 2 4( , , )3 3 3E (0CA = 2) (1CS = 0) 2 2 4( , , )3 3 3CE = SAC (m x= y )z 2 2 0 0 m CA y z m CS x y  = + = = + =   1x = (1m = 1− 1) EAC (n x= y )z 2 2 0 2 2 4 03 3 3 n CA y z n CE x y z  = + = = + + =   1z = ( 1n = − 1− 1) S AC E− − θ | | 1 1cos | | | | 33 3 m n m n θ = = =    S AC E− − 1 3 1na + 4 nS ( )21 4n na S+ = 2n ≥ ( )2 1 11 4n na S− −+ = − ( ) ( )2 2 1 11 1 4 4n n n na a S S− −+ − + = − ( ) ( )2 2 11 1n na a −− = + 11 1n na a −− = + ( )11 1 0n na a −− + + = 13 故 ，数列 为等差数列， 因为 ，解得 ， 所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列， . （2）因为 ， 所以 . 21. 解：（1）由题意可得： ，面积最大时 为短轴的顶点，再由△ 恰好为等 边三角形，可得 ， ， 解得： ， ， 所以椭圆的标准方程为： ； （2） 由（1）得圆 的圆心坐标为 ，半径为 ， 所以圆 的方程为： ； 解法一：假设存在满足条件的定点 ， 由题意可知定点 必在 轴上，设 ， ， ，则 ， 由 可知，圆 的圆心为坐标原点 ，半径为 2， 设以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，则 为线段 的中点， ，即 ， ， ， 因为圆 与圆 相切，则 ， 所以 ，其中 ， 1 2( 2)n na a n−− = ≥ { }na ( )2 1 11 4a S+ = 1 1a = { }na 1 2 2 1na n= − 1 1 1 1 2 (2 2) 4 1nb n n n n  = = − ⋅ + +  1 2 1 1 1 1 1 114 2 2 3 1 4( 1)n n nT b b b n n n  = + + + = − + − +⋅⋅⋅+ − = + +  1a c− = P 1 2PF F 3 22b c=  2 2 2a b c= + 2 4a = 2 3b = 2 2 14 3 x y+ = ( )i E (0,0) 2a = E 2 2 4x y+ = ( )ii Q Q x ( ,0)Q m 0(P x 0 )y 2 2 0 0 14 3 x y+ = ( )i E O PQ G r G PQ | | 2 PQr = 0( 2 x mG + 0 )2 y 2 2 0 0 1 ( )2r x m y= − + E G | | 2OG r= − 2 2 2 20 0 0 0 1( ) 2 ( )2 4 2 x m y x m y + + = − − + 2 2 0 0 33 4y x= − 14 两边平方并整理得： ，化简得 ， 上式对任意 ， 恒成立， 故 ，解得 ， 所以，当定点 恰好为椭圆的焦点时，符合题意． 解法二：存在满足条件的定点 ， 由题意可知，当 为长轴的端点时， 即为切点，因此，定点 必在 轴上，设 ， ， ，则 ， 由 可知，圆 的圆心为坐标原点 ，半径为 2， 设以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，则 为线段 的中点，则 ， 即 ， ， ， 因为圆 与圆 相切，则 ， 所以 ， 整理得 ， 设 ，则 ， 又因为 在椭圆 上，设 ， 分别为椭圆的左右焦点， ， 故 ， 分别与 ， 重合， 所以当定点 恰好为椭圆的 的焦点时，符合题意． 解法三：假设存在满足条件的定点 ，由题意可知定点 必在 轴上， 由 可知，圆 的圆心为坐标原点 ，半径为 2， 设以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，则 为线段 的中点，则 ， 因为圆 与圆 相切，则 ，即 ， 2 2 0 0 04 2 ( )mx x m y− = − + 2 2 0( 1)( 4) 0m x− − = 0 [ 2x ∈ − 2] 2 1 0m − = 1m = ± Q Q P P Q x ( ,0)Q m 0(P x 0 )y 2 2 0 0 14 3 x y+ = ( )i E O PQ G r G PQ | | 2 PQr = 0( 2 x mG + 0 )2 y 2 2 0 0 1 ( )2r x m y= − + E G | | 2OG r= − 2 2 2 20 0 0 0 1( ) 2 ( )2 4 2 x m y x m y + + = − − + 2 2 2 2 0 0 0 0( ) ( ) 4x m y x m y+ + + − + = ( ,0)Q m′ − | | | | 4PQ PQ′ + = P 2 2 14 3 x y+ = 1F 2F 1 2| | | | 4PF PF+ = Q Q′ 1F 2F Q C Q Q x ( )i E O PQ G r G PQ | | 2 PQr = E G | | 2OG r= − | || | 2 2 PQOG = − 15 所以 ， 设 为 关于原点对称点，则 恰好为△ 的中位线， 所以 ， 所以 ，下同解法二； 解法四：假设存在满足条件的定点 ，设 ， ， ，则 由 可知，圆 的圆心为坐标原点 ，半径为 2， 设以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，则 为线段 的中点，则 ，即 ， ， ， 因为圆 与圆 相切，则 ， 所以 ， 整理得 ， 设 ，因此 ，下同解法一． 22. （1）对 求导，得 ． 因此 ．又因为 （1） ， 所以曲线 在点 ， （1）处的切线方程为 ， 即 ． 由题意， ． 显然 ，适合上式． 令 ， 求导得 ， 因此 （a）为增函数：故 是唯一解． 2 | | | | 4OG PQ+ = Q′ Q OG QQ P′ 2 | | | |OG PQ= ′ | | | | 4PQ PQ′ + = Q ( , )M m n 0(P x 0 )y 2 2 0 0 14 3 x y+ = ( )i E O PQ G r G PQ | | 2 PQr = 0( 2 x mG + 0 )2 y n+ 2 2 0 0 1 ( ) ( )2r x m y n= − + − E G | | 2OG r= − 2 2 2 20 0 0 0 ( ) ( ) 12 ( ) ( )4 4 2 x m y n x m y n + ++ = − − + − 2 2 2 2 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 4x m y n x m y n+ + + + − + − = ( , )Q m n− − | | | | 4PQ PQ′ + = ( ) (2 )f x ln x a= + 2( ) 2f x x a ′ = + 2(1) 2f a ′ = + f (2 )ln a= + ( )y f x= (1 f 2(2 ) ( 1)2y ln a xa − + = −+ 2 2(2 )2 2y x ln aa a = + + −+ + 2 2(2 ) 32 3ln a lna + − = −+ 1a = 2( ) (2 ) ( 0)2a ln a aa ϕ = + − >+ 2 1 2( ) 02 (2 )a a a ϕ′ = + >+ + ϕ 1a = 16 （2）由（1）可知， ， ， 因为 ， 所以 为减函数． 因为 ， 所以 为增函数． （3）证明：由 ， ，易得 由（2）可知， 在 上为减函数． 因此，当 时， ，即 ． 令 ，得 ，即 ． 因此，当 时， ． 所以 成立． 下面证明： ． 方法一：由（2）可知， 在 上为增函数． 因此，当 时， ， 即 ． 因此 ， 即 ． 令 ，得 ， 即 ． 当 时， ． ( ) (2 1) 2 ( 0)g x ln x x x= + − > 2( ) (2 1) ( 0)2 1 xh x ln x xx = + − >+ 2 4( ) 2 02 1 2 1 xg x x x ′ = − = − <+ + ( ) ( ) 2 ( 0)g x f x x x= − > 2 2 2 2 4( ) 02 1 (2 1) (2 1) xh x x x x ′ = − = >+ + + 2( ) ( ) ( 0)1 2 xh x f x xx = − >+ 1 2 5a = 1 ( ) (2 1)n n na f a ln a+ = = + 15 2 1 20. 22 5 n n n nn n a aa +−> < − ⇔ < ( ) ( ) 2 (2 1) 2g x f x x ln x x= − = + − (0, )+∞ 0x > ( ) (0) 0g x g< = ( ) 2f x x< 1( 2)nx a n−=  1 1( ) 2n nf a a− −< 12n na a −< 2n 2 1 1 2 1 22 2 2 5 n n n n na a a a− − −< < <…< = 15 2 1 22 n n na +− < − 1 2 0 na − < 2 2( ) ( ) (2 1)2 1 2 1 x xh x f x ln xx x = − = + −+ + (0, )+∞ 0x > ( ) (0) 0h x h> = 2( ) 02 1 xf x x > >+ 1 1 1( ) 2f x x < + 1 1 12 ( 2)( ) 2f x x − < − 1( 2)nx a n−=  1 1 1 1 12 ( 2)( ) 2n nf a a− − − < − 1 1 1 12 ( 2)2n na a − − < − 2n = 2 1 1 1 1 1 12 2 2 2 22( ) 1.8( )5 na a f a lnf − = − = − = − = − 17 因为 ， 所以 ，所以 ． 所以，当 时， ． 所以，当 时， 成立． 综上所述，当 时， 成立． 方法二： 时，因为 ， 所以 ． 下面用数学归纳法证明： 时， ． ①当 时， ． 而 ， 因为 ，所以 ．可见 ，不等式成立． ②假设当 时不等式成立，即 ． 当 时， ． 因为 ， 是增函数， 所以 ． 要证 ，只需证明 ． 而 ， 因为 ，所以 ．所以 ． 可见， 时不等式成立． 由①②可知，当 时， 成立． 11.8 3 2ln ln ln e> > = 1 2 01.8ln − < 2 1 2 0a − < 3n 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 12 ( 2) ( 2) ( 2) 02 2 2n n n na a a a− − − − < − < − <…< − < 2n 1 2 0 na − < 2n 15 2 1 2 02 n n na +− < − < 2n 0na > 1 1 12 0 2 2n n n aa a − < ⇔ < ⇔ > 2n 1 2na > 2n = 2 1 1 2( ) (2 1) (2 1) 1.85a f a ln a ln ln= = + = × + = 2 2 11.8 1.8 2 1.8 2 1.8 2 3.24 22a ln ln ln= > ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ > 3.24 2> 2 1 2a > 2n = ( 2)n k k=  1 2ka > 1n k= + 1 ( ) (2 1)n k k ka a f a ln a+= = = + 1 2ka > ( ) (2 1)f x ln x= + 1 1(2 1) (2 1) 22k ka ln a ln ln+ = + > × + = 1 1 2ka + > 12 2ln > 2 212 2 2 2 2 2 ( 2) 4 22ln ln ln> ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ > 4 2> 12 2ln > 1 1 2ka + > 1n k= + 2n 1 2na >