河北省石家庄二中2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析 19页

‎2019~2020学年第二学期集团联考 高二数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，再求，得到答案.‎ ‎【详解】由题，或，‎ 则或.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法法则将复数化为一般形式，可得出复数 - 19 -‎ 的一般形式，进而可利用复数的模长公式可求得.‎ ‎【详解】，则，因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.下列各组函数中表示的函数不同的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析各选项中函数和的定义域和解析式的异同，可得出结论.‎ ‎【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，且，‎ A选项中的两个函数是同一个函数；‎ 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，且，‎ B选项中的两个函数是同一个函数；‎ 对于C选项，函数定义域为，函数的定义域为，两个函数对应法则相同，‎ C选项中的两个函数是同一个函数；‎ 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，‎ - 19 -‎ D选项中的两个函数不是同一函数.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数相等的判断，一般要分析两个函数的定义域和解析式的异同，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎4.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式以及二倍角余弦公式可求得所求代数式的值.‎ ‎【详解】.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.若函数是上的奇函数，则实数的值可以为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是上的奇函数可得出的表达式，利用赋值法可得出结果.‎ ‎【详解】由于函数是上的奇函数，则，当时，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎6.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性，再根据特殊函数值即可求出．‎ ‎【详解】因为，所以，即为偶函数，排除B，D.‎ 取，，排除C.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化情况是关键，属于基础题.‎ ‎7.“”是“函数在上有极值”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的极值点，利用该极值点在内求得实数取值范围，利用集合的包含关系可得出结论.‎ ‎【详解】，则，令，可得.‎ - 19 -‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在处取得极小值.‎ 若函数在上有极值，则，.‎ 因此，“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.‎ ‎8.函数在上是减函数，那么的值可以是（ ）‎ A. B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数在为减函数可以得到半周期满足的不等式，从而可以得到的取值范围，故可得正确的选项.‎ ‎【详解】由题意可知函数的最小正周期，故，所以，即.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属于基础题．‎ ‎9.若函数的值域为，则a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ 分别求出当，对应的值域，再由题意解不等式组，即可得出答案.‎ ‎【详解】当时，‎ 当时，‎ 函数的值域为 ‎，即 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了由分段函数的值域求参数的范围，属于中档题.‎ ‎10.已知函数 ，则的零点个数为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，函数的零点个数，即方程的实数根个数，设，则，作出的图象，结合图象可知，方程有三个实根，进而可得答案.‎ ‎【详解】由题意，函数的零点个数，即方程的实数根个数，‎ 设，则，作出的图象，‎ 如图所示，结合图象可知，方程有三个实根，，，‎ 则 有一个解，有一个解，有三个解，‎ - 19 -‎ 故方程有5个解.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.‎ ‎11.在中，角、、所对的边分别是、、.已知，，且满足，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理边角互化思想化简得出，利用余弦定理化简得出，结合，根据函数在上的单调性可求得的取值范围.‎ ‎【详解】且，所以，‎ 由正弦定理得，即，‎ ‎，，所以，，则，‎ 由余弦定理得，‎ ‎，则，由于双勾函数在上单调递增，‎ - 19 -‎ 则，即，所以，.‎ 因此，的取值范围为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角形内角余弦值的取值范围的求解，考查了余弦定理以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.设函数，对任意正实数x，恒成立，则m的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 恒成立， 令，利用导数研究函数的性质，作出的图象，考虑曲线与直线相切的情况，得到答案.‎ ‎【详解】等价于 令， ‎ 则 令 ，可得 ‎ ‎ 则在递增，递减，递增，‎ 作出，示意图如图所示：‎ - 19 -‎ 满足题意时, 的图象在直线 的上方. ‎ 设曲线与直线 相切, 切点坐标为 ‎ 则 ，，结合际数图象可得.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图象和性质，曲线的切线问题，还考查了转化思想，数形结合思想，运算能力，难度较大.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，，则等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角差的正切公式可求得的值.‎ ‎【详解】由两角差的正切公式得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.如图，嵩山上原有一条笔直山路，现在又新架设了一条索道，小李在山脚 - 19 -‎ 处看索道，发现张角；从处攀登400米到达处，回头看索道，发现张角；从处再攀登800米方到达处，则索道的长为________米． ‎ ‎ ‎ ‎【答案】400‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】在中，米，，∵，‎ ‎∴，得中，，‎ ‎（米），‎ 在中，，，‎ ‎，‎ 故答案为米．‎ ‎15.已知偶函数在区间上单调递减，则满足的x的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为偶函数，则，，根据在区间上单调递减，得，解不等式得到的取值范围.‎ ‎【详解】因为函数为偶函数,所以，，‎ 所以不等式等价于,‎ 又因为函数在区间单调递减,所以，得 解得,所以的取值范围是.‎ - 19 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法，属于中档题.‎ ‎16.已知函数，，其中、，若存在极值点，且，其中，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得出，再根据利用作差因式分解可得出的值.‎ ‎【详解】，，‎ 由题意可得，则，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ ‎，即 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值，主要考查因式分解，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.‎ ‎17.已知函数.‎ - 19 -‎ ‎（1）求图象的对称轴方程；‎ ‎（2）求的最小值及此时自变量的取值集合.‎ ‎【答案】（1）（2）的最小值为1，此时自变量的取值集合为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简函数，令可得解；‎ ‎（2）当时，函数有最小值1，利用整体换元可得的取值集合.‎ ‎【详解】解：（1）（或）.‎ 令（或），‎ 解得.‎ 故图象的对称轴方程为.‎ ‎（2）由（1）可知，，则.‎ 此时，，即，‎ 解得.‎ 故的最小值为1，此时自变量的取值集合为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式及三角函数的对称轴和最值得求解，用到了整体换元的思想，属于基础题.‎ ‎18.在 中，内角 的对边分别为，已知 - 19 -‎ ‎ .‎ ‎(1)证明： ；‎ ‎(2)若 ，求 边上的高.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)由，结合正弦定理可得，即；‎ ‎（2）由，结合余弦定理可得，从而可求得 边上的高.‎ 详解：（1）证明：因为，‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 故.‎ ‎(2)解：因为，‎ 所以 又，所以，解得，‎ 所以，‎ 所以边上的高为.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎19.已知函数.‎ - 19 -‎ ‎（1）当时，求的零点个数；‎ ‎（2）讨论的单调性.‎ ‎【答案】（1）个；（2）答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，利用导数分析函数的单调性与极值，利用函数的极大值和极小值的符号可得出函数的零点个数；‎ ‎（2）求得，对参数分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和单调递减区间.‎ ‎【详解】（1）当时，，.‎ 令，可得，，列表如下：‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，‎ 则函数的极大值为，极小值为，‎ 又，由零点存在定理可知，函数在区间上存在唯一零点，‎ 因此，当时，函数只有一个零点；‎ ‎（2）函数的定义域为，‎ ‎.‎ - 19 -‎ ‎①当时，则，令，可得或；令，可得.‎ 此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；‎ ‎②当时，令，可得；令，可得或.‎ 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；‎ ‎③当时，对任意，，‎ 此时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ ‎④当时，令，可得；令，可得或.‎ 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.‎ 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；‎ 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；‎ 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数的零点个数，同时也考查了利用导数求解含参函数的单调区间，考查分类讨论思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ ‎20.在锐角中，内角A,B,C的对边分别为且 ‎（1）求角A；‎ ‎(2)若的面积为，求实数的范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理和两角差的正弦公式求得，得 - 19 -‎ A可求；(2)由面积公式得，进而得由三角形内角和表示为C的函数求解即可 ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以，所以，所以，又A为锐角，；‎ ‎(2)因为，所以，‎ 所以，又，‎ 所以，所以，所以，故<‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理及三角恒等变换，同角三角函数基本关系，熟记公式及定理，准确计算是关键，是中档题 ‎21.已知函数 ‎（1）讨论的单调性.‎ ‎（2）当时，在上是否恒成立？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）当时，恒成立.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域与导数，对分和两种情况进行分类讨论，结合导数的符号得出函数的单调区间；‎ ‎（2）构造函数，利用导数分析出函数在上单调递增，由此得出从而得出题中结论成立．‎ ‎【详解】（1）因为，定义域为，所以，‎ - 19 -‎ 当时，，则在上单调递增. ‎ 当时，‎ 所以当时，；当时，. ‎ 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ ‎（2）当时，在上恒成立，证明如下：‎ 设，‎ 则 ‎ 当时，，在上是增函数.‎ 从而，即，所以 故当时，恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数证明不等式，在证明不等式时，要利用导数分析函数的单调性、极值以及最值，结合极值与最值的符号进行证明，考查分类讨论思想与转化与化归思想，属于中等题．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若只有一个零点，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，求出，解不等式、‎ - 19 -‎ 可分别得出函数的单调递减区间和单调递增区间；‎ ‎（2）求得函数的导数，对和的大小关系进行分类讨论，利用导数分析函数的单调区间和极值，由题意得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，定义域为，‎ ‎.‎ 令，可得；令，可得或.‎ 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；‎ ‎（2）函数的定义域为，‎ ‎.‎ ‎①当时，即当时，，‎ 对任意的，，则函数在上单调递增，‎ 当时，，又，‎ 此时，函数只有一个零点，且；‎ ‎②当时，列表如下：‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，‎ 若只有一个零点，且，则，解得，‎ 此时，；‎ - 19 -‎ ‎②当时，列表如下：‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，‎ 若只有一个零点，且，则，解得或.‎ 此时或.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于难题.‎ - 19 -‎