【数学】2019届一轮复习北师大版2-6　对数与对数函数学案 15页

‎§2.6　对数与对数函数 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．‎ ‎2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的对数函数的图象．‎ ‎3.体会对数函数是一类重要的函数模型．‎ ‎4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.‎ 以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.‎ ‎1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．‎ ‎2．对数的性质与运算法则 ‎(1)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：‎ ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM (n∈R)．‎ ‎(2)对数的性质 ‎①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0，且a≠1)．‎ ‎(3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．‎ ‎3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1‎ ‎01时，y>0；当01时，y<0；当00‎ ‎(6)在(0，＋∞)上是增函数 ‎(7)在(0，＋∞)上是减函数 ‎4.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．‎ 知识拓展 ‎1．换底公式的两个重要结论 ‎(1)logab＝；‎ ‎(2)＝logab.‎ 其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.‎ ‎2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故00，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)‎ ‎(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)‎ ‎(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　√　)‎ ‎(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P74T3]lg －＋lg 7＝________.‎ 答案　 解析　原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5‎ ‎＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.‎ ‎3．[P82A组T6]已知a＝，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为________．‎ 答案　c>a>b 解析　∵01.‎ ‎∴c>a>b.‎ ‎4．[P74A组T7]函数y＝的定义域是______．‎ 答案　 解析　由≥0，得0<2x－1≤1.‎ ‎∴0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)‎ A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c 答案　B ‎6．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是 ‎(　　)‎ A．a>1，c>1 B．a>1,01 D．00且a≠1)，则实数a的取值范围是____________________．‎ 答案　∪(1，＋∞)‎ 解析　当01时，loga1.‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．‎ 题型一　对数的运算 ‎1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)‎ A. B．10‎ C．20 D．100‎ 答案　A 解析　由已知，得a＝log2m，b＝log5m，‎ 则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.‎ 解得m＝.‎ ‎2．计算：÷＝________.‎ 答案　－20‎ 解析　原式＝(lg 2－2－lg 52)×＝lg×10‎ ‎＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.‎ ‎3．计算：＝________.‎ 答案　1‎ 解析　原式 ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝＝1.‎ 思维升华 对数运算的一般思路 ‎(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．‎ ‎(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．‎ 题型二　对数函数的图象及应用 典例 (1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)‎ 答案　B 解析　由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B.‎ ‎(2)当01时，不符合题意，舍去．‎ 所以实数a的取值范围是.‎ 引申探究　‎ 若本例(2)变为方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________．‎ 答案　 解析　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，‎ 由图象知解得01时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．‎ 题型三　对数函数的性质及应用 命题点1　对数函数的单调性 典例 (1)若a>b>0,0cb 答案　B 解析　当00在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，‎ ‎－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故选D.‎ 命题点2　和对数函数有关的复合函数 典例 已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0且a≠1)．‎ ‎(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．‎ 解　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，‎ 则t(x)＝3－ax为减函数，‎ x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，‎ 当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，‎ 即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．‎ ‎∴3－2a>0.∴a<.‎ 又a>0且a≠1，∴a的取值范围为(0,1)∪.‎ ‎(2)假设存在这样的实数a.‎ t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数．‎ ‎∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，‎ ‎∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，‎ ‎∴即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.‎ 思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．‎ ‎(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．‎ 跟踪训练 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)‎ A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　a＝log32log22＝1，所以c最大．‎ 由1，即a>b，‎ 所以c>a>b.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝ln的定义域是(1，＋∞)，则实数a的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　由题意，得不等式1－>0的解集是(1，＋∞)，由1－>0，可得2x>a，故x>log2a，由log2a＝1，‎ 得a＝2.‎ 比较指数式、对数式的大小 考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一．‎ ‎(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．‎ ‎(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.‎ 典例 (1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．clog0.30.3＝1，即c>1.‎ 所以b1，b＝log0.40.5∈(0,1)，‎ c＝log80.4<0，∴a>b>c.故选B.‎ 答案　B ‎(3)若实数a，b，c满足loga2b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b 解析　易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f＝f(4)，所以b>a>c.‎ 答案　B ‎1．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)‎ A．b2.‎ ‎∵c＝0.83.1，∴01时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.‎ 综上可知x≥0.‎ ‎9．(2017·南昌模拟)设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a0，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　当00，即0<－a<1，‎ 又2×－a>0，解得1时，函数f(x)在区间上是增函数，‎ 所以loga(1－a)>0，即1－a>1，且2×－a>0，‎ 解得a<0，且a<1，此时无解．‎ 综上所述，实数a的取值范围是.‎ ‎12．(2018·长沙模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)解不等式f(x2－1)>－2.‎ 解　(1)当x<0时，－x>0，‎ 则f(－x)＝．‎ 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．‎ 所以x<0时，f(x)＝，‎ 所以函数f(x)的解析式为 f(x)＝ ‎(2)因为f(4)＝＝－2，f(x)是偶函数，‎ 所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．‎ 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，‎ 所以0<|x2－1|<4，解得－－2，所以－f(2) B．f(a＋1)f(2)．‎ ‎14．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由题意可知原条件等价于f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥，故选A.‎ ‎15．已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0ln 恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)由>0，解得x<－1或x>1，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，‎ 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，‎ f(－x)＝ln ＝ln ‎＝ln－1＝－ln ＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)＝ln 是奇函数．‎ ‎(2)∵x∈[2,6]时，f(x)＝ln >ln 恒成立，∴>>0，‎ ‎∵x∈[2,6]，∴0