【数学】2019届一轮复习北师大版函数、数列、三角函数中大小比较问题学案 8页

热点三 函数、数列、三角函数中大小比较问题 ‎ 纵观近几年高考对于大小比较问题的考查，重点放在与函数、数列、三角函数的大小比较问题上，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答，从实际教学 看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.学 ！ ‎ ‎1 函数中的大小比较问题 函数是高中数学必修教材中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用判断单调性、最值、单调性、奇偶性、周期性等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路.‎ 1.1 ‎ 指数函数中的大小比较问题 ‎ 比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等，是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性，要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”，还应注意中间量0，1等的运用．‎ 例1设,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵‎ ‎∴， ‎ ‎∴‎ 故选A .‎ 1.2 对数函数中的大小比较问题 ‎ 比较对数值的大小时，要注意区分对数底数是否相等，是用对数函数的单调性，还是用对数函数的单调性，要注意对数函数图象的应用，还应注意中间量0，1等的运用．‎ 例2设，且，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 1.1 幂函数、指数函数、对数函数值的综合比较 基本初等函数是高中数学必修教材中重要内容，应用广泛，从近几年高考命题看，涉及函数性质的应用比较大小问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数等综合在一起，考查考生的综合应用知识解决问题的能力.‎ 例3【2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考】设， ， ,则(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由幂函数的性质可得， ,由对数函数的性质可得， ,所以，故选C.‎ ‎1.4 通过求函数的最值证明不等式 ‎ 在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上 .[ ‎ 例4.已知函数（其中，是自然对数的底数 （1） 若，判断函数在区间上的单调性；‎ （1） 若函数有两个极值点，，求的取值范围；‎ （2） 在（2）的条件下，试证明 .‎ ‎【答案】（1）在上单调递减；（2）实数的取值范围是；（3）见解析. ‎ ‎【解析】（1）若，，则，当时，，‎ ‎ 故函数在区间上是单调递减函数；‎ ‎（2）函数有两个极值点，，则，是[ 学 ]‎ 的两个根，即方程有两个根， 设，则，∴‎ ‎ 在上单调递增，在上单调递减，∴，又∵当时，‎ ‎ ，，当时，，∴实数的取值范围是；‎ ‎（3）由（2）可知，函数的两个极值点，满足，由，‎ ‎ 得，∴，又∵，∴‎ ‎ ，即.学 = ‎ ‎2 数列与不等式相结合 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年 加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未 ‎ 高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．‎ ‎2.1 数列中的不等问题 ‎ 例5【2018届河南省南阳市第一中学高三第六次考】已知单调递增的等差数列，其前项和为，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的公差为，‎ 由题意可得，即，且．‎ 令，则①，．‎ 画出不等式组①表示的可行域（如图所示），‎ 由得，平移直线．‎ 设直线经过可行域内的点A时， 的值为；经过可行域内的点B时， 的值为，则．‎ 由条件可得，所以．‎ ‎∴．‎ ‎∴的取值范围是．‎ 答案 ‎ ‎2.2 数列参与的不等式证明 ‎ 此类不等式的证明常用的方法 （1）比较法；（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．‎ 例6【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列的前项和．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求证 ．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析 (Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式 ；（Ⅱ）化简 ，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.[ 学+ + ]‎ ‎3 三角函数的最值与综合运用 ‎1. 掌握求三角函数最值的常用方法 ‎ ‎①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等.‎ ‎2. 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.‎ ‎（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性；‎ ‎（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.‎ ‎3.1 解三角形中的最值问题 例7在中，角、、的对边分别为、、，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析 （1）利用二倍角公式对原等式化简可求得 的值，进而求得 ． （2）对原等式平方，利用向量的数量积的运算公式求得关于 和 的关系式，进而利用基本不等式求得 的范围，进而求得三角形面积的最大值．‎ 试题解析 ‎ ‎（1）由得 解得， ‎ 由，所以 ‎ ‎3.2 与三角函数有关的最值问题 ‎ 例8【2018届江苏省泰州中学高三10月】已知函数.‎ ‎（1）将化简为的形式，并求最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.‎ ‎【答案】（1） ， ；（2）时， ， 时， .‎ ‎【解析】试题分析 （1）由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．‎ 试题解析 ‎ ‎（1）‎ 所以.‎ ‎【反思提升】综合上面的三种类型，解决函数、数列、三角函数中的大小比较问题，解答时首先要找准模型，通过转化 解决，一般情况下，此类问题是几个知识点的交汇，需综合不等式、函数等性质解题.大小比较问题是函数、数列、三角函数的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点，同时也是高中数学必修课中的几大内容之一，解决大小问题不仅会用到函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和图象，同时，常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；而且在解决一些不等式、数列等问题中也会用最值 求解.学- ‎