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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届理科一轮复习北师大版专题探究课2三角函数与解三角形中的高考热点问题教案

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(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题 ‎(对应学生用书第67页)‎ ‎[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看,解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列,本专题的热点题型有:一是三角函数的图像与性质;二是解三角形;三是三角恒等变换与解三角形的综合问题,中档难度,在解题过程中应挖掘题目的隐含条件,注意公式的内在联系,灵活地正用、逆用、变形应用公式,并注重转化思想与数形结合思想的应用.‎ 三角函数的图像与性质 要进行五点法作图、图像变换,研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,求三角函数的单调区间、最值等,都应先进行三角恒等变换,将其化为y=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解.‎ ‎ (2017·浙江高考)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R).‎ ‎(1)求f的值;‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎[解] (1)由sin=,cos=-,‎ 得f=--2××,‎ 所以f=2.‎ ‎(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin,‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,‎ 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ ‎[规律方法] 求函数的单调区间,应先通过三角恒等变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再把“ωx+φ”视为一个整体,结合函数y=sin x的单调性找到“ωx+φ”对应的条件,通过解不等式可得单调区间.‎ ‎[跟踪训练] (2018·北京海淀区期末练习)已知函数f(x)=sin 2xcos-cos 2xsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程;‎ ‎(2)求函数f(x)在上的最大值. ‎ ‎【导学号:79140141】‎ ‎[解] (1)f(x)=sin 2xcos-cos 2xsin=sin,‎ 所以f(x)的最小正周期T==π,‎ 因为y=sin x的对称轴方程为x=kπ+,k∈Z,‎ 令2x-=+kπ,k∈Z,‎ 得x=+kπ,k∈Z,‎ f(x)的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z.‎ ‎(2)因为x∈,所以2x∈[0,π],‎ 所以2x-∈,‎ 所以当2x-=,即x=时,f(x)在上的最大值为1.‎ 解三角形(答题模板)‎ 从近几年全国卷来看,高考命题强化了解三角形的考查力度,着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用,求解的关键是边角互化,结合三角恒等变换进行化简与求值.‎ ‎ (本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C;‎ ‎(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.‎ ‎[规范解答] (1)由题设得acsin B=,即csin B=. 2分 由正弦定理得sin Csin B=.‎ 故sin Bsin C=. 5分 ‎(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,‎ 即cos(B+C)=-.‎ 所以B+C=,故A=. 7分 由题设得bcsin A=,a=3,‎ 所以bc=8.9 分 由余弦定理得b2+c2-bc=9,‎ 即(b+c)2-3bc=9.由bc=8,‎ 得b+c=. 11分 故△ABC的周长为3+. 12分 ‎[阅卷者说]‎ 易错点 防范措施 三角形面积公式的选取,若选用S△ABC=bcsin A,就不能达到消元的目的,致使解题受阻.‎ 认真分析已知与所求的差异,必须消去a2与sin A才能求出sin B sin C的值.因此选用公式S△ABC=acsin B或S ‎△ABC=absin C.‎ ‎ [规律方法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式,要适时、适度进行“角化边”或“边化角”,要抓住能用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则两个定理都有可能用到.‎ ‎[跟踪训练] (2018·福州质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ctan C=(acos B+bcos A).‎ ‎(1)求角C;‎ ‎(2)若c=2,求△ABC面积的最大值. ‎ ‎【导学号:79140142】‎ ‎[解] (1)∵ctan C=(acos B+bcos A),‎ ‎∴sin Ctan C=(sin Acos B+sin Bcos A),‎ ‎∴sin Ctan C=sin(A+B)=sin C,‎ ‎∵0<C<π,∴sin C≠0,‎ ‎∴tan C=,∴C=60°.‎ ‎(2)∵c=2,C=60°,‎ 由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,‎ 得12=a2+b2-ab≥2ab-ab,‎ ‎∴ab≤12,当且仅当a=b=2时,等号成立.‎ ‎∴S△ABC=absin C≤3.‎ ‎∴△ABC面积的最大值为3.‎ 三角恒等变换与解三角形的综合问题 以三角形为载体,三角恒等变换与解三角形交汇命题,是近几年高考试题的一大亮点,主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用,求解的关键是根据题目提供的信息,恰当地实施边角互化.‎ ‎ (2018·石家庄一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且=.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)点D满足=2,且线段AD=3,求2a+c的最大值.‎ ‎[解] (1)∵=,‎ 由正弦定理可得=,‎ ‎∴c(a-c)=(a-b)(a+b),‎ 即a2+c2-b2=ac.‎ 又∵a2+c2-b2=2accos B,∴cos B=.‎ ‎∵B∈(0,π),∴B=.‎ ‎(2)法一:在△ABD中,由余弦定理知,‎ c2+(2a)2-2·2a·c·cos=32,‎ ‎∴(2a+c)2-9=3·2a·c.‎ ‎∵2a·c≤,‎ ‎∴(2a+c)2-9≤(2a+c)2,‎ ‎(2a+c)2≤36,‎ 即当且仅当2a=c时,等号成立,即a=,c=3时,2a+c的最大值为6.‎ 法二:由正弦定理知===2,‎ ‎∴2a=2sin∠BAD,c=2sin∠ADB,‎ ‎∴2a+c=2sin∠BAD+2sin∠ADB ‎=2(sin∠BAD+sin∠ADB)‎ ‎=2 ‎=2 ‎=6 ‎=6sin.‎ ‎∵∠BAD∈,∴∠BAD+∈,‎ 即当且仅当∠BAD+=,即∠BAD=时,2a+c的最大值为6.‎ ‎ [规律方法] 1.以三角形为载体,实质考查三角形中的边角转化,求解的关键是抓住边角间的关系,恰当选择正、余弦定理.‎ ‎2.解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件),此时应首先确定三角形的边角关系,然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化.‎ ‎[跟踪训练] (2018·济南一模)已知函数f(x)=2sin xcos x-cos(π+2x).‎ ‎(1)求f(x)的单调增区间;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若f(C)=1,c=,a+b=2,求△ABC的面积.‎ ‎[解] (1)f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,‎ 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,‎ 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)∵f(C)=2sin=1,‎ ‎∴2C+=+2kπ,k∈Z或2C+=+2kπ,k∈Z.‎ ‎∵C∈(0,π),∴C=.‎ ‎∵c2=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=3,‎ 又a+b=2,解得ab=3,‎ ‎∴S△ABC=absin C=.‎