【数学】2019届理科一轮复习北师大版专题探究课2三角函数与解三角形中的高考热点问题教案 7页

(二)　三角函数与解三角形中的高考热点问题 ‎(对应学生用书第67页)‎ ‎[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．‎ 三角函数的图像与性质 要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解．‎ ‎　(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎[解]　(1)由sin＝，cos＝－，‎ 得f＝－－2××，‎ 所以f＝2.‎ ‎(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．‎ ‎[规律方法]　求函数的单调区间，应先通过三角恒等变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把“ωx＋φ”视为一个整体，结合函数y＝sin x的单调性找到“ωx＋φ”对应的条件，通过解不等式可得单调区间.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·北京海淀区期末练习)已知函数f(x)＝sin 2xcos－cos 2xsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎(2)求函数f(x)在上的最大值. ‎ ‎【导学号：79140141】‎ ‎[解]　(1)f(x)＝sin 2xcos－cos 2xsin＝sin，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π，‎ 因为y＝sin x的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z，‎ 令2x－＝＋kπ，k∈Z，‎ 得x＝＋kπ，k∈Z，‎ f(x)的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.‎ ‎(2)因为x∈，所以2x∈[0，π]，‎ 所以2x－∈，‎ 所以当2x－＝，即x＝时，f(x)在上的最大值为1.‎ 解三角形(答题模板)‎ 从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是边角互化，结合三角恒等变换进行化简与求值．‎ ‎　(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．‎ ‎[规范解答]　(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝. 2分 由正弦定理得sin Csin B＝.‎ 故sin Bsin C＝. 5分 ‎(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，‎ 即cos(B＋C)＝－.‎ 所以B＋C＝，故A＝. 7分 由题设得bcsin A＝，a＝3，‎ 所以bc＝8.9 分 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，‎ 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，‎ 得b＋c＝. 11分 故△ABC的周长为3＋. 12分 ‎[阅卷者说]‎ 易错点 防范措施 三角形面积公式的选取，若选用S△ABC＝bcsin A，就不能达到消元的目的，致使解题受阻.‎ 认真分析已知与所求的差异，必须消去a2与sin A才能求出sin B sin C的值．因此选用公式S△ABC＝acsin B或S ‎△ABC＝absin C．‎ ‎ [规律方法]　解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·福州质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctan C＝(acos B＋bcos A)．‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值. ‎ ‎【导学号：79140142】‎ ‎[解]　(1)∵ctan C＝(acos B＋bcos A)，‎ ‎∴sin Ctan C＝(sin Acos B＋sin Bcos A)，‎ ‎∴sin Ctan C＝sin(A＋B)＝sin C，‎ ‎∵0＜C＜π，∴sin C≠0，‎ ‎∴tan C＝，∴C＝60°.‎ ‎(2)∵c＝2，C＝60°，‎ 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ 得12＝a2＋b2－ab≥2ab－ab，‎ ‎∴ab≤12，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．‎ ‎∴S△ABC＝absin C≤3.‎ ‎∴△ABC面积的最大值为3.‎ 三角恒等变换与解三角形的综合问题 以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．‎ ‎　(2018·石家庄一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)点D满足＝2，且线段AD＝3，求2a＋c的最大值．‎ ‎[解]　(1)∵＝，‎ 由正弦定理可得＝，‎ ‎∴c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，‎ 即a2＋c2－b2＝ac.‎ 又∵a2＋c2－b2＝2accos B，∴cos B＝.‎ ‎∵B∈(0，π)，∴B＝.‎ ‎(2)法一：在△ABD中，由余弦定理知，‎ c2＋(2a)2－2·2a·c·cos＝32，‎ ‎∴(2a＋c)2－9＝3·2a·c.‎ ‎∵2a·c≤，‎ ‎∴(2a＋c)2－9≤(2a＋c)2，‎ ‎(2a＋c)2≤36，‎ 即当且仅当2a＝c时，等号成立，即a＝，c＝3时，2a＋c的最大值为6.‎ 法二：由正弦定理知＝＝＝2，‎ ‎∴2a＝2sin∠BAD，c＝2sin∠ADB，‎ ‎∴2a＋c＝2sin∠BAD＋2sin∠ADB ‎＝2(sin∠BAD＋sin∠ADB)‎ ‎＝2 ‎＝2 ‎＝6 ‎＝6sin.‎ ‎∵∠BAD∈，∴∠BAD＋∈，‎ 即当且仅当∠BAD＋＝，即∠BAD＝时，2a＋c的最大值为6.‎ ‎ [规律方法]　1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理.‎ ‎2.解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·济南一模)已知函数f(x)＝2sin xcos x－cos(π＋2x)．‎ ‎(1)求f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(C)＝1，c＝，a＋b＝2，求△ABC的面积．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，‎ 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)∵f(C)＝2sin＝1，‎ ‎∴2C＋＝＋2kπ，k∈Z或2C＋＝＋2kπ，k∈Z.‎ ‎∵C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎∵c2＝a2＋b2－2abcos，即a2＋b2－ab＝3，‎ 又a＋b＝2，解得ab＝3，‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝.‎