【数学】2019届一轮复习北师大版4-5　简单的三角恒等变换第1课时学案 15页

‎§4.5　简单的三角恒等变换 最新考纲 考情考向分析 ‎1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．‎ ‎2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．‎ ‎3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．‎ ‎4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).‎ 三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))‎ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))‎ sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))‎ sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))‎ tan(α－β)＝(T(α－β))‎ tan(α＋β)＝(T(α＋β))‎ ‎2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ 知识拓展 ‎1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.‎ ‎3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝ .‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)‎ ‎(2)对任意角α都有1＋sin α＝2.(　√　)‎ ‎(3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　)‎ ‎(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P127T2]若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　∵α是第三象限角，‎ ‎∴sin α＝－＝－，‎ ‎∴sin＝－×＋×＝－.‎ ‎3．[P131T5]sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .‎ 答案　 解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°‎ ‎＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°‎ ‎＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.‎ ‎4．[P146T4]tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝ .‎ 答案　 解析　∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，‎ ‎∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)‎ ‎＝－tan 20°tan 40°，‎ ‎∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.‎ 题组三　易错自纠 ‎5．化简：＝ .‎ 答案　 解析　原式＝ ‎＝＝＝.‎ ‎6．已知α是第二象限角，且sin(π－α)＝，则sin 2α的值为 ．‎ 答案　－ 解析　由已知得sin α＝，又α在第二象限，‎ ‎∴cos α＝－，‎ ‎∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.‎ ‎7．已知α∈，sin α＝，则tan 2α＝ .‎ 答案　－ 解析　由α∈，sin α＝知，cos α＝－，‎ 所以tan α＝－，‎ 所以tan 2α＝＝＝－.‎ 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一　和差公式的直接应用 ‎1．(2018·武汉模拟)已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　D 解析　∵tan＝，tan＝，‎ ‎∴tan(α＋β)＝tan ‎＝＝＝1.‎ ‎2．(2017·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin＝，则cos等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由于角α为锐角，且sin＝，‎ 则cos＝，‎ 则cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，‎ 故选A.‎ ‎3．计算的值为 ．‎ 答案　 解析　＝ ‎＝＝＝.‎ 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．‎ ‎(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．‎ 题型二　和差公式的灵活应用 命题点1　角的变换 典例 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .‎ 答案　 解析　依题意得sin α＝＝，‎ 因为sin(α＋β)＝α，‎ 所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.‎ 于是cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ ‎(2)(2017·泰安模拟)已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为 ．‎ 答案　 解析　cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，‎ ‎∴cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.‎ 命题点2　三角函数式的变换 典例 (1)化简： (0<θ<π)；‎ ‎(2)求值：－sin 10°.‎ 解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0，‎ ‎∴＝ ＝2cos .‎ 又(1＋sin θ＋cos θ) ‎＝ ‎＝2cos ‎＝－2cos cos θ.‎ 故原式＝＝－cos θ.‎ ‎(2)原式＝－sin 10° ‎＝－sin 10°· ‎＝－sin 10°· ‎＝－2cos 10°＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 引申探究 化简： (0<θ<π)．‎ 解　∵0<<，∴＝2sin ，‎ 又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin2 ‎＝2sin ‎∴原式＝ ‎＝－cos θ.‎ 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．‎ ‎(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．‎ 跟踪训练 (1)(2018·广州质检)等于(　　)‎ A．－ B．－ C． D． 答案　C 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝＝sin 30°＝.‎ ‎(2)已知sin(α－45°)＝－，0°<α<90°，则cos α＝ .‎ 答案　 解析　∵0°<α<90°，∴－45°<α－45°<45°，‎ ‎∴cos(α－45°)＝＝，‎ ‎∴cos α＝cos[(α－45°)＋45°]‎ ‎＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°‎ ‎＝×－×＝ ‎＝.‎ 用联系的观点进行三角变换 典例 (1)设α为锐角，若cos＝，则sin 的值为 ．‎ ‎(2)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 ．‎ ‎(3)已知sin α＝，α∈，则＝ .‎ 思想方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．‎ 解析　(1)∵α为锐角且cos＝>0，‎ ‎∴α＋∈，∴sin＝.‎ ‎∴sin＝sin ‎＝sin 2cos －cos 2sin ‎＝sincos－ ‎＝××－ ‎＝－＝.‎ ‎(2)原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°‎ ‎＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°‎ ‎＝1＋1＝2.‎ ‎(3)＝ ‎＝cos α－sin α，‎ ‎∵sin α＝，α∈，‎ ‎∴cos α＝－，∴原式＝－.‎ 答案　(1)　(2)2　(3)－ ‎1．(2018·山西五校联考)若cos θ＝，θ为第四象限角，则cos的值为(　　)‎ A． B． C． D． 答案　B 解析　由cos θ＝，θ为第四象限角，得sin θ＝－，‎ 故cos＝(cos θ－sin θ)‎ ‎＝×＝.故选B.‎ ‎2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)‎ A．－ B． C．－ D． 答案　D 解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°‎ ‎＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)‎ ‎＝sin 30°＝.‎ ‎3．(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α等于(　　)‎ A．－ B． C．－ D． 答案　C 解析　因为α是第二象限角，且tan α＝－，‎ 所以sin α＝，cos α＝－，‎ 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，‎ 故选C.‎ ‎4．(2017·河南六市联考)设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝ ，则有(　　)‎ A．a0，∴<α<.‎ 又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝，‎ ‎∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.‎ ‎9．若sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α＝ .‎ 答案　 解析　∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，‎ 又α∈，sin α≠0，∴cos α＝－，‎ 又α∈，‎ ‎∴sin α＝，tan α＝－，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝.‎ ‎10.＝ .‎ 答案　 解析　＝＝ ‎＝＝.‎ ‎11．已知sin α＋cos α＝，则sin2＝ .‎ 答案　 解析　由sin α＋cos α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，‎ 解得sin 2α＝－，‎ 所以sin2＝ ‎＝＝＝.‎ ‎12．(2018·吉林模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝ .‎ 答案　 解析　依题意可将已知条件变形为 sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.‎ 又β是第三象限角，所以cos β＝－.‎ 所以sin＝－sin ‎＝－sin βcos －cos βsin ‎＝×＋×＝.‎ ‎13．(2017·河北衡水中学调研)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)‎ A．－ B． C．－ D． 答案　C 解析　由3cos 2α＝sin可得 ‎3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，‎ 又由α∈可知cos α－sin α≠0，‎ 于是3(cos α＋sin α)＝，‎ 所以1＋2sin α·cos α＝，故sin 2α＝－.故选C.‎ ‎14．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为 ．‎ 答案　 解析　因为coscos ‎＝ ‎＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.‎ 所以cos 2θ＝.‎ 故sin4θ＋cos4θ＝‎ ‎＝＋＝.‎ ‎15．(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．‎ 答案　[－1,1]‎ 解析　由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，‎ 又α，β∈[0，π]，∴α－β＝，‎ ‎∴即≤α≤π，‎ ‎∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)‎ ‎＝sin＋sin(α－2α＋π)‎ ‎＝cos α＋sin α＝sin.‎ ‎∵≤α≤π，∴≤α＋≤，‎ ‎∴－1≤sin≤1，‎ 即取值范围为[－1,1]．‎ ‎16．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．‎ ‎(1)求a，θ的值；‎ ‎(2)若f＝－，α∈，求sin的值．‎ 解　(1)∵f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，‎ 而y＝a＋2cos2x为偶函数，‎ ‎∴y＝cos(2x＋θ)为奇函数．‎ ‎∵θ∈(0，π)，∴θ＝，‎ ‎∴f(x)＝－sin 2x(a＋2cos2x)．‎ ‎∴f＝－sin ＝－(a＋1)＝0，‎ ‎∴a＝－1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－sin 4x.‎ ‎∵f＝－sin α＝－，∴sin α＝.‎ 又∵α∈，∴cos α＝－.‎ ‎∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ‎＝×－×＝.‎