【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第2章第7节对数与对数函数学案 11页

第七节　对数与对数函数 ‎[最新考纲]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．‎ ‎1．对数的概念 如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．‎ ‎2．对数的性质、换底公式与运算性质 ‎(1)对数的性质：‎ ‎①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．‎ ‎(2)换底公式：‎ logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．‎ ‎(3)对数的运算性质：‎ 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：‎ ‎①loga(M·N)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM(n∈R)．‎ ‎3．对数函数的定义、图像与性质 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 图像 a＞1‎ ‎0＜a＜1‎ 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 性质 定义域：(0，＋∞)‎ 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)‎ 当0＜x＜1时，y＜0；‎ 当x＞1时，y＞0‎ 当0＜x＜1时，y＞0；‎ 当x＞1时，y＜0‎ 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 ‎4．反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．‎ ‎1．换底公式的两个重要结论 ‎(1)loga b＝；(2)logambn＝loga b.‎ 其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0.‎ ‎2．对数函数的图像与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)‎ ‎(2)log2x2＝2log2x.(　　)‎ ‎(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)‎ ‎(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像不在第二、三象限．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．(log29)·(log34)＝(　　)‎ A．　　　　 B．　　　　‎ C．2　　　　 D．4‎ D　[(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故选D.]‎ ‎2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b D　[因为0＜a＜1，b＜0，c＝log＝log2 3＞1.所以c＞a＞b.故选D.]‎ ‎3．函数y＝的定义域是________．‎ ‎[由log(2x－1)≥0，‎ 得0＜2x－1≤1.‎ ‎∴＜x≤1.‎ ‎∴函数y＝的 定义域是.]‎ ‎4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图像恒过点________．‎ ‎(3,1)　[当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.‎ 所以函数的图像恒过点(3,1)．]‎ 考点1　对数式的化简与求值 ‎　对数运算的一般思路 ‎(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．‎ ‎(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．‎ ‎　1.设‎2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)‎ A．　　　　　　　 B．10‎ C．20 D．100‎ A　[由已知，得a＝log‎2m，b＝log‎5m，‎ 则＋＝＋ ‎＝logm2＋logm5＝logm10＝2.‎ 解得m＝.]‎ ‎2．计算：÷100＝________.‎ ‎－20　[原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.]‎ ‎3．计算：＝________.‎ ‎1　[原式＝ ‎＝ ‎＝＝＝＝1.]‎ ‎4．已知log23＝a,3b＝7，则log2的值为________．‎ 　[由题意3b＝7，所以log3 7＝b.‎ 所以log 2＝log＝＝＝＝.]‎ ‎　对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．‎ 考点2　对数函数的图像及应用 ‎　对数函数图像的识别及应用方法 ‎(1)在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．‎ ‎(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．‎ ‎　(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0，且a≠1)的图像可能是(　　)‎ A　　　　　　 　B　　　　　 C　　　　　 　　D ‎(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C.(1，) D.(，2)‎ ‎(1)D　(2)B　[(1)对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图像恒过定点，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.‎ ‎(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图像，可知f eq lc( c)(avs4alco1(f(1,2)))＜g，即2＜loga，‎ 则a＞，‎ 所以a的取值范围为.]‎ ‎[母题探究]‎ ‎1．(变条件)若本例(2)变为：若不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图像在f2(x)＝logax图像的下方即可．当a＞1时，显然不成立；‎ 当0＜a＜1时，如图所示．‎ 要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤‎ f2，所以有2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1.‎ 即实数a的取值范围是.‎ ‎2．(变条件)若本例(2)变为：当0＜x≤时，＜logax，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　若＜logax在x∈成立，则0＜a＜1，且y＝的图像在y＝logax图像的下方，如图所示，‎ 由图像知＜loga，所以解得＜a＜1.‎ 即实数a的取值范围是.‎ ‎　1．(2019·合肥模拟)函数y＝ln(2－|x|)的大致图像为(　　)‎ A　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D A　[令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，‎ 所以函数f(x)为偶函数，排除选项C，D.‎ 当x＝时，f＝ln ＜0，‎ 排除选项B，故选A.]‎ ‎2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是(　　)‎ A．a＞1，c＞1‎ B．a＞1,0＜c＜1‎ C．0＜a＜1，c＞1‎ D．0＜a＜1,0＜c＜1‎ D　[由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0＜a＜1,0＜c＜1.]‎ ‎3．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)‎ A．x1x2＜0 B．x1x2＝0‎ C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1‎ D　[作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图像，如图．‎ 显然x1＜0，x2＜0.‎ 不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，‎ 所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，‎ 此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，‎ 由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.]‎ 考点3　对数函数的性质及应用 ‎　解与对数函数有关的函数性质问题的3个关注点 ‎(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．‎ ‎(2)底数与1的大小关系．‎ ‎(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．‎ ‎　比较大小 ‎　(1)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log‎0.50.2‎，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎(2)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b ‎(1)A　(2)D　[(1)因为a＝log52＜log5＝，b＝log‎0.50.2‎＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故选A.‎ ‎(2)因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b，故选D.]‎ ‎　对数值大小比较的主要方法 ‎(1)化同底数后利用函数的单调性．‎ ‎(2)化同真数后利用图像比较．‎ ‎(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．‎ ‎　解简单对数不等式 ‎　(1)若loga＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(2)若loga(a2＋1)＜loga‎2a＜0，则a的取值范围是________．‎ ‎(1)∪(1，＋∞)　(2)　[(1)当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；‎ 当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．‎ ‎(2)由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞‎2a，‎ 又loga(a2＋1)＜loga‎2a＜0，所以0＜a＜1，‎ 同时‎2a＞1，所以a＞.综上，a∈.]‎ ‎　对于形如logaf(x)＞b的不等式，一般转化为logaf(x)＞logaab，再根据底数的范围转化为f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而对于形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．‎ ‎　和对数函数有关的复合函数 ‎　解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 ‎　已知函数f(x)＝loga(3－ax)．‎ ‎(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)因为a＞0且a≠1，设t(x)＝3－ax，‎ 则t(x)＝3－ax为减函数，‎ x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－‎2a，‎ 当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax＞0恒成立．‎ 所以3－‎2a＞0.所以a＜.‎ 又a＞0且a≠1，所以a∈(0,1)∪.‎ ‎(2)t(x)＝3－ax，因为a＞0，‎ 所以函数t(x)为减函数．‎ 因为f(x)在区间[1,2]上为减函数，‎ 所以y＝logat为增函数，‎ 所以a＞1，当x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－‎2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，‎ 所以即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.‎ ‎　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．‎ ‎　1.已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋‎3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，4] B．[4，＋∞)‎ C．[－4,4] D．(－4,4]‎ D　[令g(x)＝x2－ax＋‎3a，‎ 因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋‎3a)在[2，＋∞)单调递减，‎ 所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，所以a≤2且g(2)＞0，‎ 所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4.故选D.]‎ ‎2．函数y＝logax(a＞0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.‎ ‎2或　[分两种情况讨论：①当a＞1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0＜a＜1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝.‎ 所以a＝2或.]‎ ‎3．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(－1,0)∪(1，＋∞)　[由题意得 或 解得a＞1或－1＜a＜0.]‎