【数学】2019届理科一轮复习北师大版6-4归纳与类比教案 6页

第四节　 归纳与类比 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异．‎ ‎(对应学生用书第99页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．归纳推理 根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．‎ ‎2．类比推理 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．‎ ‎3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(　　)‎ ‎(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)‎ ‎(3)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)‎ ‎(4)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)‎ A．an＝3n－1　　 B．an＝4n－3‎ C．an＝n2 D．an＝3n－1‎ C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]‎ ‎3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)‎ A．28 B．32‎ C．33 D．27‎ B　[5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.]‎ ‎4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．‎ ‎1∶8　[这两个正四面体的体积比为＝∶＝·＝1∶8.]‎ ‎5．观察下列不等式 ‎1＋＜，‎ ‎1＋＋＜，‎ ‎1＋＋＋＜，‎ ‎…‎ 照此规律，第五个不等式为________．‎ ‎1＋＋＋＋＋＜　[先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋＋＋＋＋＜.]‎ ‎(对应学生用书第100页)‎ 归纳推理 ‎◎角度1　与数字有关的推理 ‎　(2018·兰州实战模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N＋，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.‎ n2　[因为1＝1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，……，由此可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.]‎ ‎◎角度2　与式子有关的推理 ‎　已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2 019(x)的表达式为________. ‎ ‎【导学号：79140205】‎ f2 019(x)＝　[f1(x)＝，f2(x)＝＝，f3(x)＝＝，…，fn＋1(x)＝f(fn(x))＝，‎ 归纳可得f2 019(x)＝.]‎ ‎◎角度3　与图形有关的推理 ‎　如图641的图形由小正方形组成，请观察图(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．‎ 图641‎ (n∈N＋)　[由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为(n∈N＋)．]‎ ‎[规律方法]　归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.‎ (2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.‎ (3) 与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.‎ ‎[跟踪训练]　(1)数列，，，，，，…，，，…，，…的第20项是(　　)‎ A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. ‎(2)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝__________.‎ ‎(3)(2018·郑州第二次质量预测)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为(　　)‎ A．42 B．65 ‎ C．143 D．169‎ ‎(1)C　(2)nn(n∈N＋)　(3)B　[(1)数列在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝项，当m＝5时，即是数列中第15项，则第20项是，故选C.‎ ‎(2)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.‎ ‎(3)可以通过列表归纳分析得到．‎ 凸多边形 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎…‎ 对角线条数 ‎2‎ ‎2＋3‎ ‎2＋3＋4‎ ‎2＋3＋4＋5‎ ‎2＋3＋4＋5＋6‎ ‎…‎ 所以凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝＝65条对角线．故选B.]‎ 类比推理 ‎　(1)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)‎ A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ ‎(2)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图642)，平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．‎ 图642‎ ‎(1)D　(2)＝　[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.‎ 法二：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，‎ ‎∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.‎ ‎(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.]‎ ‎[规律方法]　类比推理的常见情形与处理方法 (1)常见情形：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方) ‎.数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等.‎ (2)处理方法：进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键.‎ ‎[跟踪训练]　给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：‎ ‎①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；‎ ‎②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；‎ ‎③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；‎ ‎④“若x∈R，则|x|<1⇒－1