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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习苏教版(理)第九章平面解析几何9-5椭圆的概念学案

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‎1.椭圆的概念 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.‎ 集合P={M|MF1+MF2=2a},F1F2=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:‎ ‎(1)若a>c,则集合P为椭圆;‎ ‎(2)若a=c,则集合P为线段;‎ ‎(3)若ab>0)‎ +=1‎ ‎(a>b>0)‎ 图形 性 质 范围 ‎-a≤x≤a ‎-b≤y≤b ‎-b≤x≤b ‎-a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴  对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0)‎ B1(0,-b),B2(0,b)‎ A1(0,-a),A2(0,a)‎ B1(-b,0),B2(b,0)‎ 轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距 F1F2=2c 离心率 e=∈(0,1)‎ a,b,c的关系 a2=b2+c2‎ ‎【知识拓展】‎ 点P(x0,y0)和椭圆的关系 ‎(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1.‎ ‎(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1.‎ ‎(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.( × )‎ ‎(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( √ )‎ ‎(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( × )‎ ‎(4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )‎ ‎(5)+=1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.( × )‎ ‎(6)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相等.( √ )‎ ‎1.(教材改编)椭圆+=1的焦距为4,则m=________.‎ 答案 4或8‎ 解析 由题意知 或 解得m=4或m=8.‎ ‎2.(2016·苏州检测)在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(-1,0)的距离与P到定直线x=-4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为______________.‎ 答案 +=1‎ 解析 设点P(x,y),由题意知=,‎ 化简得3x2+4y2=12,‎ 所以动点P的轨迹C的方程为+=1.‎ ‎3.(2016·全国乙卷改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为________.‎ 答案  解析 如图,由题意得,BF=a,OF=c,OB=b,‎ OD=·2b=b.‎ 在Rt△FOB中,OF·OB=BF·OD,即cb=a·b,‎ 解得a=2c,故椭圆离心率e==.‎ ‎4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是________.‎ 答案 (0,1)‎ 解析 将椭圆方程化为+=1,因为焦点在y轴上,则>2,即k<1,又k>0,所以00,所以x=,所以P点坐标为或.‎ 题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹 例1 (2016·徐州模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是________.‎ 答案 椭圆 解析 由条件知PM=PF,‎ ‎∴PO+PF=PO+PM=OM=R>OF.‎ ‎∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.‎ 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程 例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的3倍,并且过点P(3,0),则椭圆的方程为_________________________________.‎ ‎(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则椭圆的方程为________________________________________.‎ 答案 (1)+y2=1或+=1‎ ‎(2)+=1 ‎ 解析 (1)若焦点在x轴上,‎ 设方程为+=1(a>b>0).‎ ‎∵椭圆过P(3,0),∴+=1,即a=3,‎ 又2a=3×2b,∴b=1,∴椭圆方程为+y2=1.‎ 若焦点在y轴上,设方程为+=1(a>b>0).‎ ‎∵椭圆过点P(3,0),∴+=1,即b=3.‎ 又2a=3×2b,∴a=9,∴椭圆方程为+=1.‎ ‎∴所求椭圆的方程为+y2=1或+=1.‎ ‎(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).‎ ‎∵椭圆经过点P1,P2,∴点P1,P2的坐标适合椭圆方程.‎ 即 ‎①②两式联立,解得 ‎∴所求椭圆方程为+=1.‎ 命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题 例3 已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.‎ 答案 3‎ 解析 设PF1=r1,PF2=r2,‎ 则 因为2r1r2=(r1+r2)2-(r+r)‎ ‎=4a2-4c2=4b2,‎ 又因为 所以b=3.‎ 引申探究 ‎1.在例3中,若增加条件“△PF1F2的周长为18”,其他条件不变,求该椭圆的方程.‎ 解 由原题得b2=a2-c2=9,‎ 又2a+2c=18,‎ 所以a-c=1,解得a=5,‎ 故椭圆方程为+=1.‎ ‎2.在例3中,若将条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2=60°”“”,结果如何?‎ 解 PF1+PF2=2a,又∠F1PF2=60°,‎ 所以PF+PF-2PF1·PF2cos 60°‎ ‎=F1F,‎ 即(PF1+PF2)2-3PF1·PF2=4c2,‎ 所以3PF1·PF2=4a2-4c2=4b2,‎ 所以PF1·PF2=b2,‎ 又因为 ‎=·b2· ‎=b2=3,‎ 所以b=3.‎ 思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a>F1F2这一条件.‎ ‎(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.‎ ‎(3)当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求PF1·PF2;通过整体代入可求其面积等.‎ ‎ (1)(2016·盐城模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________.‎ ‎(2)(2016·镇江模拟)设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是______.‎ 答案 (1)+=1 (2)1‎ 解析 (1)设圆M的半径为r,‎ 则MC1+MC2=(13-r)+(3+r)=16>8=C1C2,‎ 所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,‎ 且 2a=16,2c=8,‎ 故所求的轨迹方程为+=1.‎ ‎(2)∵(+)·=(+)·=·=0,‎ ‎∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.‎ 设PF1=m,PF2=n,‎ 则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,‎ 题型二 椭圆的几何性质 例4 (1)已知点F1,F2是椭圆x2+2y2=2的左,右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是________.‎ ‎(2)(2016·全国丙卷改编)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为椭圆C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为________.‎ 答案 (1)2 (2) 解析 (1)设P(x0,y0),则=(-1-x0,-y0),‎ =(1-x0,-y0),∴+=(-2x0,-2y0),‎ ‎∴|+|= ‎=2 ‎=2.‎ ‎∵点P在椭圆上,∴0≤y≤1,‎ ‎∴当y=1时,|+|取最小值2.‎ ‎(2)设M(-c,m),则E,OE的中点为D,则D,又B,D,M三点共线,所以=,a=3c,e=.‎ 思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ‎①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系.‎ ‎②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.‎ ‎(2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式或不等式,利用a2=b2+c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.‎ ‎ (2016·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.‎ 答案  解析 联立方程组解得B,C两点坐标为 B,C,又F(c,0),‎ 则=,=,‎ 又由∠BFC=90°,可得·=0,代入坐标可得 c2-a2+=0, ①‎ 又因为b2=a2-c2.‎ 代入①式可化简为=,则椭圆离心率为e===.‎ 题型三 直线与椭圆 例5 (2016·天津)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.‎ 解 (1)设F(c,0),由+=,‎ 即+=,可得a2-c2=3c2.‎ 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.‎ 所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k(k≠0),‎ 则直线l的方程为y=k(x-2).‎ 设B(xB,yB),由方程组消去y,‎ 整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,‎ 解得x=2或x=.‎ 由题意,得xB=,从而yB=.‎ 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),‎ 有=(-1,yH),=.‎ 由BF⊥HF,得·=0,‎ 所以+=0,解得yH=.‎ 因此直线MH的方程为y=-x+.‎ 设M(xM,yM),由方程组消去y,‎ 解得xM=.‎ 在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔MA≤MO,‎ 即(xM-2)2+y≤x+y,‎ 化简得xM≥1,即≥1,‎ 解得k≤-或k≥.‎ 所以直线l的斜率的取值范围为 ∪.‎ 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.‎ ‎(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= ‎= (k为直线斜率).‎ 提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.‎ ‎ 如图,已知椭圆O:+y2=1的右焦点为F,B,C分别为椭圆O的上,下顶点,P是直线l:y=-2上的一个动点(与y轴交点除外),直线PC交椭圆O于另一点M.‎ ‎(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时,求△FBM的面积;‎ ‎(2)①记直线BM,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值;‎ ‎②求·的取值范围.‎ ‎(1)解 由题意知B(0,1),C(0,-1),焦点F(,0),当直线PM过椭圆O的右焦点F时,直线PM的方程为+=1,即y=x-1.‎ 联立解得或(舍去),‎ 即点M的坐标为(,).‎ 连结BF,则直线BF的方程为+=1,‎ 即x+y-=0.又BF=a=2,‎ 点M到直线BF的距离为 d===,‎ 故△FBM的面积为S△MBF=·BF·d=×2×=.‎ ‎(2)方法一 ①证明 设P(m,-2),且m≠0,则直线PM的斜率为k==-,‎ 则直线PM的方程为y=-x-1.‎ 联立消去y,得(1+)x2+x=0,‎ 解得点M的坐标为(-,),‎ 所以k1===m,‎ k2==-,‎ 所以k1·k2=-·m=-为定值.‎ ‎②解 由①知,=(-m,3),‎ =(--m,+2)‎ ‎=(,),‎ 所以·=(-m,3)·(-,)‎ ‎=.‎ 令m2+4=t>4,‎ 则·= ‎==t-+7.‎ 因为y=t-+7在t∈(4,+∞)上单调递增,‎ 所以·=t-+7>4-+7=9,‎ 故·的取值范围为(9,+∞).‎ 方法二 ①证明 设点M的坐标为(x0,y0)(x0≠0),‎ 则直线PM的方程为y=x-1,‎ 令y=-2,得点P的坐标为(-,-2),‎ 所以k1=,k2==,‎ 所以k1·k2=·= ‎==-为定值.‎ ‎②解 由①知,=(,3),=(x0+,y0+2),‎ 所以·=(x0+)+3(y0+2)‎ ‎=+3(y0+2)‎ ‎=+3(y0+2)‎ ‎=.‎ 令t=y0+1∈(0,2),‎ 则·==-t++7.‎ 因为y=-t++7在t∈(0,2)上单调递减,‎ 所以·=-t++7>-2++7=9,‎ 故·的取值范围为(9,+∞).‎ ‎8.高考中求椭圆的离心率问题 考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表示,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.‎ 典例1 (2015·福建改编)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若AF+BF=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是__________.‎ 解析 左焦点F0,连结F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.‎ ‎∵AF+BF=4,‎ ‎∴AF+AF0=4,‎ ‎∴a=2.‎ 设M(0,b),则≥,∴1≤b<2.‎ 离心率e=== = ∈.‎ 答案  典例2 (14分)(2016·浙江)如图,设椭圆+y2=1(a>1).‎ ‎(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);‎ ‎(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.‎ 规范解答 解 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,‎ 由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,‎ 故x1=0,x2=-,‎ 因此AM=|x1-x2|=·. [6分]‎ ‎(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足AP=AQ.‎ 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,‎ 且k1,k2>0,k1≠k2. [8分]‎ 由(1)知AP=,AQ=,‎ 故=,‎ 所以(k-k)[1+k+k+a2(2-a2)kk]=0.‎ 由k1≠k2,k1,k2>0,得1+k+k+a2(2-a2)kk=0,‎ 因此=1+a2(a2-2), ①‎ 因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>. [12分]‎ 因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤,‎ 由e==,得0b>0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以c=1,又离心率e==,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.‎ ‎2.(2016·苏北四市一模)已知椭圆+=1(a>b>0),点A、B1、B2、F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB2与直线B1F的交点恰在直线x=上,则椭圆的离心率为________.‎ 答案  解析 由题意知直线AB2:-+=1,直线B1F:-=1,联立解得x=,若交点在椭圆的右准线上,则=,即2c2+ac-a2=0,所以2e2+e-1=0,解得e=.‎ ‎3.(2017·青岛月考)已知A1,A2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点,P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点,若直线PA1,PA2的斜率的乘积为-,则椭圆C的离心率为________.‎ 答案  解析 设P(x0,y0),则·=-,‎ 化简得+=1,‎ 则=,e= = =.‎ ‎4.(2016·南昌模拟)已知椭圆:+x2=1,过点P(,)的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为________________.‎ 答案 9x+y-5=0‎ 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B在椭圆+x2=1上,所以 两式相减,得+x-x=0,‎ 即+(x1-x2)(x1+x2)=0,‎ 又弦AB被点P(,)平分,‎ 所以x1+x2=1,y1+y2=1,‎ 将其代入上式,得+x1-x2=0,‎ 得=-9,‎ 即直线AB的斜率为-9,所以直线AB的方程为 y-=-9(x-),‎ 即9x+y-5=0.‎ ‎5.(2016·宿迁模拟)已知F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使PF1·PF2取得最大值的点P为__________.‎ 答案 (0,1)或(0,-1)‎ 解析 由椭圆定义得PF1+PF2=2a=4,‎ ‎∴PF1·PF2≤()2=4,‎ 当且仅当PF1=PF2=2,‎ 即P(0,-1)或(0,1)时,PF1·PF2取得最大值.‎ ‎*6.(2016·苏州质检)设A1,A2为椭圆+=1(a>b>0)的左,右顶点,若在椭圆上存在异于A1,A2的点P,使得·=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是____________.‎ 答案 (,1)‎ 解析 A1(-a,0),A2(a,0),‎ 设P(x,y),则=(-x,-y),=(a-x,-y),‎ ‎∵·=0,∴(a-x)(-x)+(-y)(-y)=0,‎ ‎∴y2=ax-x2>0,∴0.‎ 又0<<1,∴<<1.‎ ‎7.若椭圆+=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,过点(2,1)作圆x2+y2=4的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为________________.‎ 答案 +=1‎ 解析 设切点坐标为(m,n),‎ 则·=-1,‎ 即m2+n2-n-2m=0.‎ ‎∵m2+n2=4,∴2m+n-4=0,‎ 即直线AB的方程为2x+y-4=0.‎ ‎∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,‎ ‎∴2c-4=0,b-4=0,解得c=2,b=4,‎ ‎∴a2=b2+c2=20,‎ ‎∴椭圆方程为+=1.‎ ‎8.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则PM+PN的最小值为________.‎ 答案 7‎ 解析 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且PF1+PF2=10,从而PM+PN的最小值为PF1+PF2-1-2=7.‎ ‎9.(2017·连云港质检)椭圆+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一动点,若∠F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是________________.‎ 答案 (-,)‎ 解析 设椭圆上一点P的坐标为(x,y),‎ 则=(x+,y),=(x-,y).‎ ‎∵∠F1PF2为钝角,∴·<0,‎ 即x2-3+y2<0,①‎ ‎∵y2=1-,代入①,得x2-3+1-<0,‎ x2<2,∴x2<.‎ 解得-b>0)的左顶点A(-a,0)作直线l交y轴于点P,交椭圆于点Q,若△AOP是等腰三角形,且=2,则椭圆的离心率为________.‎ 答案  解析 ∵△AOP是等腰三角形,A(-a,0),∴P(0,a).‎ 设Q(x0,y0),∵=2,‎ ‎∴(x0,y0-a)=2(-a-x0,-y0).‎ ‎∴解得 代入椭圆方程化简,可得=,‎ ‎∴e= =.‎ ‎11.(2016·南京模拟)如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点,上顶点分别为A,‎ B,且AB=BF.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率;‎ ‎(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OP⊥OQ,求直线l的方程及椭圆C的方程.‎ 解 (1)由已知AB=BF,‎ 即=a,‎ ‎4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,‎ ‎∴e==.‎ ‎(2)由(1)知a2=4b2,∴椭圆C:+=1.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.‎ 由消去y,‎ 得x2+4(2x+2)2-4b2=0,‎ 即17x2+32x+16-4b2=0.‎ Δ=322+16×17(b2-4)>0,解得b>.‎ x1+x2=-,x1x2=.‎ ‎∵OP⊥OQ,∴·=0,‎ 即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,‎ ‎5x1x2+4(x1+x2)+4=0.‎ 从而-+4=0,‎ 解得b=1,满足b>.‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎12.(2015·安徽)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B 的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足BM=2MA,直线OM的斜率为.‎ ‎(1)求E的离心率e;‎ ‎(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.‎ 解 (1)由题设条件知,点M的坐标为,‎ 又kOM=,从而=,‎ 进而得a=b,c==2b,故e==.‎ ‎(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.‎ 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,‎ 则线段NS的中点T的坐标为.‎ 又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,‎ 从而有解得b=3.‎ 所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.‎ ‎13.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,M为椭圆上任意一点.过F,B,A三点的圆的圆心坐标为(p,q).‎ ‎(1)当p+q≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;‎ ‎(2)若点D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时,(+)·的最小值为,求椭圆的方程.‎ 解 (1)设椭圆半焦距为c.由题意AF,AB的中垂线方程分别为x=,y-=(x-),‎ 于是圆心坐标为(,).‎ 所以p+q=+≤0,‎ 整理得ab-bc+b2-ac≤0,即(a+b)(b-c)≤0,‎ 所以b≤c,于是b2≤c2,即a2=b2+c2≤2c2.‎ 所以e2=≥,即≤e<1.‎ ‎(2)当e=时,a=b=c,‎ 此时椭圆的方程为+=1,‎ 设M(x,y),则-c≤x≤c,‎ =(-c-x,-y),=(b+1,0),=(-x,-y),‎ 所以(+)·=x2-x+c2=(x-1)2+c2-.‎ 当c≥时,上式的最小值为c2-,即c2-=,得c=2;‎ 当0