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- 2021-06-16 发布
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1.椭圆的概念
平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P={M|MF1+MF2=2a},F1F2=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若ab>0)
+=1
(a>b>0)
图形
性
质
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴 对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距
F1F2=2c
离心率
e=∈(0,1)
a,b,c的关系
a2=b2+c2
【知识拓展】
点P(x0,y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1.
(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1.
(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.( × )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( √ )
(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( × )
(4)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )
(5)+=1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.( × )
(6)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
1.(教材改编)椭圆+=1的焦距为4,则m=________.
答案 4或8
解析 由题意知
或
解得m=4或m=8.
2.(2016·苏州检测)在平面直角坐标系xOy内,动点P到定点F(-1,0)的距离与P到定直线x=-4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为______________.
答案 +=1
解析 设点P(x,y),由题意知=,
化简得3x2+4y2=12,
所以动点P的轨迹C的方程为+=1.
3.(2016·全国乙卷改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为________.
答案
解析 如图,由题意得,BF=a,OF=c,OB=b,
OD=·2b=b.
在Rt△FOB中,OF·OB=BF·OD,即cb=a·b,
解得a=2c,故椭圆离心率e==.
4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是________.
答案 (0,1)
解析 将椭圆方程化为+=1,因为焦点在y轴上,则>2,即k<1,又k>0,所以00,所以x=,所以P点坐标为或.
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹
例1 (2016·徐州模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是________.
答案 椭圆
解析 由条件知PM=PF,
∴PO+PF=PO+PM=OM=R>OF.
∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的3倍,并且过点P(3,0),则椭圆的方程为_________________________________.
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则椭圆的方程为________________________________________.
答案 (1)+y2=1或+=1
(2)+=1
解析 (1)若焦点在x轴上,
设方程为+=1(a>b>0).
∵椭圆过P(3,0),∴+=1,即a=3,
又2a=3×2b,∴b=1,∴椭圆方程为+y2=1.
若焦点在y轴上,设方程为+=1(a>b>0).
∵椭圆过点P(3,0),∴+=1,即b=3.
又2a=3×2b,∴a=9,∴椭圆方程为+=1.
∴所求椭圆的方程为+y2=1或+=1.
(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
∵椭圆经过点P1,P2,∴点P1,P2的坐标适合椭圆方程.
即
①②两式联立,解得
∴所求椭圆方程为+=1.
命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题
例3 已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=________.
答案 3
解析 设PF1=r1,PF2=r2,
则
因为2r1r2=(r1+r2)2-(r+r)
=4a2-4c2=4b2,
又因为
所以b=3.
引申探究
1.在例3中,若增加条件“△PF1F2的周长为18”,其他条件不变,求该椭圆的方程.
解 由原题得b2=a2-c2=9,
又2a+2c=18,
所以a-c=1,解得a=5,
故椭圆方程为+=1.
2.在例3中,若将条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2=60°”“”,结果如何?
解 PF1+PF2=2a,又∠F1PF2=60°,
所以PF+PF-2PF1·PF2cos 60°
=F1F,
即(PF1+PF2)2-3PF1·PF2=4c2,
所以3PF1·PF2=4a2-4c2=4b2,
所以PF1·PF2=b2,
又因为
=·b2·
=b2=3,
所以b=3.
思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a>F1F2这一条件.
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
(3)当P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求PF1·PF2;通过整体代入可求其面积等.
(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
(2)(2016·镇江模拟)设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是______.
答案 (1)+=1 (2)1
解析 (1)设圆M的半径为r,
则MC1+MC2=(13-r)+(3+r)=16>8=C1C2,
所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,
且 2a=16,2c=8,
故所求的轨迹方程为+=1.
(2)∵(+)·=(+)·=·=0,
∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.
设PF1=m,PF2=n,
则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,
题型二 椭圆的几何性质
例4 (1)已知点F1,F2是椭圆x2+2y2=2的左,右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是________.
(2)(2016·全国丙卷改编)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为椭圆C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为________.
答案 (1)2 (2)
解析 (1)设P(x0,y0),则=(-1-x0,-y0),
=(1-x0,-y0),∴+=(-2x0,-2y0),
∴|+|=
=2
=2.
∵点P在椭圆上,∴0≤y≤1,
∴当y=1时,|+|取最小值2.
(2)设M(-c,m),则E,OE的中点为D,则D,又B,D,M三点共线,所以=,a=3c,e=.
思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围,或者最大值、最小值时,经常用到椭圆标准方程中x,y的范围,离心率的范围等不等关系.
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式或不等式,利用a2=b2+c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围.
(2016·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.
答案
解析 联立方程组解得B,C两点坐标为
B,C,又F(c,0),
则=,=,
又由∠BFC=90°,可得·=0,代入坐标可得
c2-a2+=0, ①
又因为b2=a2-c2.
代入①式可化简为=,则椭圆离心率为e===.
题型三 直线与椭圆
例5 (2016·天津)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.
解 (1)设F(c,0),由+=,
即+=,可得a2-c2=3c2.
又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.
所以椭圆的方程为+=1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0),
则直线l的方程为y=k(x-2).
设B(xB,yB),由方程组消去y,
整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,
解得x=2或x=.
由题意,得xB=,从而yB=.
由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),
有=(-1,yH),=.
由BF⊥HF,得·=0,
所以+=0,解得yH=.
因此直线MH的方程为y=-x+.
设M(xM,yM),由方程组消去y,
解得xM=.
在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔MA≤MO,
即(xM-2)2+y≤x+y,
化简得xM≥1,即≥1,
解得k≤-或k≥.
所以直线l的斜率的取值范围为
∪.
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=
= (k为直线斜率).
提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
如图,已知椭圆O:+y2=1的右焦点为F,B,C分别为椭圆O的上,下顶点,P是直线l:y=-2上的一个动点(与y轴交点除外),直线PC交椭圆O于另一点M.
(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时,求△FBM的面积;
(2)①记直线BM,BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值;
②求·的取值范围.
(1)解 由题意知B(0,1),C(0,-1),焦点F(,0),当直线PM过椭圆O的右焦点F时,直线PM的方程为+=1,即y=x-1.
联立解得或(舍去),
即点M的坐标为(,).
连结BF,则直线BF的方程为+=1,
即x+y-=0.又BF=a=2,
点M到直线BF的距离为
d===,
故△FBM的面积为S△MBF=·BF·d=×2×=.
(2)方法一 ①证明 设P(m,-2),且m≠0,则直线PM的斜率为k==-,
则直线PM的方程为y=-x-1.
联立消去y,得(1+)x2+x=0,
解得点M的坐标为(-,),
所以k1===m,
k2==-,
所以k1·k2=-·m=-为定值.
②解 由①知,=(-m,3),
=(--m,+2)
=(,),
所以·=(-m,3)·(-,)
=.
令m2+4=t>4,
则·=
==t-+7.
因为y=t-+7在t∈(4,+∞)上单调递增,
所以·=t-+7>4-+7=9,
故·的取值范围为(9,+∞).
方法二 ①证明 设点M的坐标为(x0,y0)(x0≠0),
则直线PM的方程为y=x-1,
令y=-2,得点P的坐标为(-,-2),
所以k1=,k2==,
所以k1·k2=·=
==-为定值.
②解 由①知,=(,3),=(x0+,y0+2),
所以·=(x0+)+3(y0+2)
=+3(y0+2)
=+3(y0+2)
=.
令t=y0+1∈(0,2),
则·==-t++7.
因为y=-t++7在t∈(0,2)上单调递减,
所以·=-t++7>-2++7=9,
故·的取值范围为(9,+∞).
8.高考中求椭圆的离心率问题
考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表示,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.
典例1 (2015·福建改编)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若AF+BF=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是__________.
解析 左焦点F0,连结F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.
∵AF+BF=4,
∴AF+AF0=4,
∴a=2.
设M(0,b),则≥,∴1≤b<2.
离心率e=== = ∈.
答案
典例2 (14分)(2016·浙江)如图,设椭圆+y2=1(a>1).
(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
规范解答
解 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM,
由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,
故x1=0,x2=-,
因此AM=|x1-x2|=·. [6分]
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足AP=AQ.
记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,
且k1,k2>0,k1≠k2. [8分]
由(1)知AP=,AQ=,
故=,
所以(k-k)[1+k+k+a2(2-a2)kk]=0.
由k1≠k2,k1,k2>0,得1+k+k+a2(2-a2)kk=0,
因此=1+a2(a2-2), ①
因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>. [12分]
因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤,
由e==,得0b>0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以c=1,又离心率e==,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.
2.(2016·苏北四市一模)已知椭圆+=1(a>b>0),点A、B1、B2、F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB2与直线B1F的交点恰在直线x=上,则椭圆的离心率为________.
答案
解析 由题意知直线AB2:-+=1,直线B1F:-=1,联立解得x=,若交点在椭圆的右准线上,则=,即2c2+ac-a2=0,所以2e2+e-1=0,解得e=.
3.(2017·青岛月考)已知A1,A2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点,P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点,若直线PA1,PA2的斜率的乘积为-,则椭圆C的离心率为________.
答案
解析 设P(x0,y0),则·=-,
化简得+=1,
则=,e= = =.
4.(2016·南昌模拟)已知椭圆:+x2=1,过点P(,)的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为________________.
答案 9x+y-5=0
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B在椭圆+x2=1上,所以
两式相减,得+x-x=0,
即+(x1-x2)(x1+x2)=0,
又弦AB被点P(,)平分,
所以x1+x2=1,y1+y2=1,
将其代入上式,得+x1-x2=0,
得=-9,
即直线AB的斜率为-9,所以直线AB的方程为
y-=-9(x-),
即9x+y-5=0.
5.(2016·宿迁模拟)已知F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使PF1·PF2取得最大值的点P为__________.
答案 (0,1)或(0,-1)
解析 由椭圆定义得PF1+PF2=2a=4,
∴PF1·PF2≤()2=4,
当且仅当PF1=PF2=2,
即P(0,-1)或(0,1)时,PF1·PF2取得最大值.
*6.(2016·苏州质检)设A1,A2为椭圆+=1(a>b>0)的左,右顶点,若在椭圆上存在异于A1,A2的点P,使得·=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是____________.
答案 (,1)
解析 A1(-a,0),A2(a,0),
设P(x,y),则=(-x,-y),=(a-x,-y),
∵·=0,∴(a-x)(-x)+(-y)(-y)=0,
∴y2=ax-x2>0,∴0.
又0<<1,∴<<1.
7.若椭圆+=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,过点(2,1)作圆x2+y2=4的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为________________.
答案 +=1
解析 设切点坐标为(m,n),
则·=-1,
即m2+n2-n-2m=0.
∵m2+n2=4,∴2m+n-4=0,
即直线AB的方程为2x+y-4=0.
∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,
∴2c-4=0,b-4=0,解得c=2,b=4,
∴a2=b2+c2=20,
∴椭圆方程为+=1.
8.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则PM+PN的最小值为________.
答案 7
解析 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且PF1+PF2=10,从而PM+PN的最小值为PF1+PF2-1-2=7.
9.(2017·连云港质检)椭圆+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一动点,若∠F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是________________.
答案 (-,)
解析 设椭圆上一点P的坐标为(x,y),
则=(x+,y),=(x-,y).
∵∠F1PF2为钝角,∴·<0,
即x2-3+y2<0,①
∵y2=1-,代入①,得x2-3+1-<0,
x2<2,∴x2<.
解得-b>0)的左顶点A(-a,0)作直线l交y轴于点P,交椭圆于点Q,若△AOP是等腰三角形,且=2,则椭圆的离心率为________.
答案
解析 ∵△AOP是等腰三角形,A(-a,0),∴P(0,a).
设Q(x0,y0),∵=2,
∴(x0,y0-a)=2(-a-x0,-y0).
∴解得
代入椭圆方程化简,可得=,
∴e= =.
11.(2016·南京模拟)如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点,上顶点分别为A,
B,且AB=BF.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OP⊥OQ,求直线l的方程及椭圆C的方程.
解 (1)由已知AB=BF,
即=a,
4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,
∴e==.
(2)由(1)知a2=4b2,∴椭圆C:+=1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.
由消去y,
得x2+4(2x+2)2-4b2=0,
即17x2+32x+16-4b2=0.
Δ=322+16×17(b2-4)>0,解得b>.
x1+x2=-,x1x2=.
∵OP⊥OQ,∴·=0,
即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,
5x1x2+4(x1+x2)+4=0.
从而-+4=0,
解得b=1,满足b>.
∴椭圆C的方程为+y2=1.
12.(2015·安徽)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B
的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足BM=2MA,直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.
解 (1)由题设条件知,点M的坐标为,
又kOM=,从而=,
进而得a=b,c==2b,故e==.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,
则线段NS的中点T的坐标为.
又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,
从而有解得b=3.
所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.
13.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,M为椭圆上任意一点.过F,B,A三点的圆的圆心坐标为(p,q).
(1)当p+q≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;
(2)若点D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时,(+)·的最小值为,求椭圆的方程.
解 (1)设椭圆半焦距为c.由题意AF,AB的中垂线方程分别为x=,y-=(x-),
于是圆心坐标为(,).
所以p+q=+≤0,
整理得ab-bc+b2-ac≤0,即(a+b)(b-c)≤0,
所以b≤c,于是b2≤c2,即a2=b2+c2≤2c2.
所以e2=≥,即≤e<1.
(2)当e=时,a=b=c,
此时椭圆的方程为+=1,
设M(x,y),则-c≤x≤c,
=(-c-x,-y),=(b+1,0),=(-x,-y),
所以(+)·=x2-x+c2=(x-1)2+c2-.
当c≥时,上式的最小值为c2-,即c2-=,得c=2;
当0