【数学】2019届一轮复习北师大版三角函数的图象与性质学案 16页

第19讲　三角函数的图象与性质 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．‎ ‎2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．‎ ‎3．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．‎ ‎4．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，6‎ ‎2017·北京卷，16‎ ‎2017·天津卷，7‎ ‎2016·四川卷，4‎ ‎2016·山东卷，7‎ ‎1.三角函数的图象，主要考查三角函数的图象变换、三角函数解析式的求法及三角函数图象的应用．‎ ‎2．三角函数的性质是高考的必考内容，常与三角函数的图象结合，主要考查三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性．‎ ‎3．高考中常以选择、填空题的形式考查三角函数关系式、三角函数诱导公式、三角函数的奇偶性及对称性，属于中低档题．‎ ‎4．以解答题的形式考查三角函数的单调性、最值，常与平面向量、解三角形及三角恒等变换相结合.‎ 分值：5～12分 ‎1．“五点法”作图的原理 在确定正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是__(0,0)__，____，__(π，0)__，____，__(2π，0)__.‎ ‎2．三角函数的图象和性质 函数 性质　‎ y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定 R R 义域 ‎__x__‎ 图象 值域 ‎__[－1,1]__‎ ‎__[－1,1]__‎ ‎__R__‎ 对称性 对称轴：__x＝kπ＋(k∈Z)__；对称中心：__(kπ，0)(k∈Z)__‎ 对称轴：__x＝kπ(k∈Z)__；对称中心：__(k∈Z)__‎ 对称中心： (k∈Z)__‎ 周期 ‎__2π__‎ ‎__2π__‎ ‎__π__‎ 单调性 在__(k∈Z)__上单调递增；在__(k∈Z)__上单调递减 在__(－π＋2kπ，2kπ)(k∈Z)__上单调递增；在__(2kπ，π＋2kπ)(k∈Z)__上单调递减 在__(k∈Z)__上单调递增 奇偶性 ‎__奇函数__‎ ‎__偶函数__‎ ‎__奇函数__‎ ‎3．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.‎ x ‎__－__‎ ‎ －＋__‎ ‎ __‎ ‎ －__‎ ‎____‎ ωx＋φ ‎__0__‎ ‎____‎ ‎__π__‎ ‎____‎ ‎__2π__‎ y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎4．函数y＝sin x的图象变换为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 ‎5．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念及物理量 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时)‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 ‎__A__‎ T＝____‎ f＝____‎ ‎__ωx＋φ__‎ ‎__φ__‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.(　×　)‎ ‎(2)正弦函数y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(　√　)‎ ‎(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　×　)‎ ‎(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．(　√　)‎ 解析　(1)错误．横坐标缩短，周期变小，ω变大，故变换后，所得图象的解析式为y＝sin 2x.‎ ‎(2)正确．由正弦函数y＝sin x的图象易知．‎ ‎(3)错误．“先平移，后伸缩”的平移单位长度为 |φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为(ω>0)．故当ω≠1时平移的长度不相等．‎ ‎(4)正确．振幅A的值是由最大值M与最小值m确定的， 其中A＝. ‎ ‎2．y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　A　)‎ A．2，，－　　 B．2，，－ C．2，，－　　 D．2，，－ 解析　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，周期为π，频率为，初相为－.‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　C　)‎ A．4π　　 B．2π　　‎ C．π 　　 D． 解析　依题意得，函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.故选C．　‎ ‎4．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象的对称轴是(　B　)‎ A．x＝＋，k∈Z　　 B．x＝＋，k∈Z C．x＝－，k∈Z　　 D．x＝kπ－，k∈Z 解析　y＝sin的图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin.令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.‎ ‎5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝____.‎ 解析　由题图知，＝－＝，T＝，即＝，故ω＝.‎ 一　三角函数图象的变换 三角函数图象的两种变换 ‎(1)平移变换 ‎①沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．‎ ‎②沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移．‎ ‎(2)伸缩变换 ‎①沿x轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．‎ ‎②沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍．‎ ‎【例1】 (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　D　)‎ A．y＝2sin　　 B．y＝2sin C．y＝2sin　　 D．y＝2sin ‎(2)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝____.‎ 解析　(1)由函数解析式可得该函数的周期为π，将其图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数为y＝2sin＝2sin.故选D．‎ ‎(2)把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f＝sin＝sin＝.‎ 二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法 ‎(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.‎ ‎(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝.‎ ‎(3)求φ：常用的方法有：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点是在上升区间还是在下降区间)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：‎ ‎“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.‎ ‎【例2】 (1)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　A　)‎ A．2，－　　 B．2，－ C．4，－　　 D．4， ‎(2)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是(　C　)‎ A．A＝3，T＝，φ＝－ B．A＝1，T＝，φ＝ C．A＝1，T＝，φ＝－ D．A＝1，T＝，φ＝－ 解析　(1)因为＝－，所以T＝π.‎ 又T＝(ω>0)，所以＝π，所以ω＝2.‎ 又2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且－<φ<，故φ＝－.‎ ‎(2)由图象知，A＝＝1，＝－＝，则T＝，ω＝.‎ 由×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，‎ 令k＝0，得φ＝－.‎ 三　三角函数的单调性 三角函数单调性问题的常见类型及解题策略 ‎(1)已知三角函数的解析式求单调区间：‎ ‎①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律；‎ ‎②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．‎ ‎(2)已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．‎ ‎【例3】 已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 解析　(1)f(x)＝4cos ωxsin＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx ‎＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋.‎ 因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，所以＝π，故ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin＋.‎ 若0≤x≤，则≤2x＋≤.‎ 当≤2x＋<，即0≤x<时，f(x)单调递增；‎ 当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．‎ 综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．‎ 四　三角函数的值域(最值)‎ ‎(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数，可先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)．‎ ‎(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．‎ ‎(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．‎ 注意：(2)(3)中换元后t的取值范围要标出．‎ ‎【例4】 已知函数f(x)＝cos xsin－cos2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．‎ 解析　(1)由已知，有 f(x)＝cos x－cos2x＋ ‎＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ ‎∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)∵x∈，∴2x－∈.‎ 当2x－＝－，即sin＝－1时，‎ f(x)取最小值－.‎ 当2x－＝，即sin＝时，f(x)取最大值.‎ ‎∴函数f(x)在上的最大值为，最小值为－.‎ 五　三角函数的奇偶性、周期性、对称性 三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法 ‎(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，同时当x＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，且当x＝0时，f(x)＝0.‎ ‎(2)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T＝，T＝，T＝求解．‎ ‎(3)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎【例5】 (1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　B　)‎ A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　C　)‎ A．x＝　　 B．x＝ C．x＝－　　 D．x＝－ ‎(3)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为__π__.‎ 解析　(1)f(x)是奇函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝时，f(x)＝Acos＝－Asin ωx，为奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件．‎ ‎(2)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.‎ 取k＝－1，则x＝－.‎ ‎(3)记f(x)的最小正周期为T.由题意知≥－＝.‎ 又f＝f＝－f，且－＝.‎ 可作出示意图如图所示(一种情况)．‎ ‎∴x1＝×＝，x2＝×＝，‎ ‎∴＝x2－x1＝－＝.∴T＝π.‎ ‎1．把函数y＝sin的图象上所有点向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得图象的解析式是y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)，则(　C　)‎ A．ω＝，φ＝－　　 B．ω＝2，φ＝ C．ω＝2，φ＝0　　 D．ω＝2，φ＝ 解析　把函数y＝sin的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数y＝sin＝sin x的图象，再将所得图象的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得图象的解析式是y＝sin 2x，故ω＝2，φ＝0.‎ ‎2．已知函数①y＝sin x＋cos x，②y＝2sin xcos x，则下列结论正确的是(　C　)‎ A．两个函数的图象均关于点中心对称 B．两个函数的图象均关于直线x＝－对称 C．两个函数在区间上都是单调递增函数 D．将函数②的图象向左平移个单位得到函数①的图象 解析　函数①y＝sin x＋cos x＝sin，②y＝2·sin xcos x＝sin 2x，由于①的图象关于点中心对称，②的图象不关于点中心对称，故A项不正确；由于函数①的图象不可能关于直线x＝－对称，故B项不正确；由于这两个函数在区间 上都是单调递增函数，故C项正确；将函数②的图象向左平移个单位得到函数y＝·sin的图象，而y＝sin≠sin，故D项不正确．故选C．‎ ‎3．若函数y＝2sin(ωx＋φ)的一段图象如图所示，则ω＝__2__，φ＝____.‎ 解析　∵T＝－＝π，∴ω＝＝2.由图象得2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ－，k∈Z.∵|φ|≤，∴k＝1时，φ＝.‎ ‎4．设x∈，函数y＝4sin2x－12sin x－1的最大值为a，最小值为b，则a＋b＝__－3__.‎ 解析　令t＝sin x，由于x∈，故t∈，‎ 则y＝4t2－12t－1＝42－10.‎ 因为当t∈时，函数单调递减，‎ 所以当t＝－，即x＝－时，y取得最大值，ymax＝6；‎ 当t＝1，即x＝时，y取得最小值，ymin＝－9.‎ ‎∴a＝6，b＝－9，∴a＋b＝－3.‎ 易错点　忽略正、余弦函数的有界性 错因分析：忽略了sin θ，cos θ的值必须在[－1,1]内．‎ ‎【例1】 已知sin x＋sin y＝，求sin x－cos2y的最大值、最小值．‎ 解析　 令t＝sin x－cos2y.‎ ‎∵sin x＝－sin y，‎ ‎∴t＝－sin y－1＋sin2y＝2－.‎ ‎∵ ‎∴－≤sin y≤1，‎ 于是，当sin y＝时，tmin＝－；‎ 当sin y＝－时，tmax＝.‎ ‎【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　B　)‎ A．4　　 B．‎5　‎　‎ C．6　　 D．7‎ 解析　f(x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，又因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B．‎ 课时达标　第19讲 ‎[解密考纲]本考点考查三角函数的图象、图象的变换以及三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等．一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前的位置，题目难度中等．‎ 一、选择题 ‎1．函数y＝的定义域为(　C　)‎ A． B．(k∈Z)‎ C．(k∈Z) D．R 解析　∵cos x－≥0，即cos x≥，‎ ‎∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.‎ ‎2．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　A　)‎ A．向右平移个单位　　 B．向右平移个单位 C．向左平移 个单位　　 D．向左平移个单位 解析　因为y＝sin 3x＋cos 3x＝cos，所以将y＝cos 3x的图象向右平移个单位后可得到y＝cos的图象．‎ ‎3．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　B　)‎ A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 解析　由题可得平移后的函数为y＝3sin＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得kπ＋≤x≤kπ＋，故该函数在(k∈Z)上单调递增，当k＝0时，B项满足条件．故选B．‎ ‎4．(2018·广东深圳中学测试)若函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)＋sin x是偶函数，函数f(x)＋cos x是奇函数，则f＝(　A　)‎ A．－　　 B． C．　　 D． 解析　∵函数f(x)＋sin x是偶函数，‎ ‎∴f＋sin＝f＋sin，即f－＝f＋.①‎ ‎∵函数f(x)＋cos x是奇函数，‎ ‎∴f＋cos＝－f－cos，即f＋＝－f－.②‎ 由①－②，得－＝‎2f＋，∴f＝－.故选A．‎ ‎5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　D　)‎ A．1　　 B． C．　　 D． 解析　观察图象可知，A＝1，T＝π，‎ ‎∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．‎ 将代入上式得sin＝0.‎ 由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin.‎ 函数图象的对称轴为x＝＝.‎ 又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴＝，‎ ‎∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝.故选D．‎ ‎6．(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　A　)‎ A．ω＝，φ＝　　 B．ω＝，φ＝－ C．ω＝，φ＝－　　 D．ω＝，φ＝ 解析　由f＝2，f＝0，f(x)的最小正周期T>2π，可得－＝＝，∴T＝3π，∴ω＝＝.再由f＝2及|φ|<π，得φ＝.‎ 二、填空题 ‎7．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上为减函数，则ω的一个取值范围为__[2,3](答案不唯一)__.‎ 解析　由题意可得ω×≥2kπ＋，且ω×≤2kπ＋(k∈Z)，解得8k＋2≤ω≤4k＋3.令k＝0，得2≤ω≤3.‎ ‎8．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为__1__.‎ 解析　f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.‎ ‎9．把函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x－图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g(x)＝‎ sin 2x的图象，则φ的最小值为____.‎ 解析　把函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g(x)＝sin＝sin＝sin 2x的图象，则φ的最小值为.‎ 三、解答题 ‎10．(2018·福建三校联考)已知函数f(x)＝sin－cos.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间．‎ 解析　(1)f(x)＝sin－cos＝cos x＋sin x＝2sin，所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得 ‎2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，‎ 所以f(x)的单调增区间为(k∈Z)．‎ 由2kπ＋