【数学】2019届一轮复习北师大版数列的解答题学案 21页

专题三 数列的解答题 以等差数列和等比数列综合题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．等差数列及等比数列的广义通项公式 ；‎ ‎2．一个数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列必是非零常数列；‎ ‎3．等差数列及等比数列前n项和特征设法 ．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 涉及特殊数列（等差数列或等比数列）一般用待定系数法，注重研究首项及公差或公比；‎ 由原数列抽取或改变项的顺序等生成新数列，一般注重研究生成数列在新数列及原数列的对应关系，通常用“算两次”的思想解决问题 ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】已知等差数列的前项和为，，．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）1；（II）．‎ ‎【解析】【试题分析】（I）利用化简已知得，这是一个等差数列，由此求得的通项公式，再利用求得，用等差数列的性质求出的值．（II）由（I）求得是个等差数列，故用裂项求和法求得数列的前项和． = ‎ ‎【试题解析】‎ ‎（II） 由（I）可得，所以 所以，‎ 即．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等．‎ 例2．【2018河北沧州高三上 期教 质量监测】在等差数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）当时，；当时，‎ ‎．‎ 试题解析 ‎ 解 （Ⅰ）设等差数列的公差为，则，∴．‎ ‎∴，解得．∴数列的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）∵数列是首项为1，公比为的等比数列，∴，即．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 当时，；当时，．‎ ‎【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． - ‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018百校联盟TOP20一月联考（全国Ⅰ卷）】正项数列满足，，数列为等差数列，，．‎ ‎（I）求证 是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（II）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）证明见解析，（II）‎ ‎【解析】试题分析 （I）将条件整理可得，可得，从而证得数列是等比数列，求出后根据题意可得，进而求得．（II）由（I）得，根据数列通项公式的特点，对数列求和时先分组，再分别用错位相减求和及公式求和可得结果．‎ 试题解析 （I）由题可得，∵，∴，‎ ‎∴，又，∴ 数列是首项为，公比为3的等比数列． ‎ ‎∴，∴ ．∴ ，‎ 由题意得，解得∴．‎ ‎（II）由（I）得，，∴，‎ ‎∴，‎ 令 ①，‎ 则②，‎ ‎①②得 ‎．‎ 所以．∴．‎ ‎2．【2018四川绵阳南山中 高三二诊热身考试】已知等差数列中，公差，，且成等比数列．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】试题分析 （I）由题意可得解得即可求得通项公式；（II），裂项相消求和 ，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立．求出的最大值即可解得的取值范围．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）由题意可得即 又因为，所以所以．‎ ‎（II）因为，所以 ‎ ．‎ 因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立．‎ 又（当且仅当时取等号）．‎ 所以，即实数的取值范围是．‎ 以求递推数列的通项公式和求和的综合题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．‎ ‎2．‎ ‎3．‎ ‎4．求和方法 累加、累乘、裂项相消、错位相减 ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 会由与 的关系求数列通项；会对原数列适当变形构成一个特殊数列（等差数列或等比数列），进而求出原数列通项；能根据数列通项特征，选用对应方法求数列前n项的和．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018江西临川二中、新余四中高三1月联合考试】已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，．‎ ‎（I）求数列和的通项公式； ‎ ‎（II）令，设数列的前项和，求．‎ ‎【答案】（I） ；（II）．‎ 试题解析 （I）设数列的公差为，数列的公比为，‎ 由，，得解得 ‎，．‎ ‎（II）由，，得，‎ 则为奇数时，，为偶数时，，‎ ‎ ．‎ ‎【方法点睛】裂项相消法适用于形如（其中数列各项均不为零的等差数列，为常数）的数列，一类是常见的有相邻两项的裂项求和，如本题；另一类是隔一项的裂项求和，如或．‎ 例2．【2018广东珠海市高三3月质量检测】已知数列的前项和为，满足，．‎ ‎（I）求数列的通项；‎ ‎（II）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）第（I）问，一般利用项和公式求数列的通项．（II）第（II）问，一般利用错位相减求数列的前项和．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）∵……①，∴……②，‎ ‎②-①得，‎ ‎∵，∴ ，∴，‎ ‎∴时，，，即时，，‎ ‎∴数列是为首项，为公比的等比数列，∴．‎ ‎（II） ，则，∴ ……③，‎ ‎∴ ……④，‎ ‎④-③得 = ．‎ ‎【名师点睛】数列求和方法中有两类方法是对应于特定的数列，如是等差数列，是等比数列，则数列的前项是用错位相减法求得，数列的前项和是用裂项相消法求得．特定的数列，特定的方法一定要记住．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018福建福州高三3月质量检测】已知等差数列的前项和为，，且．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）．（II） ‎ ‎【解析】试题分析 （I）利用等差数列基本公式求得通项公式；（II）由可知，利用错位相减法求和或待定系数法求和．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）设等差数列的公差为，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得．‎ 所以．‎ ‎（II）由（I）知，，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，解得，‎ 所以，‎ 所以 ‎．‎ ‎2．【2018河南濮阳市高三一模】已知数列是等差数列，，，．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎（II）若数列为递增数列，则，所以，，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以 ‎，所以．‎ 解答题（共10题）‎ ‎1．【2018四川高三“联测促改”活动联考】已知数列满足 ，．‎ ‎（I）证明数列是等比数列，并求数列的通项；‎ ‎（II）设，数列的前项和为，求证 ．‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析 ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）由题意可得递推关系 ，整理可得 ，即是等比数列，结合首项可得，．‎ ‎（II）结合（I）整理数列的通项公式可得 ，裂项求和有．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）解 由知，‎ 代入得 ，‎ 化简得 ，即是等比数列，‎ 又，则，进而有．‎ ‎（II）证明 由于，‎ 所以．‎ ‎2．【2018湖北武汉武昌区高三1月调研】已知数列的前项和．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】【试题分析】（I）利用公式，可求得数列的通项公式．（II）化简的表达式，由于它是由一个等差数列乘以一个等比数列组合而成，故用错位相减法 求其前项和．‎ ‎3．【2018河南豫南九校高三下 期第一次联考】设正项等比数列，，且的等差中项为． ‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）若，数列的前项和为，数列满足，为数列的前项和，若恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】【试题分析】（I）利用基本元的思想将已知转化为的形式列方程组解出，由此得到通项公式．（II）化简，是个等差数列，求得其前项和为，利用裂项求和法可求得的值，代入不等式，利用分离常数法可求得．‎ ‎【试题解析】‎ ‎（I）设等比数列的公比为，由题意，得，解得，所以 ．‎ ‎（II）由（I）得，，‎ ‎∴，∴‎ 若恒成立，则恒成立，则，所以．‎ ‎4．【2018河北衡水中 高三上 期九模】已知在数列中，，．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）若，数列的前项和为，求．‎ ‎【答案】（I） （II）当为奇数时， ，当为偶数时， ．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ 试题解析 （I）因为，所以当时，，所以，‎ 所以数列的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列．‎ 又，，所以当为奇数时，；当为偶数时，，所以．‎ ‎（II）因为，，，所以．讨论 ‎ 当为奇数时， ；‎ 当为偶数时， ．‎ ‎5．【2018河北邯郸高三1月教 质量检测】已知数列满足．‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）结合递推关系可得是以为首项，公比为的等比数列，据此可得通项公式为．‎ ‎（II）结合（I）的结论有，分钟求和可得．‎ 试题解析 （Ⅰ）因为，故，得；‎ 设，所以，，，又因为，‎ 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，故，故．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故 ‎．‎ ‎6．【2018安徽皖南八校高三第二次（12月）联考】已知是等比数列，满足 ‎，且．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式和前项和；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由，令 可解得，，从而可得的通项公式和前项和；（II）结合（I）的结论，可得，从而得时，，两式相减、化简即可得的通项公式． ‎ 试题解析 （Ⅰ） ，‎ ‎，，，，，，‎ 是等比数列，，的通项公式为，的前项和．‎ ‎（Ⅱ）由及得 ‎，‎ 时，，‎ ‎，，‎ ‎，，的通项公式为．[ ]‎ ‎7．【2018上海浦东新区高三一模】已知等差数列的公差为2，其前项和（，）．‎ ‎（I）求的值及的通项公式；‎ ‎（II）在等比数列中，，，令（），‎ 求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I） ；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由求得的值及的通项公式；（II）由题意可得 ，‎ 分奇偶项讨论，分组求和即可．‎ 试题解析 ‎ ‎（I），，，‎ ‎，， ．‎ ‎（II）∵，∴，，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当时，是偶数，‎ ‎ ，‎ ‎．‎ ‎8．【2018湖南永州高三第二次模拟考试】在数列中，．‎ ‎（I）证明数列成等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（II）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（I）答案见解析；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）可化为，由此数列构成首项为，公比为的等比数列，从而可得的通项公式；（II）由（I）可得，利用错位相减法可得数列的前项和．‎ 试题解析 （I）由条件得，又时，，‎ 故数列构成首项为1，公比为的等比数列．从而，即．‎ ‎（II）由得，‎ 两式相减得 ，‎ ‎ ，故．‎ ‎9．【2018江西莲塘一中、临川二中高三上 期第一次联考】二次函数的图象过原点，对，恒有成立，设数列满足． ‎ ‎（I）求证 对，恒有成立；‎ ‎（II）求函数的表达式；‎ ‎（III）设数列前项和为，求的值．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）；(3)2018．‎ ‎【解析】试题分析 （I）左右两侧做差，结合代数式的性质可证得，即对，恒有 成立；（II）由已知条件可设，给定特殊值，令，从而可得 ，则，，从而有恒成立，据此可知，则．(3)结合（I）（II）的结论整理计算可得 ，据此分组求和有 ．‎ 试题解析 （I）（仅当时，取“=”）‎ 所以恒有 成立．‎ ‎（II）由已知条件可设，则中，令，‎ 从而可得 ，所以，即，‎ 又因为恒成立，即恒成立，‎ 当时，，不合题意舍去，‎ 当时，即，所以，所以．‎ ‎（III），‎ 所以，‎ 即．‎ ‎10．【2018江苏南京师大附中、天一、海门、淮阴四校高三联考】如图，一只蚂蚁从单位正方体的顶点出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过步回到点的概率．‎ ‎（I）分别写出的值；‎ ‎（II）设顶点出发经过步到达点的概率为，求的值；‎ ‎（III）求．‎ ‎【答案】（I）；（II）；（III）．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）由题意得经过1步不可能从点A回到点A，故；经过2步从点A回到点A的方法有3种，即A-B-A；A-D-A；，且选择每一种走法的概率都是，由此可得所求概率．（II）分为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（III）结合（II）中的结论，分四种情况可得，又，故可得，于是得到 ‎，从而可得结论．‎ ‎（III）同理，由分别经步到点的概率都是，由出发经过再回到[ ]‎ 的路径分为以下四类 ‎ ‎①由经历步到，再经步回到，概率为；‎ ‎②由经历步到，再经步回到，概率为；‎ ‎③由经历步到，再经步回到，概率为；‎ ‎④由经历步到，再经步回到，概率为；‎ 所以，又，所以，‎ 即，所以，故．‎ 综上所述，‎