【数学】2019届一轮复习北师大版命题及其关系、充分条件与必要条件学案文 11页

‎§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解命题的概念．‎ ‎2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．‎ ‎3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.‎ 命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.‎ ‎1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分又不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识拓展 从集合的角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：‎ ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；‎ ‎(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；‎ ‎(3)若A＝B，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“对顶角相等”是命题．(　√　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　×　)‎ ‎(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　)‎ ‎(4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　√　)‎ ‎(5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．下列命题是真命题的是(　　)‎ A．矩形的对角线相等 B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若整数a是素数，则a是奇数 D．命题“若x2＞0，则x＞‎1”‎的逆否命题 答案　A ‎3．“x－3＝‎0”‎是“(x－3)(x－4)＝‎0”‎的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)‎ 答案　充分不必要 题组三　易错自纠 ‎4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)‎ A．若xy，则x2>y2 D．若x≥y，则x2≥y2‎ 答案　B 解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y‎2”‎．‎ ‎5．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 答案　C 解析　x＞y⇏x＞|y|(如x＝1，y＝－2)，‎ 但当x＞|y|时，能有x＞y.‎ ‎∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件．‎ ‎6．已知p：x>a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，2]‎ 解析　由已知，可得{x|2＜x＜3}{x|x＞a}，∴a≤2.‎ 题型一　命题及其关系 ‎1．下列命题是真命题的是(　　)‎ A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1‎ C．若x＝y，则＝ D．若x＜y，则x2＜y2‎ 答案　A ‎2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)‎ A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有 C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福 答案　D ‎3．原命题为“△ABC中，若cos A<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．真，假，假 答案　B 解析　若cos A<0，A为钝角，则△ABC为钝角三角形，所以原命题为真，则逆否命题也为真；△ABC为钝角三角形，可能是B或者C为钝角，A可能为锐角，cos A>0.所以逆命题为假，则否命题也为假．故选B.‎ ‎4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________．‎ 答案　若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：‎ ‎①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．‎ ‎(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．‎ ‎(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．‎ 题型二　充分必要条件的判定 典例 (1)“0≤m≤‎1”‎是“函数f(x)＝cos x＋m－1有零点”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　方法一　若0≤m≤1，则0≤1－m≤1，‎ ‎∴cos x＝1－m有解．‎ 要使函数f(x)＝cos x＋m－1有零点，‎ 只需|m－1|≤1，解得0≤m≤2，故选A.‎ 方法二　函数f(x)＝cos x＋m－1有零点，‎ 则|m－1|≤1，解得0≤m≤2，‎ ‎∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m≤2}．‎ ‎∴“0≤m≤‎1”‎是“函数f(x)＝cos x＋m－‎1”‎有零点的充分不必要条件．‎ ‎(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　由5x－6>x2，得21且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)‎ 答案　充分不必要 解析　当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，‎ 当x＋y>2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，‎ 故p是q的充分不必要条件．‎ ‎11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．‎ 答案　(0,3)‎ 解析　令M＝{x|a≤x≤a＋1}，‎ N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．‎ ‎∵p是q的充分不必要条件，∴MN，‎ ‎∴解得0＜a＜3.‎ ‎12．有下列几个命题：‎ ‎①“若a＞b，则a2＞b‎2”‎的否命题；‎ ‎②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎③“若x2＜4，则－2＜x＜‎2”‎的逆否命题．‎ 其中真命题的序号是________．‎ 答案　②③‎ 解析　①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b‎2”‎，错误；‎ ‎②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝‎0”‎，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥‎4”‎，正确．‎ ‎13．(2018·邵阳二模)“m>‎1”‎是“函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)上无零点”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)上无零点，则31＋m>3，即m＋1>，解得m>，‎ 故“m>1”是“函数f(x)＝3x＋m－3在区间[1，＋∞)上无零点”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎14．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(‎2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　方法一　命题p为，‎ 命题q为{x|a≤x≤a＋1}．‎ 綈p对应的集合A＝，‎ 綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N＋都成立，于是可得3>2λ，即λ<.‎ 故所求λ的取值范围是.‎ ‎16．设a，b为正数，则“a－b>‎1”‎是“a2－b2>‎1”‎的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)‎ 答案　充分不必要 解析　∵a－b>1，即a>b＋1.‎ 又∵a，b为正数，‎ ‎∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立；反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>‎1”‎是“a2－b2>‎1”‎的充分不必要条件．‎