【数学】2019届一轮复习北师大版与圆有关的最值问题学案 5页

热点九 与圆相关的最值问题 ‎ 纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题.除了以选择题、填空题的形式考查外，有与圆锥曲线相结合的考查趋势.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学 看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ ‎1.已知含参数直线与圆位置关系，求直线方程中参数取值范围问题 ‎ 画出圆，利用直线过定点，结合图像即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公司，列出关于参数的不等式或方程，即可求出参数的范围.‎ 例1【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎2.已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问题 作出相应的图形，利用数形结合思想找出圆中相关量，如圆心坐标、圆心到某点距离、圆的半径、圆的弦长或圆的弦心距等满足的条件，列出不等式或方程或函数关系，再利用相关方法求出参数的范围.‎ 例2【2018届辽宁省凌 市高三上学期期末】已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为 ‎__________．学 + ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 依题意，解得，‎ 因为直线，故，‎ 设的中点为，则，‎ 即，‎ 化简可得，所以点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，‎ 所以的取值范围为，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎3. 与距离有关的最值问题 ‎ ‎ 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等.这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解,与圆有关的长度最值问题有以下题型 ‎ ‎①圆外一点到圆上距离最近为，最远为；‎ ‎②过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦； ‎ ‎③直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离，最近为；‎ ‎④过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.‎ ‎⑤圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转化一元函数在某个区间上的最值问题求解.‎ 例3【2018届湖南省长郡中学高三月考试题（五）】已知圆 上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的范围是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆心到直线的距离为 ，‎ 据此可知，满足题意时有 ,‎ 表示为区间的形式即.‎ 本题选择A选项.‎ ‎4. 与面积相关的最值问题 ‎ 与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解. ‎ 例4【2018届高三数学训练】已知P(2,0)为圆C x2＋y2－2x＋2my＋m2－7＝0(m>0)内一点，过点P的直线AB交圆C于A，B两点，若△ABC面积的最大值为4，则正实数m的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的标准方程为，则圆心，半径， ，‎ ‎ ‎ ‎∴当时取最大值4，此时为等腰直角三角形， ，则到距离等于2，∴，即，∴，即，∵，∴解得，故答案为.‎ ‎5.圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题[ 学 ]‎ ‎ 本类问题有三种解题思路，思路1 充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解题；思路2 设所给式子等于 ，代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参数的范围；思路3 利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求最值的方法求最值,注意留下变量的范围.‎ 例5实数x、y满足，则的最大值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题 ，因此，‎ 所以当x=2时，取得最大值4，故最大值为.‎ 例6【2018届西南名校联盟高三元月考试】直线与圆有公共点，则的取值范围是（ ）学= ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题可知圆的方程可化为，圆心为，半径为 ‎∴，即 ‎∵直线与圆有公共点 ‎∴圆心到直线的距离，即 ‎∴，即 将点带入直线和圆的方程可得 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故选D.‎ ‎【反思提升】综上所述，解决与圆相关的最值问题的关键要善于利用数形结合思想，利用几何知识求最值，要善于利用转化与化归思想将最值问题转化为函数的最值求解. 如表示曲线上点与点（a,b）之间距离的平方；表示曲线上点与点（a,b）连线的斜率；注意将直线在坐标轴上的截距与 联系起 解题.‎