【数学】2018届一轮复习苏教版三角函数的图像和性质（解析版）学案 35页

知识图谱·‎ ‎·‎ 三角函数的图象和性质 ‎·知识精讲·‎ ‎·‎ 一．三角函数图像和性质 二．关于正弦函数和正切函数的几点说明 ‎1．关于函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。‎ ‎2．关于 ‎（1）正切函数图像的定义域为，值域为全体实数，不同于正弦函数和余弦函数定义域是全体实数，值域是.‎ ‎（2）关于的最小正周期，最小正周期为，而正弦和余弦函数的最小正周期为.‎ ‎（3）切记正切函数必须说是在定义域内单调递增，而不能说是在全体实数内单调递增.‎ ‎（4）正切函数图像的中心对称点是，不同于正弦函数图像和余弦函数图像，对称轴只是与轴的交点.‎ ‎（5）正切函数图像没有对称轴.‎ ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 一．考试范围与要求层次：‎ 二．命题方向 ‎1．三角函数图像的性质是高考考察的重点，主要出在单选题和解答题，尤其是解答题，是历年考试必考点. ‎ ‎2．热点是结合三角函数图像的性质与解三角形相关的题型．‎ ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一：三角函数的定义域和值域（或最值）‎ 例1.1.1函数f（x）=cos2x+2sinx（x∈[0，]）的值域是____．‎ 例1.1.2求定义域 例1.1.3求定义域 题模二：三角函数的周期性与奇偶性 例1.2.1函数y=sin(+x)是（　　）‎ A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 例1.2.2若函数是偶函数，则实数a的值为__________．‎ 例1.2.3将函数f（x）=sin（x-‎ ‎）的图象沿x轴向右平移a（a＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 题模三：三角函数的单调性 例1.3.1函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（　　）‎ A．函数f（x）在区间[0，]上单调递增 B．函数f（x）在区间[0，]上单调递减 C．函数f（x）在区间[0，]上的最小值为﹣2‎ D．函数f（x）在区间[0，]上的最小值为﹣1‎ 例1.3.2同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 例1.3.3若函数f（x）=sin（ωx+φ），其中，两相邻对称轴的距离为， 为最大值，则函数f（x）在区间[0，π]上的单调增区间为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．和 D．和 ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1求定义域 随练1.2求函数的定义域．‎ 随练1.3设，的定义域为__________．‎ 随练1.4函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．0‎ D．-‎ 随练1.5下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（　　）‎ A．y=sin2x+cos2x B．y=sin2xcos2x C．y=cos（4x+）‎ D．y=sin22x-cos22x 随练1.6设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（　　）‎ A．f（0）=1‎ B．f（0）=0‎ C．f′（0）=1‎ D．f′（0）=0‎ 随练1.7已知ω∈N+，函数f（x）=sin（ωx+）在（，）上单调递减，则ω=　　．‎ 随练1.8已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．‎ 随练1.9已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数g（x）=f（x-）-f（x+）的单调递增区间．‎ 三角函数的图象变换 ‎·知识精讲·‎ ‎·‎ 一．图像的变换 ‎1．由的图象变换出的图象的方法：图像伸缩为原来的．‎ ‎2．由的图象变换出的图象的方法：图像向左平移个单位．‎ 二．根据函数图像求解析式 如何确定中的，和 ‎1．根据最高点和最低点求；‎ ‎2．根据周期，通过求；‎ ‎3．带入图像中的一个点求.‎ ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 一．考试范围与要求层次：‎ 二．命题方向 三角函数图像的平移和转换多以单选题的形式出现，这部分题相对来说比较容易，需要学生熟练掌握相关的概念．根据三角函数图像求解析式这部分内容会出现单选填空题或者是解析题．主要考察学生对三家函数图像的掌握情况，培养学生解决实际问题的能力．‎ ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一：三角函数的图象变换 例2.1.1函数y=sin(2x-)在区间[-，π]的简图是（　　）‎ A．A选项 B．B选项 C．C选项 D．D选项 例2.1.2设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：‎ 经观察，y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，下面的函数中最能近似地表示表中数据对应关系的函数是（　　）‎ A．y=12+3sint，t∈[0，24]‎ B．y=12+3sin(t+π)，t∈[0，24]‎ C．y=12+3sint，t∈[0，24]‎ D．y=12+3sin(t+)，t∈[0，24]‎ 例2.1.3设函数f（x）=sin（2x+ϕ）（-π＜ϕ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=．‎ ‎（Ⅰ）求ϕ；‎ ‎（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；‎ ‎（Ⅲ）证明直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．‎ 例2.1.4将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=____．‎ 例2.1.5将函数y=sin(x+)(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（　　）‎ A．y=sin(2x+)(x∈R)‎ B．y=sin(+)(x∈R)‎ C．y=sin(-)(x∈R)‎ D．y=sin(+)(x∈R)‎ 题模二：根据图象求解析式 例2.2.1如图，已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）图象上一个最高点坐标为（2，2），这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点（5，0）．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）是否存在正整数m，使得将函数f（x）的图象向右平移m个单位后得到一个偶函数的图象？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．‎ 例2.2.2函数y=sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．π 例2.2.3函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为_____．‎ 例2.2.4已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，-2）．‎ ‎（1）求f（x）的解析式及x0的值；‎ ‎（2）若锐角θ满足cosθ=，求f（4θ）的值．‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练2.1设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=．‎ ‎（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．‎ ‎（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；‎ ‎（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．‎ 随练2.2已知函数y=sin(x+)(x∈[0，])的图象与直线y=m有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），那么x1+x2=____．‎ 随练2.3函数f（x）=cosx的图象先向下移一个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不动）得到新函数g（x），则g（x）=（　　）‎ A．g（x）=cos2x-1‎ B．g（x）=2cosx-1‎ C．g（x）=cos2x-2‎ D．g（x）=2cosx-2‎ 随练2.4用“五点法”作出函数的图像，并指出它的振幅、周期、频率、‎ 初相、相位．‎ 随练2.5如图所示，‎ 是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0）的简图，则振幅、周期、初相分别是（　　）‎ A．2，，-‎ B．2，，-‎ C．4，，-‎ D．2，，-‎ 随练2.6如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤）的图象与y轴交于点（0，1）．‎ ‎（Ⅰ）求φ的值；‎ ‎（Ⅱ）设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求与的夹角．‎ 随练2.7将函数y=sinωx（ω＞0）的图象按向量=(-，0)平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（　　）‎ A．y=sin(x+)‎ B．y=sin(x-)‎ C．y=sin(2x+)‎ D．y=sin(2x-)‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1函数的定义域是__________．‎ 作业2函数的定义域是___________．‎ 作业3函数的定义域是_____________．‎ 作业4若函数f（x）=Asin2ωx（A＞0，ω＞0）在x=1处取得最大值，则f（x+1）的奇偶性为（　　）‎ A．偶函数 B．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 作业5若函数f(x)=sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ=（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 作业6若f(x)=asin(x+)+3sin(x-)是偶函数，则a=____．‎ 作业7已知ω＞0，函数f(x)=sin(ωx+)在(，π)上单调递减．则ω的取值范围是（　　）‎ A．[，]‎ B．[，]‎ C．(0，]‎ D．（0，2]‎ 作业8已知函数f(x)=3sin(2x-)，给出下列结论：‎ ‎①函数f（x）的最小正周期为π ‎②函数f（x）的一个对称中心为(-，0)‎ ‎③函数f（x）的一条对称轴为x=‎ ‎④函数f（x）的图象向右平移个单位后所得函数为偶函数且在区间(-，0)上是减函数 其中，所有正确结论的序号是____．‎ 作业9已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，-2）．‎ ‎（Ⅰ）求m，n的值；‎ ‎（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．‎ 作业10若直线x=（-1≤k≤1）与函数y=tan（2x+）的图象不相交，则k=（　　）‎ A．‎ B．-‎ C．或-‎ D．-或 作业11把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）‎ 作业12利用正切函数的图像作出的图像．‎ 作业13设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求ω的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到，求y=g（x）的单调增区间．‎ 作业14已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0））在区间[0，2π]的图象如图：那么ω=（　　）‎ 作业15函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）‎ 作业16函数f（x）=6cos2+sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．‎ ‎（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；‎ ‎（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（-，），求f（x0+1）的值．‎ 作业17函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式．‎ ‎（2）为了得到g（x）=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象怎样进行变换．‎ 答案解析 三角函数的图象和性质 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一：三角函数的定义域和值域（或最值）‎ 例1.1.1‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系，二次函数的性质的应用，属于中档题．‎ 利用同角三角函数的基本关系化简函数f（x）的解析式为 2-（sinx-1）2，再由-≤sinx≤1，结合二次函数的性质求出函数f（x）的值域．‎ ‎∵函数f（x）=cos2x+2sinx=1-sin2x+2sinx=2-（sinx-1）2，0≤x≤，-≤sinx≤1，‎ ‎∴当sinx=1时，函数f（x）有最大值等于2．‎ 当sinx=-时，函数f（x）有最小值等于2-(--1)2=-．‎ 故函数f（x）的值域为[-，2]，‎ 故答案为[-，2]．‎ 例1.1.2‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可知 例1.1.3‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可知定义域为 题模二：三角函数的周期性与奇偶性 例1.2.1‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查诱导公式的应用以及余弦函数的奇偶性，考查基础知识．‎ 先根据诱导公式对函数化简，即可得到结论．‎ ‎∵y=sin（+x）=-cosx．‎ ‎∴其为偶函数．‎ 故选：B．‎ 例1.2.2‎ ‎【答案】﹣‎ ‎【解析】∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=f（x），‎ ‎∴f（﹣）=f（），‎ 即﹣=a，‎ ‎∴a=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ 例1.2.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 将函数f（x）=sin（x-）的图象沿x轴向右平移a（a＞0）个单位，所得图象对应的函数解析式为 y=sin[（x-a）-]=sin（x--），‎ 再根据所得图象关于y轴对称，可得--=kπ±，k∈z，即a=-2kπ-，或a=-2kπ+，故a的最小正值为，‎ 故选：B．‎ 题模三：三角函数的单调性 例1.3.1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，‎ 可得 A=2，，求得ω=2．‎ 再根据图象经过点（，0），可得2•+φ=kπ，k∈Z，求得φ=﹣，‎ 故f（x）=2sin（2x﹣）．‎ 在区间[0，]上，2x﹣∈[﹣，]，f（x）∈[﹣1，2]，‎ 故f（x）在区间[0，]上没有单调性，当f（x）有最小值为﹣1，故排除A、B、C，‎ 故选：D．‎ 例1.3.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于y=f（x）=sin（2x﹣），其周期T==π，‎ f（）=sin=1为最大值，故其图象关于x=对称，‎ 由﹣≤2x﹣≤得，﹣≤x≤，‎ ‎∴y=f（x）=sin（2x﹣）在上是增函数，‎ 即y=f（x）=sin（2x﹣）具有性质①②③，‎ 故选：A．‎ 例1.3.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵函数f（x）=sin（ωx+φ）相邻对称轴的距离为，‎ ‎∴=，解得T=π，∴ω=2；‎ 又为最大值，‎ 令2×+φ=+2kπ，k∈Z，‎ 解得φ=+kπ，k∈Z，‎ ‎∴取φ=，‎ ‎∴函数f（x）=sin（2x+）；‎ 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，‎ 解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，‎ 当k=0时，x∈[﹣，]，当k=1时，x∈[，]，‎ ‎∴f（x）在区间[0，π]上的单调增区间为[0，]和[，π]．‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可知 随练1.2‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为使函数有意义，需满足 即由正弦函数的图像(见图(1))或单位圆(见图(2))可得，如图所示．‎ 所以函数的定义域为 随练1.3‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】(1)由，根据正弦函数图象知：‎ 定义域为．‎ 随练1.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题。‎ 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案。‎ 令y=f（x）=sin（2x+φ），‎ 则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），‎ ‎∵f（x+）为偶函数，‎ ‎∴+φ=kπ+，‎ ‎∴φ=kπ+，k∈Z，‎ ‎∴当k=0时，φ=。‎ 故φ的一个可能的值为。‎ 故选B 随练1.5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）的周期为=π，且为非奇非偶函数；‎ 函数y=sin2xcos2x=sin4x的周期为=，且为奇函数；‎ 函数y=cos（4x+）=sin4x的周期为=，且为奇函数；‎ 函数y=sin22x-cos22x=-cos4x的周期为=，且为偶函数；‎ 故选：D 随练1.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数 ‎∴由函数f（x）=sin（ωx+φ）图象特征可知x=0必是f（x）的极值点，‎ ‎∴f′（0）=0‎ 故选D 随练1.7‎ ‎【答案】2或3‎ ‎【解析】数f（x）=sin（ωx+）的单调递减区间为：‎ ‎（k∈Z），‎ 解得：，‎ 所以：，‎ 解得：6k+≥，‎ 当k=0时，ω=2或3，‎ 故答案为：2或3．‎ 随练1.8‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx ‎=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，‎ 所以 T==π，∴ω=1．‎ ‎（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，‎ 因为0≤x≤，所以≤2x+≤，‎ 当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，‎ 当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，‎ 所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．‎ 随练1.9‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎（I）由图象可知，周期T=2（-）=π，∴ω==2‎ ‎∵点（，0）在函数图象上，∴Asin（2×+φ）=0‎ ‎∴sin（+φ）=0，∴+φ=π+2kπ，即φ=2kπ+，k∈z ‎∵0＜φ＜‎ ‎∴φ=‎ ‎∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin=1，A=2‎ ‎∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）‎ ‎（II）g（x）=2sin[2（x-）+]-2sin[2（x+）+]=2sin2x-2sin（2x+）‎ ‎=2sin2x-2（sin2x+cos2x）=sin2x-cos2x ‎=2sin（2x-）‎ 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈z 得kπ-≤x≤kπ+‎ ‎∴函数g（x）=f（x-）-f（x+）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z 三角函数的图象变换 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一：三角函数的图象变换 例2.1.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查三角函数的图象．对于正弦、余弦函数的图象和性质要熟练掌握，这是高考的必考点．‎ 将x=π代入到函数解析式中求出函数值，可排除B，D，然后将x=代入到函数解析式中求出函数值，可排除C，进而可得答案．‎ f(π)=sin(2π-)=-，排除B、D，‎ f()=sin(2×-)=0，排除C．‎ 故选A．‎ 例2.1.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】排除法：‎ ‎∵y=f（t）可以近似看成y=K+Asin（ωx+φ）的图象，‎ ‎∴由T=12可排除C、D，‎ 将（3，15）代入 排除B．‎ 故选A 例2.1.3‎ ‎【答案】（1）ϕ=-（2）[kπ+，kπ+]，k∈Z（3）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，‎ ‎∴sin(2×+ϕ)=±1，∴+π=kπ+，k∈Z．‎ ‎∵-π＜ϕ＜0，ϕ=-．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知ϕ=-，因此y=sin(2x-)．‎ 由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z．‎ 所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．‎ ‎（Ⅲ）证明：∵|y'|=|(sin(2x-))′|=|2cos(2x-)|≤2，‎ 所以曲线y=f（x）的切线斜率取值范围为[-2，2]，‎ 而直线5x-2y+c=0的斜率为＞2，‎ 所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-)的图象不相切．‎ 例2.1.4‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．‎ 再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x-）+φ）]‎ ‎=sin（2ωx+φ-ω）=sinx的图象，‎ ‎∴2ω=1，且 φ-ω=2kπ，k∈z，‎ ‎∴ω=，φ=，∴f（x）=sin（x+），‎ ‎∴f（）=sin（+）=sin=．‎ 故答案为：．‎ 例2.1.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 将函数y=sin(x+)(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y=sin(x++)=sin(x+)，‎ 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数y=sin(+)(x∈R)．‎ 故选B．‎ 题模二：根据图象求解析式 例2.2.1‎ ‎【答案】（1）f（x）=2sin（x+）；（2）4．‎ ‎【解析】（1）由图象知A=2，=3，‎ ‎∴T=12，∴ω==，‎ ‎∴f（x）=2sin（x+φ），‎ ‎∵图象过（2，2），∴2=2sin（×2+φ），‎ ‎∴sin（×2+φ）=1，‎ 令+φ=，∴φ=，‎ ‎∴f（x）=2sin（x+）．‎ ‎（2）假设存在m，则有 f（x-m）=2sin[（x-m）+]=2sin[x+（1-m）]‎ ‎∵f（x-m）为偶函数，‎ ‎∴（1-m）=+kπ，k∈Z ‎∴m=-6k-2，∴k=-1时m=4．‎ ‎∴存在m，m的最小值为4．‎ 例2.2.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意结合三角函数的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB为直角，‎ 取AB的中点为D，由三角函数的最大值和最小值为1和-1，可得CD=1-（-1）=2‎ 故AB的长度为2CD=4，又AB为函数的一个周期的长度，‎ 故可得2=，解之可得ω=‎ 故选A 例2.2.3‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数f（x）=2sin（ωx+φ），图象中AB两点距离为5，‎ 设A（x1，2），B（x2，﹣2），‎ ‎∴（x2﹣x1）2+42=52，‎ 解得：x2﹣x1=3，‎ ‎∴函数的周期T=2×3=，解得：ω=．‎ 故答案为：．‎ 例2.2.4‎ ‎【答案】（1）x0=‎ ‎（2）-‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意可得：A=2，=2π，‎ 即=4π∴ω=，f(x)=2sin(x+φ)，f（0）=2sinφ=1，‎ 由|φ|＜，∴φ=． ‎ f(x0)=2sin(x0+)=2，‎ 所以x0+=2kπ+，x0=4kπ+(k∈Z)，‎ 又∵x0是最小的正数，∴x0=； ‎ ‎（2）f(4θ)=2sin(2θ+)=sin2θ+cos2θ，‎ ‎∵θ∈(0，)，cosθ=，∴sinθ=，‎ ‎∴cos2θ=2cos2θ-1=-，sin2θ=2sinθcosθ=，‎ ‎∴f(4θ)=•-=-． ‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练2.1‎ ‎【答案】（1）φ=-，变换见解析（2）[kπ+，kπ+]，k∈Z（3）见解析变换见解析 ‎【解析】（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，‎ ‎∴sin(2×+φ)=±1，‎ ‎∴+φ=kπ+，k∈Z．‎ ‎∵-π＜φ＜0，φ=-．‎ 由y=sin2x向右平移得到．（4分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知φ=-，因此y=sin(2x-)．‎ 由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z．‎ 所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（3分）‎ ‎（Ⅲ）由y=sin(2x-)知 故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是 随练2.2‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数f（x）=sin（x+）（x∈[0，]）的图象，‎ 可看作函数y=sinx的图象向左平移得到，相应的对称轴也向左平移，‎ ‎∴x1+x2=2（-）=，‎ 故答案为：‎ 随练2.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 把函数f（x）=cosx的图象先向下移一个单位，可得函数y=cosx-1的图象，‎ 再把所得图象纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不动）得到新函数g（x）=2[cosx-1]=2cosx-2的图象，‎ 故选：D．‎ 随练2.4‎ ‎【答案】振幅为3，周期是，频率为，初相为，相位是 ‎【解析】分别令画出图像，可知振幅为3，周期是，频率为 初相为，相位是 随练2.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由图知周期T=2（-）=，A=2，‎ 又因为T=，知ω=；‎ 再将点（，-2）代入y=Asin（ωx+φ），计算求出φ=-π，‎ 故选B．‎ 随练2.6‎ ‎【答案】（Ⅰ）φ=‎ ‎（Ⅱ）＜，＞=arccos ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1）‎ 所以2sinφ=1，即sinφ=‎ 因为0≤φ≤所以φ=．‎ ‎（Ⅱ）由函数y=2sin(πx+)及其图象，‎ 得M(-，0)，P(，2)，N(，0)，‎ 所以=(-，-2)，=(，-2)‎ 从而cos＜，＞==‎ 故＜，＞=arccos．‎ 随练2.7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 将函数y=sinωx（ω＞0）的图象按向量=(-，0)平移，‎ 平移后的图象所对应的解析式为y=sinω(x+)，‎ 由图象知，ω(+)=，解得ω=2，‎ 所以平移后的图象所对应的解析式为y=sin2（x+），即y=sin（2x+）．‎ 故选C．‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，，‎ 所以定义域为．‎ 作业2‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知，得，解得，，‎ 所以原函数的定义域为．‎ 作业3‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知，得，‎ 解得，或，‎ 所以原函数定义域为．‎ 作业4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为函数f（x）=Asin2ωx（A＞0，ω＞0）在x=1处取得最大值，‎ 所以2ω=+2kπ，‎ 所以ω=+kπ，‎ 所以f（x+1）=Asin（+2kπ）（x+1）=Acos（+2kπ）x，‎ 所以f（-x+1）=Asin（+2kπ）（-x+1）=Acos（+2kπ）（-x）=Acos（+2kπ）x，‎ 所以f（x+1）是偶函数．‎ 故选A．‎ 作业5‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数f(x)=sin(φ∈[0，2π])是偶函数，‎ 所以=kπ +，k∈z，所以k=0时，φ=∈[0，2π]．‎ 故选C．‎ 作业6‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ f(x)=asin(x+)+3sin(x-)=a(sinx+cosx)+3(sinx-cosx)是偶函数，‎ 取a=-3，可得f(x)=-3cosx为偶函数．‎ 故答案为：-3．‎ 作业7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 法一：令ω=2⇒(ωx+)∈[，]不合题意，排除D ω=1⇒(ωx+)∈[，]不合题意，排除B、C 法二：ω(π-)≤π⇔ω≤2，(ωx+)∈[ω+，πω+]⊂[，]‎ 得：ω+≥，πω+≤⇔≤ω≤．‎ 故选A．‎ 作业8‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎①函数的最小正周期是π，∴①正确；‎ 对②当x=-时，2x-=-，∴(-，0)不是一个对称中心，∴②不正确；‎ 对③，当x=时，2x-=，∴x=是一条对称轴，∴③正确；‎ 对④函数f（x）的图象向右平移个单位后所得函数是f（x）=3sin（2x-）=-3cos2x，‎ ‎∵y=cos2x在（-，0）上是增函数，∴f（x）=-3cos2x是减函数，故④正确．‎ 故答案是①③④‎ 作业9‎ ‎【答案】（1）m=，n=1（2）[kπ-，kπ]，k∈Z．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，‎ 再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，-2），可得 ．‎ 解得 m=，n=1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．‎ 将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，‎ 得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．‎ y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，‎ 故函数g（x）的一个最高点在y轴上，‎ ‎∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，‎ 故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．‎ 令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ-≤x≤kπ，‎ 故y=g（x）的单调递增区间是[kπ-，kπ]，k∈Z．‎ 作业10‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查正切函数的图象和性质，要求熟练掌握正切函数的定义域及其应用．‎ 求出正切函数的定义域，根据直线x=（-1≤k≤1）与函数y=tan（2x+）的图象不相交，说明x=时正切函数无意义．‎ ‎ 要使函数y=tan（2x+）有意义，‎ 则2x+≠+mπ，m∈Z，‎ ‎∵直线x=（-1≤k≤1）与函数y=tan（2x+）的图象不相交，‎ ‎∴x=时正切函数无意义，‎ 即2×+=+mπ，‎ ‎∴4k=4m+1，‎ 当m=0时，k=满足条件．‎ 当m=-1时，k=-满足条件．‎ 当m=1时，k=不满足条件．‎ 故满足条件的k=或-．‎ 故选：C．‎ 作业11‎ ‎【答案】A ‎【解析】将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，‎ 再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，‎ 得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），‎ ‎∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，‎ ‎∴曲线y=cos（x+1）经过点（-1，0）和（-1，0），且在区间（-1，-1）上函数值小于0‎ 由此可得，A选项符合题意．‎ 故选A 作业12‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】时，，‎ 当时，，‎ 如图所示．‎ 作业13‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）[kπ+，kπ+](k∈Z)‎ ‎【解析】本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法．做这种题首先要将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式再做题．‎ ‎（1）先将函数化简为f（x）=sin（2ωx+），再由=，可得答案．‎ ‎（2）根据g（x）=f（x-）先求出解析式，再求单调区间．‎ ‎ （Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx ‎=sin2ωx+cos2ωx+2=sin(2ωx+)+2‎ 依题意得=，故ω的值为．‎ ‎（Ⅱ）依题意得：g(x)=sin[3(x-)+]+2=sin(3x-)+2‎ 由2kπ-≤3x-≤2kπ+(k∈Z)‎ 解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)‎ 故y=g（x）的单调增区间为：[kπ+，kπ+](k∈Z)．‎ 作业14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由图象知函数的周期T=π，所以ω==2．‎ 故选B．‎ 作业15‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，‎ ‎∴函数的周期T满足=﹣=，‎ 由此可得T==π，解得ω=2，‎ 得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）‎ 又∵当x=时取得最大值2，‎ ‎∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）‎ ‎∵，∴取k=0，得φ=﹣‎ 故选：A．‎ 作业16‎ ‎【答案】（Ⅰ）[-2，2] （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx ‎=2sin（ωx+），‎ 又∵正三角形ABC的高为2，从而BC=4，‎ ‎∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，‎ ‎∴函数f（x）的值域为[-2，2]…6分 ‎（Ⅱ）∵f（x0）=，由（Ⅰ）有f（x0）=2sin（x0+）=，‎ 即sin（x0+）=，由x0∈(-，)，知x0+∈（-，），‎ ‎∴cos（x0+）==．‎ ‎∴f（x0+1）=2sin（x0++）=2sin[（x0+）+]=2[sin（x0+）cos+cos（x0+）sin]‎ ‎=2（×+×）‎ ‎=…12分 作业17‎ ‎【答案】（1）f(x)=sin(2x+) （2）向左平移个单位 ‎【解析】‎ ‎（1）由函数的图象可得 A=1，由 =•=-，可得ω=2．‎ 再根据五点法作图可得 2×+φ=π 求得 φ=，‎ 故函数的解析式为 f(x)=sin(2x+)．‎ ‎（2）∵f（x）=sin（2x+）=cos（-2x）=cos2（x-），‎ 故将f（x）的图象向左平移个单位，即可得到g（x）=cos2x的图象．‎