- 485.79 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
§2.5 指数与指数函数
最新考纲
考情考向分析
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图象.
4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
直接考查指数函数的图象与性质;以指数函数为载体,考查函数与方程、不等式等交汇问题,题型一般为选择、填空题,中档难度.
1.分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,且n>1).于是,在条件a>0,m,n∈N*,且n>1下,根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定= (a>0,m,n∈N*,且n>1).0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的运算性质:aras=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
2.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
00时,y>1;当x<0时,00时,01
(6)在(-∞,+∞)上是增函数
(7)在(-∞,+∞)上是减函数
知识拓展
1.指数函数图象的画法
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大.
3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)=()n=a(n∈N*).( × )
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘.( × )
(3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( √ )
(4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.( × )
(5)函数y=2-x在R上为单调减函数.( √ )
题组二 教材改编
2.[P59A组T4]化简(x<0,y<0)=________.
答案 -2x2y
3.[P56例6]若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点P,则f(-1)=________.
答案
解析 由题意知=a2,所以a=,
所以f(x)=x,所以f(-1)=-1=.
4.[P59A组T7]已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是________.
答案 c>0,
即a>b>1,
又c=<0=1,
∴c0)的值是________.
答案
解析 ===.
2.计算:+-10(-2)-1+π0=________.
答案 -
解析 原式=-2+-+1,
=+10-10-20+1=-.
3.(2017·兰州模拟)化简:=________.( a>0)
答案 a2
解析 原式=
==a2.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式,分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:
①必须同底数幂相乘,指数才能相加;
②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
题型二 指数函数的图象及应用
典例 (1)函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
答案 A
解析 f(x)=1-e|x|是偶函数,图象关于y轴对称,又e|x|≥1,∴f(x)≤0.符合条件的图象只有A.
(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.
答案 [-1,1]
解析 曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可知,如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].
思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
跟踪训练 (1)已知实数a,b满足等式2 018a=2 019b,下列五个关系式:
①0-3.又a<0,∴-30),则y=t2-2t的单调增区间为[1,+∞),令2x≥1,得x≥0,又y=2x在R上单调递增,
所以函数f(x)=4x-2x+1的单调增区间是[0,+∞).
命题点3 指数函数性质的综合应用
典例 已知函数f(x)=.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值;
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
解 (1)当a=-1时,f(x)=,
令u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7.
则u在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=u在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是
(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,y=h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
(3)由f(x)的值域是(0,+∞)知,ax2-4x+3的值域为R,则必有a=0.
思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式,最重要的是“同底”原则.
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域,单调区间,最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
跟踪训练 (1)已知函数f(x)=的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3] B.[-3,0)
C.[-3,-1] D.{-3}
答案 B
解析 当0≤x≤4时,f(x)∈[-8,1],
当a≤x<0时,f(x)∈,
∴[-8,1],
即-8≤-<-1,即-3≤a<0,
∴实数a的取值范围是[-3,0).
(2)(2017·江淮十校第三次联考)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )
A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx)
C.f(bx)>f(cx) D.与x有关,不确定
答案 A
解析 ∵f(x+1)=f(1-x),∴f(x)关于x=1对称,
易知b=2,c=3,
当x=0时,b0=c0=1,∴f(bx)=f(cx),
当x>0时,3x>2x>1,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f(bx)0,a≠1)在区间上有最大值3,最小值, 试求a,b的值.
错解展示:
现场纠错
解 令t=x2+2x=(x+1)2-1,
∵x∈,∴t∈[-1,0].
①若a>1,函数f(t)=at在[-1,0]上为增函数,
∴at∈,b+a∈,
依题意得解得
②若01,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.01,∴a0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
答案 B
解析 由f(1)=得a2=,
所以a=或a=-(舍去),即f(x)=|2x-4|.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.故选B.
7.已知函数f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是__________.
答案 (0,1)
解析 因为f(x)=a-x=x,且f(-2)>f(-3),
所以函数f(x)在定义域上单调递增,
所以>1,解得0x+4的解集为________.
答案 (-1,4)
解析 原不等式等价为>2-x-4,
又函数y=2x为增函数,∴-x2+2x>-x-4,
即x2-3x-4<0,∴-10且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是________.
答案
解析 (数形结合法)
当01时,解得01矛盾.
综上,a的取值范围是.
10.当x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是____________.
答案 ∪(1,)
解析 当x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),
若a>1,y=ax是增函数,则有a2<2,可得-或a<-,故有0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的表达式;
(2)若不等式x+x-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
解 (1)因为f(x)的图象过A(1,6),B(3,24),
所以
所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3.
所以f(x)=3·2x.
(2)由(1)知a=2,b=3,则x∈(-∞,1]时,x+x-m≥0恒成立,
即m≤x+x在(-∞,1]上恒成立.
又因为y=x与y=x均为减函数,所以y=x+x也是减函数,所以当x=1时,y=x+x有最小值.所以m≤.即m的取值范围是.
13.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时,f(x)=-+,则此函数的值域为________.
答案
解析 设t=,当x≥0时,2x≥1,∴00,∴x=1.
(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1),
∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1)恒成立,
∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],
故实数m的取值范围是[-5,+∞).