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- 2021-06-16 发布
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8.2
立体图形的直观图
课标阐释
思维脉络
1
.
掌握斜二测画法的步骤
.
(
数学抽象
)
2
.
能用斜二测法画出简单空间图形
(
长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合
)
的直观图
.
(
逻辑推理、直观想象
)
激趣诱思
知识点拨
远处的东西画小
,
方形四角的饭桌画成梯形的
,
圆盘画成椭圆形的
,
自古至今如此
.
有在人物画的角落画这种饭桌的
,
也有在一幅画中将左看的形状与右看的形状掺杂着一起画的
,
这种画与其称之为原始的
,
不如说是
“
朴素的透视画
”
.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、水平放置的平面图形的直观图画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)
已知在平面直角坐标系中
,
一个平面图形上的一条线段
AB
的实际长度为
4 cm,
若
AB
∥
x
轴
,
则画出直观图后对应
线段
A'B
'=
cm
,
若
AB
∥
y
轴
,
则画出直观图后对应线段
A'B
'=
cm
.
答案
:
4
2
(2)
判断下列说法是否正确
,
正确的在后面的括号内画“
√
”
,
错误的画“
×”
.
①
相等的角
,
在直观图中仍相等
.
(
)
②
长度相等的线段
,
在直观图中长度仍相等
.
(
)
③
若两条线段平行
,
则在直观图中对应的线段仍平行
.
(
)
④
若两条线段垂直
,
则在直观图中对应的线段也互相垂直
.
(
)
答案
:
①×
②
×
③
√
④
×
激趣诱思
知识点拨
知识点二、空间几何体的直观图画法
画几何体的直观图时
,
与画平面图形的直观图相比
,
只是多画一个与
x
轴
,
y
轴都垂直的
z
轴
,
并且使平行于
z
轴的线段的平行性和长度都不变
.
名师点析
画空间几何体的直观图的四个步骤
(1)
画轴
.
通常以高所在直线为
z
轴建系
.
(2)
画底面
.
根据平面图形的直观图画法确定底面
.
(3)
画侧棱
.
利用与
z
轴平行或在
z
轴上的线段确定有关侧棱
.
(4)
连线成图
.
画图完成后
,
擦除辅助线
,
看得见的地方用实线
,
被遮挡的部分用虚线
(
或不画
),
就得到了几何体的直观图
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
用斜二测画法画长、宽、高分别为
2 cm
、
cm
、
1 cm
的长方体
ABCD-A'B'C'D'
的直观图
.
画法
(1)
画轴
.
如图
,
画
x
轴、
y
轴、
z
轴
,
三轴相交于点
O
,
使
∠
xOy=
45°,
∠
xOz=
90
°
.
激趣诱思
知识点拨
(2)
画底面
.
以点
O
为中点
,
在
x
轴上取线段
MN
,
使
MN=
2
cm;
在
y
轴上取线段
PQ
,
使
PQ
=
cm
.
分别过点
M
和
N
作
y
轴的平行线
,
过点
P
和
Q
作
x
轴的平行线
,
设它们的交点分别为
A
,
B
,
C
,
D
,
四边形
ABCD
就是长方体的底面
ABCD.
(3)
画侧棱
.
过
A
,
B
,
C
,
D
各点分别作
z
轴的平行线
,
并在这些平行线上分别截取
1
cm
长的线段
AA'
,
BB'
,
CC'
,
DD'.
(4)
成图
.
顺次连接
A'
,
B'
,
C'
,
D'
,
并加以整理
(
去掉辅助线
,
将被遮挡的部分改为虚线
),
就得到长方体的直观图
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
画水平放置的平面图形的直观图
例
1
如图
,
画出水平放置的等腰梯形的直观图
.
分析
建系
→
定点
→
连线成图
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
画法
(1)
如图
①
,
取
AB
所在直线为
x
轴
,
AB
中点
O
为原点
,
建立平面直角坐标系
,
画对应的坐标系
x'O'y'
,
使
∠
x'O'y'=
45°
.
(2)
在图
②
中
,
以点
O'
为中点在
x'
轴上取
A'B'=AB
,
在
y'
轴上
取
O'E'= OE
,
以
E'
为中点画
C'D'
∥
x'
轴
,
并使
C'D'=CD.
(3)
连接
B'C'
,
D'A'
,
并擦去辅助线
x'
轴和
y'
轴
,
所得的四边形
A'B'C'D'
就是水平放置的等腰梯形
ABCD
的直观图
(
如图
③
)
.
①
②
③
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
画水平放置的平面图形的直观图的技巧
(1)
在画水平放置的平面图形的直观图时
,
选取适当的坐标系是关键
,
一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上
,
以便于画点
.
(2)
画平面图形的直观图
,
首先画与坐标轴平行的线段
(
平行性不变
),
与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点
,
然后连接成线段
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
把本例图形换成右图
,
试画出该图的直观图
.
画法
(1)
在已知的直角梯形
ABCD
中
,
以底边
AB
所在直线为
x
轴
,
垂直于
AB
的腰
AD
所在直线为
y
轴建立平面直角坐标系
.
如图
①
.
(2)
画相应的
x'
轴和
y'
轴
,
使
∠
x'O'y'=
45°,
在
x'
轴上取
O'B'=AB
,
在
y'
轴上取
O'D
'= AD
,
过
D'
作
x'
轴的平行线
l
,
在
l
上沿
x'
轴正方向取点
C'
使得
D'C'=DC.
如图
②
.
(3)
连接
B'C'
,
所得四边形
O'B'C'D'
就是直角梯形
ABCD
的直观图
.
如图
③
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
画空间几何体的直观图
例
2
用斜二测画法画出六棱锥
P-ABCDEF
的直观图
,
其中底面
ABCDEF
为正六边形
,
点
P
在底面的投影是正六边形的中心
O
(
尺寸自定
)
.
分析
画轴
→
画底面
→
画顶点
→
成图
画法
(1)
画出六棱锥
P-ABCDEF
的底面
.
如图
①
所示
,
在正六边形
ABCDEF
中
,
取
AD
所在的直线为
x
轴
,
对称轴
MN
为
y
轴
,
两轴相交于点
O.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)
画相应的
x'
轴、
y'
轴和
z'
轴
,
三轴相交于点
O'
,
使
∠
x'O'y'=
45°,
∠
x'O'z'=
90°;
在图
②
中
,
以
O'
为中点
,
在
x'
轴上取
A'D'=AD
,
在
y'
轴上取
M'N
'= MN
;
以点
N'
为中点画
B'C'
平行于
x'
轴
,
且等于
BC
;
再以点
M'
为中点画
E'F'
平行于
x'
轴
,
且等于
EF
;
连接
A'B'
,
C'D'
,
D'E'
,
F'A'
,
得正六边形
ABCDEF
水平放置的直观图
A'B'C'D'E'F'.
(3)
画正六棱锥
P-ABCDEF
的顶点
.
在
z'
轴上取点
P'
,
使
P'O'=PO.
(4)
成图
.
连接
P'A'
,
P'B'
,
P'C'
,
P'D'
,
P'E'
,
P'F'
,
并进行整理
,
便得到六棱锥
P-ABCDEF
的直观图
P'-A'B'C'D'E'F'
,
如图
③
所示
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用斜二测画法画几何体的直观图应遵循的基本原则
(1)
画几何体的直观图在要求不太严格的情况下
,
长度和角度可适当选取
.
为了增强立体感
,
被挡住的部分通常用虚线表示
.
(2)
画法规则可简记为
:
两轴夹角为
45°,
竖轴垂直仍不变
,
平行不变
,
长度横竖不变
,
纵折半
.
(3)
画空间几何体的直观图
,
要注意选取适当的坐标原点
,
建立坐标系画出坐标轴
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1
用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图
,
其中上、下底面边长分别为
2,3,
高为
2
.
画法
(1)
画轴
.
画
x
轴、
y
轴、
z
轴
,
三轴相交于点
O
,
使
∠
xOy=
45°,
∠
xOz=
90°
.
(2)
画下底面
.
以
O
为中心
,
在
x
轴上取线段
MN
,
使
MN=
3,
在
y
轴上取线段
PQ
,
使
PQ=
1
.
5
.
分别过点
M
和点
N
作
y
轴的平行线
,
过点
P
和点
Q
作
x
轴的平行线
,
设它们的交点分别为
A
,
B
,
C
,
D
,
则四边形
ABCD
即为四棱台的下底面
.
(3)
画上底面
.
在
z
轴上取一点
O'
,
使
OO'=
2,
以
O'
为原点画直线
a
和直线
b
,
使直线
a
∥
x
轴
,
直线
b
∥
y
轴
,
在平面
aO'b
内以
O'
为中心画水平放置的边长为
2
的正方形的直观图
A'B'C'D'.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(4)
连线
.
被遮挡的线画成虚线
(
如图
①
),
擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图
(
如图
②
)
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直观图的还原与计算问题
例
3
如图
,
梯形
A
1
B
1
C
1
D
1
是一平面图形
ABCD
的直观图
.
若
A
1
D
1
∥
O'y'
,
A
1
B
1
∥
C
1
D
1
,
A
1
B
1
= C
1
D
1
=
2,
A
1
D
1
=O'D
1
=
1
.
试画出原四边形的形状
,
并求原图形的面积
.
分析
解答本题可先由斜二测画法的逆步骤来作图
,
先确定点
,
再连线画出原图
,
然后进行计算
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
画法
如图
,
建立平面直角坐标系
xOy
,
在
x
轴上截取
OD=O'D
1
=
1,
OC=O'C
1
=
2
.
在过点
D
的
y
轴的平行线上截取
DA=
2
D
1
A
1
=
2
.
在过点
A
的
x
轴的平行线上截取
AB=A
1
B
1
=
2
.
连接
BC
,
即得到了原图形
(
如图
)
.
由作法可知
,
原四边形
ABCD
是直角梯形
,
上、下底长度分别为
AB=
2,
CD=
3,
直角腰长度为
AD=
2
.
故面积
为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
直观图的还原技巧
(1)
由直观图还原为原图形是画直观图的逆过程
:
一是在直观图中建立坐标系
x'O'y'
,
使
∠
x'O'y'=
45°,
对应地建立直角坐标系
xOy
;
二是平行
x'
轴的线段长度不变
,
平行
y'
轴的线段扩大为原来的
2
倍
;
三是对于相邻两边不与
x'
,
y'
轴平行的顶点可通过作
x'
轴、
y'
轴的平行线变换确定其在
xOy
中的位置
.
还原时
,
要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量
,
计算时要结合两个坐标轴确定数据
.
(2)
原图形的面积
S
原
与直观图的面积
S
直观
有如下关系
:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2
如图
,
在直观图中
,
四边形
O'A'B'C'
为菱形且边长为
2 cm,
则在
xOy
坐标中原四边形
OABC
为
(
填形状
),
面积为
cm
2
.
解析
:
由题意
,
结合斜二测画法可知
,
四边形
OABC
为矩形
,
且
OA=
2
cm,
OC=
4
cm,
所以四边形
OABC
的面积
S=
2
×
4
=
8(cm
2
)
.
答案
:
矩形
8
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
水平放置的平面图形的直观图画法
典例
如图所示
,
在平面直角坐标系中
,
已知
O
(0,0),
A
(1,3),
B
(3,1),
C
(4,6),
D
(2,5)
.
试用斜二测画法画出四边形
ABCD
的直观图
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
画法
(1)
先画
x'
轴和
y'
轴
,
使
∠
x'O'y'=
45°,
如图
①
.
(2
)
在原图中作
AE
⊥
x
轴
,
垂足为
E
(1,0
)
.
(3)
在
x'
轴上截取
O'E'=OE
,
作
A'E'
∥
y'
轴
,
截取
E'A'=
1
.
5
.
(4)
同理确定点
B'
,
C'
,
D'
,
其中
B'G'=
0
.
5,
C'H'=
3,
D'F'=
2
.
5
.
(5)
连线成图
(
去掉辅助线
),
如图
②
,
即为四边形
ABCD
的直观图
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛利用斜二测画法画直观图时应注意
(1)
在已知图形中
x
轴
,
y
轴的选取
,
应尽可能多地使图形的点落在坐标轴上
,
有的点不满足时应作辅助线
,
与
x
轴
,
y
轴垂直的线段是最常用的辅助线
.
(2)
垂直于
x
轴
,
y
轴的线段在坐标系
x'O'y'
下的长度变化切勿混淆
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
如图
,
已知等腰三角形
ABC
,
则下图所示的四个图形中
,
可能是
△
ABC
的直观图的是
(
)
A
.
①②
B
.
②③
C
.
②④
D
.
③
④
解析
:
当
∠
x'O'y'=
135°
时
,
其直观图是
③
;
当
∠
x'O'y'=
45°
时
,
其直观图是
④
.
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2
.
利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图
,
得到的直观图是一个边长为
1
的正方形
(
如图
),
则原图形的形状是
(
)
解析
:
因为直观图中正方形的对角线
为
,
所以在平面图形中平行四边形的高为
2 ,
只有
A
项满足条件
,
故
A
正确
.
答案
:
A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3
.
(2020
天津一中检测
)
已知正三角形
ABC
的边长为
a
,
那么
△
ABC
的平面直观图
△
A'B'C'
的面积为
(
)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案
:
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4
.
如
图为一个水平放置的矩形
ABCO
,
在直角坐标系
xOy
中
,
点
B
的坐标为
(4,2),
则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中
,
顶点
B'
到
x'
轴的距离为
.
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