高考数学专题复习：课时达标检测（三十六） 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积 7页

课时达标检测（三十六） 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．下列结论正确的是(　　)‎ A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析：选D　A错误，如图①是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图②，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．‎ ‎2.如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选D　由题意得，此几何体为球与圆柱的组合体，其体积V＝π×23＋π×22×6＝.‎ ‎3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．12＋4 B．18＋8 C．28 D．20＋8 解析：选D　由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．‎ 则该几何体的表面积为S＝2××2×2＋4×2×2＋2×4＝20＋8，故选D.‎ ‎4．《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(　　)‎ A．2 B．4＋2 C．4＋4 D．6＋4 解析：选C　由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为，棱柱的高为2.所以其侧面积S＝2×2＋2×2＝4＋4，故选C.‎ ‎5．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．‎ 解析：设正方体棱长为a，球半径为R，则πR3＝，∴R＝，∴a＝3，∴a＝.‎ 答案： ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πr＝πl，∴l＝2r，则圆锥的表面积S表＝πr2＋π(2r)2＝a，∴r2＝，∴2r＝.‎ ‎2．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D．2π 解析：选C　过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.‎ ‎3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选D　该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23－××2×2×2－××1×1×1＝.故选D.‎ ‎4．已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为(　　)‎ A．8π B．12π C.π D．3π 解析：选D　如图所示，过顶点A作AO⊥底面BCD，垂足为O，则O为正三角形BCD的中心，连接DO并延长交BC于E ‎，又正四面体的棱长为，所以DE＝，OD＝DE＝，所以在直角三角形AOD中，AO＝＝.设正四面体外接球的球心为P，半径为R，连接PD，则在直角三角形POD中，PD2＝PO2＋OD2，即R2＝2＋2，解得R＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝3π.‎ ‎5．(2017·郑州质检)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为(　　)‎ A．8π B．16π C．32π D．64π 解析：选C　还原三视图可知该几何体为一个四棱锥，将该四棱锥补成一个长、宽、高分别为2，2，4的长方体，则该长方体外接球的半径r＝＝2，则所求外接球的表面积为4πr2＝32π.‎ ‎6．已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则四棱锥PABCD的四个侧面中面积的最大值是(　　)‎ A．6 B．‎8 ‎‎ C．2 D．3‎ 解析：选A　四棱锥如图所示，作PN ⊥平面ABCD，交DC于点N，PC＝PD＝3，DN＝2，则PN＝＝，AB＝4，BC＝2，BC⊥CD，故BC⊥平面PDC，即BC⊥PC，同理AD⊥PD.设M为AB的中点，连接PM，MN，则PM＝3，S△PDC＝×4×＝2，S△PBC＝S△PAD＝×2×3＝3，S△PAB＝×4×3＝6，所以四棱锥PABCD的四个侧面中面积的最大值是6.‎ 二、填空题 ‎7．在棱长为3的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，P在线段BD1上，且＝，M为线段B‎1C1上的动点，则三棱锥MPBC的体积为________．‎ 解析：∵＝，∴点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的，‎ 即三棱锥PMBC的高h＝＝1.M为线段B‎1C1上的点，‎ ‎∴S△MBC＝×3×3＝，‎ ‎∴VMPBC＝VPMBC＝××1＝.‎ 答案： ‎8．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.‎ 解析：由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为‎2 m、高为‎2 m的圆锥，下面是底面圆的半径为‎1 m、高为‎4 m的圆柱，所以该几何体的体积是×4π×2＋4π＝(m3)．‎ 答案： ‎9.如图，正方形O′A′B′C′的边长为a，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形OABC的周长是________．‎ 解析：由斜二测画法的规则可知，原图形OABC是一个平行四边形．‎ 在原图形OABC中OB＝‎2a，OA＝a，‎ 且OA⊥OB，∴AB＝‎3a，‎ ‎∴原图形OABC的周长为2(a＋‎3a)＝‎8a.‎ 答案：‎‎8a ‎10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”‎ 题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．‎ ‎(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)‎ 解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V＝πh(r＋r＋r中r下)＝×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为＝＝3(寸)．‎ 答案：3‎ 三、解答题 ‎11．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？‎ 解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，‎ 则2＋r2＝R2，‎ 即h＝2.‎ 因为S＝2πrh＝4πr·＝‎ ‎4π≤4π＝2πR2，‎ 当且仅当r2＝R2－r2，‎ 即r＝R时，取等号，‎ 即当内接圆柱底面半径为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.‎ ‎12．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．‎ ‎(1)求该几何体的体积V；‎ ‎(2)求该几何体的表面积S.‎ 解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.‎ 所以V＝1×1×＝.‎ ‎(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，‎ 所以AA1＝2，侧面ABB‎1A1，CDD‎1C1均为矩形．‎ S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.‎