【数学】2018届一轮复习北师大版第二节不等式选讲学案 8页

第二节 不等式选讲 ‎ ‎ 一.高考解读 ‎1. 会利用绝对值的几何意义求解含绝对值的不等式 ‎2.利用含绝对值不等式的几何意义证明不等式 ‎3.含绝对值不等式的恒成立问题,求参数的取值范围 ‎ 知识 络 二、主干知识 一、绝对值不等式的解法 ‎1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可．‎ ‎(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为空集，|ax＋b|≥c的解集为R.‎ ‎2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法 ‎3.|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．‎ ‎4．|f(x)|＜g (x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．‎ 二、证明不等式 ‎ 比较法(1)求差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．‎ ‎(2)求商比较法：由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法．‎ ‎（3）、证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法 a．利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．‎ b．利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．‎ c．转化为函数问题，数形结合进行证明．‎ ‎（4）、利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a2≥0；(2)|a|≥0；(3)a2＋b2≥2ab；它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab， ≥2‎ 等；(4)≥(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a＋≥2(a>0)，＋≥2(ab>0)，＋≤－2(ab<0)等．‎ ‎（5）、分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．‎ ‎（6）、 常用的放缩方法有：‎ ‎(1)添加或舍去一些项，如＞，＞n；‎ ‎(2)将分子或分母放大(或缩小)；‎ ‎(3)利用基本不等式，如＜；‎ ‎(4)利用常用结论，如 －＝＜，‎ ‎＜＝－ ；‎ ＞＝－(程度大)；‎ ＜＝＝(－) (程度小).‎ ‎（7）.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.‎ 三、绝对值不等式的综合应用 a．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．‎ b．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a.‎ f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.‎ 专项一　解含绝对值不等式 一、典型例题 例1、 (2015年普通高等学校招生全国统一考试)已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 ‎ ‎ 例2、（2014年普通高等学校招生全国统一考试 理 新课标卷二Ⅱ）设函数=‎ ‎（Ⅰ）证明：2；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎ ‎ 课堂练习 ‎1、（2016年普通高等学校招生全国统一考试 理 新课标卷二Ⅱ）‎ 已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣. （I）画出y= f(x)的图像；II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。‎ ‎2．设函数,其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．‎ 作业：‎ ‎1．已知函数=|x-2|x-5|．‎ ‎ （I）证明：≤≤3；（II）求不等式≥x2x+15的解集．‎ ‎2．设函数．‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）如果关于的不等式有解，求的取值范围．‎ 专项二 不等式的证明 典型例题 例1、【2015高考新课标2，】设均为正数，且，证明：‎ ‎（Ⅰ）若，则；‎ ‎（Ⅱ）是的充要条件．‎ 例2、24. （2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1）‎ 若，且.‎ ‎(Ⅰ) 求的最小值； （Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ 课堂练习 ‎1、已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.求证：|ac＋bd|≤1.‎ ‎[ : ]‎ ‎2、设a，b为实数，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求证：＋≥(a＋b)2.‎ 课后作业：‎ ‎1、已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.‎ 求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).‎ ‎2、已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证：(a＋2)2＋(b＋2)2≥.‎ 专项三 含绝对值不等式恒成立问题 典型例题 例1：已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.‎ ‎ (1)试求f(x)的值域；‎ ‎(2)设g(x)＝(a>0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．‎ 例2、(2009辽宁)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.‎ ‎(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； ‎ ‎(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围.‎ 课堂练习 ‎1、‎ ‎（1）解不等式； ‎ ‎（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2、已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在实数x，使得，求实数a的取值范围.‎ 课后作业：‎ ‎1．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.‎ ‎(1)试求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值范围；‎ ‎ (2)若关于x的不等式f(x)