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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版第3章导数及其应用第3节学案

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第 3 节 定积分与微积分基本定理 最新考纲 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概 念,几何意义;2.了解微积分基本定理的含义. 知 识 梳 理 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数 y=f(x),将[a,b]区间分成 n 份,分点 为: a=x00, 求实数 a 的值. 解 ∫a -a a2-x2dx 表示以原点为圆心,以 a 为半径的圆的面积的1 2, ∴∫a -a a2-x2dx=1 2πa2,又∵∫a -a 2xdx=x2|a -a =0, ∴∫a -a (2x+ a2-x2)dx=∫a -a 2xdx+∫a -a a2-x2dx=1 2πa2,即1 2πa2=2π,∴a2= 4,又 a>0,故 a=2. 规律方法 (1)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点: ①对被积函数要先化简,再求积分; ②求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分 再求和; ③若被积函数具有奇偶性时,可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化 运算. (2)运用定积分的几何意义求定积分,当被积函数的原函数不易找到时常用此方 法求定积分. 【训练 1】 (1)∫1 -1 e|x|dx 的值为( ) A.2 B.2e C.2e-2 D.2e+2 (2)定积分∫1 -1 (x2+sin x)dx=________. 解析 (1)∫1 -1 e|x|dx=∫0 -1 e-xdx+∫1 0 exdx=-e-x| 0-1+ex|10=[-e0-(-e)]+(e-e 0)= -1+e+e-1=2e-2,故选 C. (2)∫1 -1 (x2+sin x)dx=∫1 -1 x2dx+∫1 -1 sin xdx =2∫1 0 x2dx=2· x3 3 |10=2 3. 答案 (1)C (2) 2 3 考点二 利用定积分计算平面图形的面积 【例 2】 (1)(2018·郑州模拟)曲线 y=2sin x(0≤x≤π)与直线 y=1 围成的封闭图 形的面积为________. (2)(一题多解)由抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x-4 围成的平面图形的面积为 ________. (3)已知曲线 y=x 2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为 4 3,则 k= ________. 解析 (1)令 2sin x=1,得 sin x=1 2,当 x∈[0,π]时,得 x=π 6 或 x=5π 6 ,所以 所求面积 S= (2sin x-1)dx=(-2cos x-x) =2 3-2π 3 . (2)如图所示,解方程组{y2=2x, y=x-4,得两交点为(2,-2),(8,4). 法一 选取横坐标 x 为积分变量,则图中阴影部分的面积 S 可 看作两部分面积之和, 即 S=2∫2 0 2xdx+∫8 2 ( 2x-x+4)dx=18. 法二 选取纵坐标 y 为积分变量,则图中阴影部分的面积 S=∫4 -2(y+4-1 2y2)dy= 18. (3)由{y=x2, y=kx,得{x=0, y=0 或{x=k, y=k2,则曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边 梯形的面积为∫k 0 (kx-x2)dx=(k 2x2-1 3x3)|k 0 =k3 2 -1 3k3=4 3,则 k3=8,∴k=2. 答案 (1)2 3-2π 3 (2)18 (3)2 规律方法 利用定积分求解曲边图形的面积,关键把握住两点:一是准确确定被 积函数,一般的原则是“上”-“下”,即根据曲边图形的结构特征,用上方曲 线对应的函数解析式减去下方曲线对应的函数解析式;二是准确确定定积分的上 下限,应为曲边图形左右两边对应的点的横坐标,上下限的顺序不能颠倒. 【训练 2】 (1)(2018·唐山统考)过点(-1,0)的直线 l 与曲线 y= x相切,则曲线 y = x与 l 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为________. (2)曲线 y= x,y=2-x,y=-1 3x 所围成图形的面积为________. 解析 (1)因为 y= x的导数为 y′= 1 2 x, 设切点为 P(x0,y0), 则切线的斜率为 1 2 x0= x0 x0+1 , 解得 x0=1,即切线的斜率为1 2, 所以直线 l 的方程为 y=1 2(x+1), 所以所围成的封闭图形的面积为 ∫1 0[1 2(x+1)- x]dx+1 2×1×1 2 =(1 4x2+1 2x-2 3x 3 2 )|1 0 +1 4=1 3. (2) 如图所示.由{y= x, y=2-x得交点 A(1,1). 由{y=2-x, y=-1 3x 得交点 B(3,-1). 故所求面积 S=∫1 0( x+1 3x)dx+∫3 1(2-x+1 3x)dx =(2 3x 2 3+1 6x2)|1 0 +(2x-1 3x2)|3 1 =2 3+1 6+4 3=13 6 . 答案 (1) 1 3 (2) 13 6 考点三 定积分在物理中的应用 【例 3】 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)= 7-3t+ 25 1+t(t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距 离(单位:m)是( ) A.1+25ln 5 B.8+25ln 11 3 C.4+25ln 5 D.4+50ln 2 解析 令 v(t)=0,得 t=4 或 t=-8 3(舍去), ∴汽车行驶距离 s=∫4 0(7-3t+ 25 1+t)dt =[7t-3 2t2+25ln(1+t)]|4 0 =28-24+25ln 5=4+25ln 5(m). 答案 C 规律方法 定积分在物理中的两个应用 (1)变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时刻 t =a 到 t=b 所经过的位移 s=∫b av(t)dt. (2)变力做功:一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同方向从 x=a 移动到 x =b 时,力 F(x)所做的功是 W=∫b a F(x)dx. 【训练 3】 一物体在变力 F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与 F(x)成 30°方向作直线运动,则由 x=1 运动到 x=2 时,F(x)做的功为( ) A. 3 J B. 2 3 3 J C. 4 3 3 J D.2 3 J 解析 ∫2 1 F(x)cos 30°dx=∫2 1 3 2 (5-x2)dx =[(5x-1 3x3) × 3 2 ]|2 1 =4 3 3, ∴F(x)做的功为4 3 3 J. 答案 C 基础巩固题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2018·西安调研)定积分∫1 0 (2x+ex)dx 的值为( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1 解析 ∫1 0 (2x+ex)dx=(x2+ex)|1 0 )=1+e1-1=e. 答案 C 2.若 ∫a 1(2x+1 x)dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析 ∫a 1(2x+1 x)dx=(x2+ln x)|a 1 =a2+ln a-1=3+ln 2,即 a2+ln a=4+ln 2, 故 a=2. 答案 A 3.(2018·大连双基测试) sin2x 2dx 等于( ) A.0 B. π 4 -1 2 C. π 4 -1 4 D. π 2 -1 解析 sin2x 2dx= 1-cos x 2 dx =(1 2x-1 2sin x) =π 4 -1 2. 答案 B 4.定积分∫2 0 |x-1|dx 等于( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 解析 ∫2 0 |x-1|dx=∫1 0 (1-x)dx+∫2 1 (x-1)dx =(x-1 2x2)|1 0 +(1 2x2-x)|2 1 =(1-1 2)+(2-2)-(1 2-1)=1. 答案 A 5.若 f(x)={lg x,x > 0, x+∫a 0 3t2dt,x ≤ 0,f(f(1))=1,则 a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 解析 因为 f(1)=lg 1=0,f(0)=∫a 0 3t2dt=t3|a 0 =a3,所以由 f(f(1))=1,得 a3= 1,a=1. 答案 A π 2 0 ∫ π 2 0 ∫ π 2 0 ∫ 6.由直线 x=-π 3 ,x=π 3 ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A. 1 2 B.1 C. 3 2 D. 3 答案 D 7.由 y=x2,y=x2 4 ,y=1 所围成的图形的面积为( ) A. 4 3 B. 3 4 C.2 D.1 解析 如图所示,阴影部分的面积为 S=2[∫1 0 (x2-1 4x2)dx+ ∫2 1 (1-1 4x2)dx] =2(1 3- 1 12 +2- 1 12 × 23-1+ 1 12)=4 3. 答案 A 8.如图,指数函数的图像过点 E(2,9),则图中阴影部分 的面积等于( ) A. 8 ln 3 B.8 C. 9 ln 3 D.9 解析 设指数函数为 y=ax(a>0 且 a≠1),因为其过点 E(2, 9),所以 a2=9,解得 a=3,所以图中阴影部分的面积 S= ∫2 0 3xdx= 3x ln 3|2 0 = 8 ln 3. 答案 A 二、填空题 9.∫e 1(x+1 x)dx=________. 解析 ∫e 1(x+1 x)dx=(x2 2 +ln x)|e 1 =e2 2 +1-1 2=e2+1 2 . 答案 e2+1 2 10.一物体作变速直线运动,其 v-t 曲线如图所示,则该物 体在1 2 s~6 s 间的运动路程为________m. 解析 由题图可知,v(t)={2t   (0 ≤ t < 1), 2 (1 ≤ t ≤ 3), 1 3t+1 (3 < t ≤ 6). 由变速直线运动的路程公式,可得 所以物体在1 2 s~6 s 间的运动路程是49 4 m. 答案 49 4 11.(2018·洛阳统考)函数 f(x)= {x+1,-1 ≤ x < 0, ex,0 ≤ x ≤ 1 的图像与直线 x=1 及 x 轴 所围成的封闭图形的面积为________. 解析 由题意知所求面积为∫0 -1 (x+1)dx+ ∫1 0 exdx=(1 2x2+x)|0 -1 +ex|1 0 =- (1 2-1)+(e-1)=e-1 2. 答案 e-1 2 12.如图所示,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个 闭合图形( 图中的阴影部分) ,则该闭合图形的面积是________. 解析 由{y=-x2+2x+1, y=1, 解得 x1=0,x2=2. ∴S=∫2 0 (-x2+2x+1-1)dx=∫2 0 (-x2+2x)dx =(-x3 3+x2)|2 0 =-8 3+4=4 3. 答案 4 3 能力提升题组 (建议用时:10 分钟) 13.(2018·广州调研)设 f(x)={ 1-x2,x ∈ [-1,1), x2-1,x ∈ [1,2], 则 ∫2 -1 f(x)dx 的值为( ) A. π 2 +4 3 B. π 2 +3 C. π 4 +4 3 D. π 4 +3 解析 ∫2 -1 f(x)dx=∫1 -1 1-x2dx+∫2 1 (x2-1)dx =1 2π×12+(1 3x3-x)|2 1 =π 2 +4 3. 答案 A 14.若 f(x)=x2+2∫1 0 f(x)dx,则 ∫1 0 f(x)dx=( ) A.-1 B.-1 3 C. 1 3 D.1 解析 由题意知 f(x)=x2+2∫1 0 f(x)dx, 设 m=∫1 0 f(x)dx, ∴f(x)=x2+2m, ∫1 0 f(x)dx=∫1 0 (x2+2m)dx=(1 3x3+2mx)|1 0 =1 3+2m=m, ∴m=-1 3. 答案 B 15.一物体在力 F(x)={5,0 ≤ x ≤ 2, 3x+4,x>2 (单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方 向,从 x=0 处运动到 x=4(单位:m)处,则力 F(x)做的功为________ J. 解析 由题意知,力 F(x)所做的功为 W=∫4 0 F(x)dx=∫2 0 5dx+∫4 2 (3x+4)dx =10+[3 2 × 42+4 × 4-(3 2 × 22+4 × 2)]=36(J). 答案 36 16.(2018·景德镇模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y=x 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积 V 圆锥=∫1 0 πx2dx=π 3 x3|1 0 =π 3 .据此类比:将曲线 y=2 ln x 与直线 y=1 及 x 轴、y 轴所围成的图形 绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体积 V=________. 解析 类比已知结论,将曲线 y=2ln x 与直线 y=1 及 x 轴、y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分,被积函数为π(e y 2 ) 2 =πey,积 分变量为 y,积分区间为[0,1],即 V=∫1 0 πeydy=πey|1 0 =π(e-1). 答案 π(e-1)