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- 2021-06-16 发布
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第 3 节 定积分与微积分基本定理
最新考纲 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概
念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.
知 识 梳 理
1.定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
一般地，给定一个在区间[a，b]上的函数 y＝f(x)，将[a，b]区间分成 n 份，分点
为：
a＝x00，
求实数 a 的值.
解 ∫a
－a
a2－x2dx 表示以原点为圆心，以 a 为半径的圆的面积的1
2，
∴∫a
－a
a2－x2dx＝1
2πa2，又∵∫a
－a
2xdx＝x2|a
－a ＝0，
∴∫a
－a
(2x＋ a2－x2)dx＝∫a
－a
2xdx＋∫a
－a
a2－x2dx＝1
2πa2，即1
2πa2＝2π，∴a2＝
4，又 a>0，故 a＝2.
规律方法 (1)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：
①对被积函数要先化简，再求积分；
②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分
再求和；
③若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区间上的定积分性质简化
运算.
(2)运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方
法求定积分.
【训练 1】 (1)∫1
－1
e|x|dx 的值为( )
A.2 B.2e C.2e－2 D.2e＋2
(2)定积分∫1
－1
(x2＋sin x)dx＝________.
解析 (1)∫1
－1
e|x|dx＝∫0
－1
e－xdx＋∫1
0
exdx＝－e－x| 0－1＋ex|10＝[－e0－(－e)]＋(e－e 0)＝
－1＋e＋e－1＝2e－2，故选 C.
(2)∫1
－1
(x2＋sin x)dx＝∫1
－1
x2dx＋∫1
－1
sin xdx
＝2∫1
0
x2dx＝2·
x3
3 |10＝2
3.
答案 (1)C (2)
2
3
考点二 利用定积分计算平面图形的面积
【例 2】 (1)(2018·郑州模拟)曲线 y＝2sin x(0≤x≤π)与直线 y＝1 围成的封闭图
形的面积为________.
(2)(一题多解)由抛物线 y 2 ＝2x 与直线 y＝x－4 围成的平面图形的面积为
________.
(3)已知曲线 y＝x 2 与直线 y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为 4
3，则 k＝
________.
解析 (1)令 2sin x＝1，得 sin x＝1
2，当 x∈[0，π]时，得 x＝π
6 或 x＝5π
6 ，所以
所求面积 S＝ (2sin x－1)dx＝(－2cos x－x) ＝2 3－2π
3 .
(2)如图所示，解方程组{y2＝2x，
y＝x－4，得两交点为(2，－2)，(8，4).
法一 选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S 可
看作两部分面积之和，
即 S＝2∫2
0
2xdx＋∫8
2
( 2x－x＋4)dx＝18.
法二 选取纵坐标 y 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S＝∫4
－2(y＋4－1
2y2)dy＝
18.
(3)由{y＝x2，
y＝kx，得{x＝0，
y＝0 或{x＝k，
y＝k2，则曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k>0)所围成的曲边
梯形的面积为∫k
0
(kx－x2)dx＝(k
2x2－1
3x3)|k
0 ＝k3
2 －1
3k3＝4
3，则 k3＝8，∴k＝2.
答案 (1)2 3－2π
3 (2)18 (3)2
规律方法 利用定积分求解曲边图形的面积，关键把握住两点：一是准确确定被
积函数，一般的原则是“上”－“下”，即根据曲边图形的结构特征，用上方曲
线对应的函数解析式减去下方曲线对应的函数解析式；二是准确确定定积分的上
下限，应为曲边图形左右两边对应的点的横坐标，上下限的顺序不能颠倒.
【训练 2】 (1)(2018·唐山统考)过点(－1，0)的直线 l 与曲线 y＝ x相切，则曲线 y
＝ x与 l 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为________.
(2)曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－1
3x 所围成图形的面积为________.
解析 (1)因为 y＝ x的导数为 y′＝ 1
2 x，
设切点为 P(x0，y0)，
则切线的斜率为 1
2 x0＝
x0
x0＋1
，
解得 x0＝1，即切线的斜率为1
2，
所以直线 l 的方程为 y＝1
2(x＋1)，
所以所围成的封闭图形的面积为
∫1
0[1
2（x＋1）－ x]dx＋1
2×1×1
2
＝(1
4x2＋1
2x－2
3x
3
2
)|1
0 ＋1
4＝1
3.
(2) 如图所示.由{y＝ x，
y＝2－x得交点 A(1，1).
由{y＝2－x，
y＝－1
3x 得交点 B(3，－1).
故所求面积 S＝∫1
0( x＋1
3x)dx＋∫3
1(2－x＋1
3x)dx
＝(2
3x
2
3＋1
6x2)|1
0 ＋(2x－1
3x2)|3
1
＝2
3＋1
6＋4
3＝13
6 .
答案 (1)
1
3 (2)
13
6
考点三 定积分在物理中的应用
【例 3】 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)＝
7－3t＋ 25
1＋t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距
离(单位：m)是( )
A.1＋25ln 5 B.8＋25ln
11
3
C.4＋25ln 5 D.4＋50ln 2
解析 令 v(t)＝0，得 t＝4 或 t＝－8
3(舍去)，
∴汽车行驶距离 s＝∫4
0(7－3t＋ 25
1＋t)dt
＝[7t－3
2t2＋25ln（1＋t）]|4
0
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).
答案 C
规律方法 定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 v＝v(t)，那么从时刻 t
＝a 到 t＝b 所经过的位移 s＝∫b
av(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 x＝a 移动到 x
＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝∫b
a
F(x)dx.
【训练 3】 一物体在变力 F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与
F(x)成 30°方向作直线运动，则由 x＝1 运动到 x＝2 时，F(x)做的功为( )
A. 3 J B.
2 3
3 J C.
4 3
3 J D.2 3 J
解析 ∫2
1
F(x)cos 30°dx＝∫2
1
3
2 (5－x2)dx
＝[(5x－1
3x3) ×
3
2 ]|2
1 ＝4
3 3，
∴F(x)做的功为4
3 3 J.
答案 C
基础巩固题组
(建议用时：25 分钟)
一、选择题
1.(2018·西安调研)定积分∫1
0
(2x＋ex)dx 的值为( )
A.e＋2 B.e＋1 C.e D.e－1
解析 ∫1
0
(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|1
0 )＝1＋e1－1＝e.
答案 C
2.若 ∫a
1(2x＋1
x)dx＝3＋ln 2(a>1)，则 a 的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析 ∫a
1(2x＋1
x)dx＝(x2＋ln x)|a
1 ＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，即 a2＋ln a＝4＋ln 2，
故 a＝2.
答案 A
3.(2018·大连双基测试) sin2x
2dx 等于( )
A.0 B.
π
4 －1
2 C.
π
4 －1
4 D.
π
2 －1
解析 sin2x
2dx＝ 1－cos x
2 dx
＝(1
2x－1
2sin x) ＝π
4 －1
2.
答案 B
4.定积分∫2
0
|x－1|dx 等于( )
A.1 B.－1 C.0 D.2
解析 ∫2
0
|x－1|dx＝∫1
0
(1－x)dx＋∫2
1
(x－1)dx
＝(x－1
2x2)|1
0 ＋(1
2x2－x)|2
1 ＝(1－1
2)＋(2－2)－(1
2－1)＝1.
答案 A
5.若 f(x)＝{lg x，x > 0，
x＋∫a
0 3t2dt，x ≤ 0，f(f(1))＝1，则 a 的值为( )
A.1 B.2 C.－1 D.－2
解析 因为 f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝∫a
0
3t2dt＝t3|a
0 ＝a3，所以由 f(f(1))＝1，得 a3＝
1，a＝1.
答案 A
π
2
0
∫
π
2
0
∫
π
2
0
∫
6.由直线 x＝－π
3
，x＝π
3 ，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )
A.
1
2 B.1 C.
3
2 D. 3
答案 D
7.由 y＝x2，y＝x2
4 ，y＝1 所围成的图形的面积为( )
A.
4
3 B.
3
4 C.2 D.1
解析 如图所示，阴影部分的面积为
S＝2[∫1
0 (x2－1
4x2)dx＋ ∫2
1 (1－1
4x2)dx]
＝2(1
3－ 1
12
＋2－ 1
12 × 23－1＋ 1
12)＝4
3.
答案 A
8.如图，指数函数的图像过点 E(2，9)，则图中阴影部分
的面积等于( )
A.
8
ln 3 B.8
C.
9
ln 3 D.9
解析 设指数函数为 y＝ax(a>0 且 a≠1)，因为其过点 E(2，
9)，所以 a2＝9，解得 a＝3，所以图中阴影部分的面积 S＝
∫2
0
3xdx＝ 3x
ln 3|2
0 ＝ 8
ln 3.
答案 A
二、填空题
9.∫e
1(x＋1
x)dx＝________.
解析 ∫e
1(x＋1
x)dx＝(x2
2 ＋ln x)|e
1
＝e2
2 ＋1－1
2＝e2＋1
2 .
答案
e2＋1
2
10.一物体作变速直线运动，其 v－t 曲线如图所示，则该物
体在1
2 s～6 s 间的运动路程为________m.
解析 由题图可知，v(t)＝{2t （0 ≤ t < 1），
2 （1 ≤ t ≤ 3），
1
3t＋1 （3 < t ≤ 6）.
由变速直线运动的路程公式，可得
所以物体在1
2 s～6 s 间的运动路程是49
4 m.
答案
49
4
11.(2018·洛阳统考)函数 f(x)＝ {x＋1，－1 ≤ x < 0，
ex，0 ≤ x ≤ 1 的图像与直线 x＝1 及 x 轴
所围成的封闭图形的面积为________.
解析 由题意知所求面积为∫0
－1
(x＋1)dx＋ ∫1
0
exdx＝(1
2x2＋x)|0
－1 ＋ex|1
0 ＝－
(1
2－1)＋(e－1)＝e－1
2.
答案 e－1
2
12.如图所示，函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 相交形成一个
闭合图形( 图中的阴影部分) ，则该闭合图形的面积是________.
解析 由{y＝－x2＋2x＋1，
y＝1，
解得 x1＝0，x2＝2.
∴S＝∫2
0
(－x2＋2x＋1－1)dx＝∫2
0
(－x2＋2x)dx
＝(－x3
3＋x2)|2
0 ＝－8
3＋4＝4
3.
答案
4
3
能力提升题组
(建议用时：10 分钟)
13.(2018·广州调研)设 f(x)＝{ 1－x2，x ∈ [－1，1），
x2－1，x ∈ [1，2]， 则 ∫2
－1
f(x)dx 的值为( )
A.
π
2 ＋4
3 B.
π
2 ＋3 C.
π
4 ＋4
3 D.
π
4 ＋3
解析 ∫2
－1
f(x)dx＝∫1
－1
1－x2dx＋∫2
1
(x2－1)dx
＝1
2π×12＋(1
3x3－x)|2
1 ＝π
2 ＋4
3.
答案 A
14.若 f(x)＝x2＋2∫1
0
f(x)dx，则 ∫1
0
f(x)dx＝( )
A.－1 B.－1
3 C.
1
3 D.1
解析 由题意知 f(x)＝x2＋2∫1
0
f(x)dx，
设 m＝∫1
0
f(x)dx，
∴f(x)＝x2＋2m，
∫1
0
f(x)dx＝∫1
0
(x2＋2m)dx＝(1
3x3＋2mx)|1
0
＝1
3＋2m＝m，
∴m＝－1
3.
答案 B
15.一物体在力 F(x)＝{5，0 ≤ x ≤ 2，
3x＋4，x＞2 (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方
向，从 x＝0 处运动到 x＝4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为________ J.
解析 由题意知，力 F(x)所做的功为
W＝∫4
0
F(x)dx＝∫2
0
5dx＋∫4
2
(3x＋4)dx
＝10＋[3
2 × 42＋4 × 4－(3
2 × 22＋4 × 2)]＝36(J).
答案 36
16.(2018·景德镇模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，将直线 y＝x 与直线 x＝1 及 x
轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积 V 圆锥＝∫1
0
πx2dx＝π
3
x3|1
0 ＝π
3 .据此类比：将曲线 y＝2 ln x 与直线 y＝1 及 x 轴、y 轴所围成的图形
绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积 V＝________.
解析 类比已知结论，将曲线 y＝2ln x 与直线 y＝1 及 x 轴、y 轴所围成的图形绕 y
轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e
y
2 ) 2
＝πey，积
分变量为 y，积分区间为[0，1]，即 V＝∫1
0
πeydy＝πey|1
0 ＝π(e－1).
答案 π(e－1)
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