【数学】2018届一轮复习苏教版专题1-6圆锥曲线学案 59页

一．考场传真 ‎1. 【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【答案】A ‎2．【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线为：，圆心到渐近线距离为：，不妨考查点到直线的距离：，即：，整理可得：‎ ‎,双曲线的离心率.故选A. ‎ ‎3．【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ 4．【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，，而，所以，点到直线的距离，在中，，代入计算得，即，由得，所以.‎ ‎5．【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则 .‎ ‎【答案】6‎ ‎ 6．【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，椭圆中： ，椭圆，即双曲线的焦点为 ‎ ，据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，则双曲线 的方程为 .故选B. ‎ ‎7．【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎（1）证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.‎ ‎ 8．【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为. ‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得 由题设可知.，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，欲使l：，即，所以l过定点（2，） ‎ ‎9．【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.‎ (1) 求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. ‎ 二．高考研究 ‎【考纲解读】‎ ‎1.考纲要求 ‎(1)直线方程：①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.②能根据两条直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握正确直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.‎ ‎(2)圆与方程：①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ ‎(３)圆锥曲线：①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.　　②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.知道它的简单几何性质.④了解圆锥曲线的简单应用.⑤理解数形结合的思想 ‎(2)曲线与方程：了解方程的曲线与与曲线方程的对应关系.‎ ‎2.命题规律：‎ ‎1、题量稳定：解析几何与立体几何相似，在高考试卷中试题所占分值比例较大.一般地，解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右，其中选择题、填空题占两道，解答题占一道；其所占平均分值为22分左右，所占平均分值比例约为14 .‎ ‎2、整体平衡，重点突出：重点内容重点考，重点内容年年考.三大圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点， 对支撑数学 知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是考查定义的理解和应用，有的是求圆锥曲线的标准方程，有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等．‎ 数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：‎ ‎①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）； ‎ ‎②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；‎ ‎③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）‎ ‎④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；‎ ‎⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)；‎ ‎⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少)；‎ ‎3、题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定.解析几何试题的难度都不算太大，选择题、填空题大多属中等题，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题.高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式等），难度不是太大，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近几年的解答题，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低. 若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功. ‎ ‎3．学法导航 ‎ ‎1.求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况．对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．‎ ‎2. 解决与圆有关的问题一般有两种方法：几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．‎ ‎3讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．‎ ‎4.准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．‎ ‎5．明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．‎ ‎6．解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．‎ ‎7．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．‎ 一．基础知识整合 基础知识：‎ ‎1. 直线的方程：点斜式：； 截距式：；两点式：； 截距式：；一般式：，其中A、B不同时为0.‎ ‎2．两条直线的位置关系：两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.‎ 两直线平行两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；‎ 两直线垂直两直线的斜率之积为或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零；‎ 与已知直线平行的直线系方程为；‎ 若给定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论：‎ l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.‎ 两平行直线间距离公式：‎ 与的距离 ‎3．圆的有关问题：‎ 圆的标准方程：（r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a，b），半径为r，特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为．‎ 圆的一般方程：（＞0）称为圆的一般方程，‎ 其圆心坐标为（，），半径为.‎ 当=0时，方程表示一个点（，）；‎ 当＜0时，方程不表示任何图形.‎ 圆的参数方程：圆的普通方程与参数方程之间有如下关系： （θ为参数）‎ ‎ （θ为参数）‎ 直线与圆的位置关系：‎ 直线与圆的位置关系的判断：‎ ‎【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则 ‎（1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点；‎ ‎（2）直线与圆相离直线与圆无公共点；‎ ‎（3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点；‎ ‎【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则 ‎ ‎（1）直线与圆相交直线与圆有两个公共点；‎ ‎（2）直线与圆相离直线与圆无公共点；‎ ‎（3）直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点；‎ 若直线与圆相交，设弦长为，弦心距为，半径为，则 ‎4．椭圆及其标准方程：‎ 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.‎ 椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.‎ 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.‎ 求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.‎ 如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或；‎ 椭圆的参数方程： 椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.‎ 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.‎ ‎5．椭圆的简单几何性质 椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.‎ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里.‎ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.‎ 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.‎ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.‎ 椭圆的第二定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.‎ 准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.‎ 椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.‎ 设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.‎ 在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长；‎ 过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为 ‎6．双曲线及其标准方程： : ]‎ 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|‎ ‎|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.‎ 若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.‎ 双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.‎ 双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小 判断焦点在哪一条坐标轴上.‎ 求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.‎ 如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为或 ‎7．双曲线的简单几何性质 双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.‎ 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.‎ 双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.‎ 在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于，其中是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为 ‎8．抛物线的标准方程和几何性质 抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线.‎ 需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线.‎ 抛物线的方程有四种类型：、、、.‎ 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向.‎ 抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例 ‎（1）范围：x≥0；‎ ‎（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；‎ ‎（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；‎ ‎（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；‎ ‎（5）准线方程；‎ ‎（6）焦半径公式：抛物线上一点，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：　 ‎ ‎（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A，B，AB的倾斜角为，则有或，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式” 求.‎ 在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切；‎ ‎9．直线与圆锥曲线的位置关系：‎ ‎①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值 解决．‎ ‎②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．[ :学 ]‎ ‎③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．直线被圆锥曲线所截得弦为，则长为，其中为直线的斜率 必备方法：‎ ‎1.点差法（中点弦问题） ‎ 利用“点差法” 解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标） ——代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系.‎ ‎2．联立消元法：韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解 ‎3．设而不求法 ‎4.判别式法 ‎5.求根公式法 椭圆与双曲线的经典结论 一．椭圆 ‎1．‎ ‎2．标准方程：‎ ‎3．‎ ‎4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.‎ ‎5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ ‎6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.‎ ‎7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.‎ ‎8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.‎ ‎9．椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ ‎10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.‎ ‎11．若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ ‎12．AB是椭圆的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则.‎ ‎13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ ‎14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ ‎15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则 ‎.‎ ‎16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .‎ ‎17．给定椭圆：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(.‎ ‎(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.‎ ‎18．设为椭圆（或圆）C: (a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是.‎ ‎19．过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ ‎20．椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为 ‎， .‎ ‎21．若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ‎ ‎, ，则.‎ ‎22．椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：‎ ‎,( , ).‎ ‎23．若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 ‎0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ ‎24．P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.‎ ‎25．椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.‎ ‎26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ ‎27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ ‎28．P是椭圆（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.‎ ‎29．设A,B为椭圆上两点，其直线AB与椭圆相交于,则.‎ ‎30．在椭圆中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为 ‎,其中,当时, .‎ ‎31．设S为椭圆（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有,.‎ ‎32．椭圆与直线有公共点的充要条件是.‎ ‎33．椭圆与直线有公共点的充要条件是.‎ ‎34．设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.‎ ‎35．经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则.‎ ‎36．已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.‎ ‎37．MN是经过椭圆（a＞b＞0）过焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则.‎ ‎38．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦，则.‎ ‎39．设椭圆（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线：(或)上.‎ ‎40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ ‎41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ ‎42．设椭圆方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.‎ ‎43．设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则.‎ ‎44．已知椭圆（a＞b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点，的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是().‎ ‎45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.‎ ‎46．过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN 的垂直平分线交x轴于P，则.‎ ‎47．设A（x1 ,y1）是椭圆（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, 分别是A到椭圆两焦点的距离，则.‎ ‎48．已知椭圆（ a＞b＞0）和（ ），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.‎ ‎49．已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.‎ ‎50．设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .‎ ‎51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则.‎ ‎52．L是经过椭圆（ a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.‎ ‎53．L是椭圆（ a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或 ‎（当且仅当时取等号）.‎ ‎54．L是椭圆（ a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.‎ ‎55．已知椭圆（ a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起 ，则（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.‎ ‎56．设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .‎ ‎57．设A、B是椭圆（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则.‎ ‎58．设A、B是椭圆（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.‎ ‎59．设是椭圆的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.‎ ‎60．过椭圆（ a＞b＞0）的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则.‎ ‎61．到椭圆（ a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.‎ ‎62．到椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.‎ ‎63．到椭圆（ a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.‎ ‎64．已知P是椭圆（ a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.‎ ‎65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.‎ ‎66．设椭圆（ a＞b＞0）长轴的端点为,是椭圆上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于,则 ‎（1）.（2）四边形面积的最小值是.‎ ‎67．已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ ‎68．OA、OB是椭圆（ a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.‎ ‎69．是椭圆（a＞b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 ‎(且).‎ ‎70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F 2在 同侧直线L和椭圆相切.（2），且F1、F2在L同侧直线 和椭圆相离，（3），或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.‎ ‎71．AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，是椭圆上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.‎ ‎72．设点为椭圆（ a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆过定点的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时 ‎.当弦AB垂直于长轴所在直线时, .‎ ‎73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.‎ ‎74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.‎ ‎75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.‎ ‎76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.‎ ‎77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.‎ ‎78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ ‎79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.‎ ‎80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.‎ ‎81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.‎ ‎82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.‎ ‎83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.‎ ‎84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.‎ ‎85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.‎ ‎86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.‎ ‎87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.‎ ‎88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.‎ ‎89. 已知椭圆(包括圆在内)上有一点,过点分别作直线 及的平行线，与直线分别交于,为原点，则：.‎ ‎（1）；（2）.‎ ‎90. 过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是.‎ ‎91. 点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，则：.‎ ‎92. 点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，已知，则的轨迹方程是.‎ 二、双曲线 ‎1．‎ ‎2．标准方程：‎ ‎3．‎ ‎4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.‎ ‎5．PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ ‎6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.‎ ‎7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.‎ ‎8．设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2‎ 所在的直线切于A2（或A1）.‎ ‎9．双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ ‎10．若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.‎ ‎11．若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ ‎12．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则.‎ ‎13．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ ‎14．若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ ‎15．若PQ是双曲线（b＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则.‎ ‎16．若双曲线（b＞a ＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为 ‎,则(1) ;(2) .‎ ‎17．给定双曲线：（a＞b＞0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M(.‎ ‎(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.‎ ‎18．设为双曲线（a＞0,b＞0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是.‎ ‎19．过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ ‎20．双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为， .‎ ‎21．若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.‎ ‎22．双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , ‎ 当在右支上时，,.‎ 当在左支上时，,.‎ ‎23．若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 ‎1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ ‎24．P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.‎ ‎25．双曲线（a＞0,b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.‎ ‎26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ ‎27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ ‎28．P是双曲线（a＞0，b＞0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是. ‎ ‎29．设A,B为双曲线（a＞0,b＞0，）上两点，其直线AB与双曲线相交于,则.‎ ‎30．在双曲线中，定长为2m（m）0）的弦中点轨迹方程为,其中,当时, .‎ ‎31．设S为双曲线（a＞0,b＞o）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有.‎ ‎32．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.‎ ‎33．双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是. ‎ ‎34．设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.‎ ‎35．经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则.‎ ‎36．已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.‎ ‎37．MN是经过双曲线（a＞0,b＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则.‎ ‎38．MN是经过双曲线（a＞b＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦，则.‎ ‎39．设双曲线（a＞0,b＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点N在直线：上.‎ ‎40．设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ ‎41．过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ ‎42．设双曲线方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.‎ ‎43．设A、B、C、D为双曲线（a＞0,b＞o）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则.‎ ‎44．已知双曲线（a＞0,b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点，的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是 ‎().‎ ‎45．设△ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与双曲线相切的充要条件是D为 EF的中点.‎ ‎46．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.‎ ‎47．设A（x1 ,y1）是双曲线（a＞0,b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, 分别是A到双曲线两焦点的距离，则.‎ ‎48．已知双曲线（a＞0,b＞0）和（ ），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.‎ ‎49．已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.‎ ‎50．设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .‎ ‎51．设过双曲线的实轴上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则.‎ ‎52．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线实轴的两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.‎ ‎53．L是经过双曲线（a＞0,b＞0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴交点,点，e是离心率，，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.‎ ‎54．L是双曲线（a＞0,b＞0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.‎ ‎55．已知双曲线（a＞0,b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起 ，则（当且仅当AB⊥x轴时取等号）.‎ ‎56．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .‎ ‎57．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则.‎ ‎58．设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标 ‎、满足；（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.‎ ‎59．设是双曲线的实轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.‎ ‎60．过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点作互相垂直的两条弦AB、CD,则.‎ ‎61．到双曲线（a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.‎ ‎62．到双曲线（a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.‎ ‎63．到双曲线（a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.‎ ‎64．已知P是双曲线（a＞0,b＞0）上一个动点，是它实轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.‎ ‎65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.‎ ‎66．设双曲线（a＞0,b＞0）实轴的端点为,是双曲线上的点过P 作斜率为的直线，过分别作垂直于实轴的直线交于,则 ‎（1）.（2）四边形面积的最小值是.‎ ‎67．已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ ‎68．OA、OB是双曲线（a＞0,b＞0,且）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.‎ ‎69．是双曲线（a＞0,b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 ‎(且).‎ ‎70．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F 2在 同侧直线L和双曲线相切,或是双曲线的渐近线.（2），且F1、F2在L同侧直线 和双曲线相离，（3），或F1、F2在L异侧直线L和双曲线相交.‎ ‎71．AB是双曲线（a＞0,b＞0）的实轴，是双曲线上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.‎ ‎72．设点为双曲线（a＞0,b＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB是双曲线过定点的任一弦.‎ ‎(1)如,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时.‎ ‎(2)如,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时, .‎ ‎73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.‎ ‎74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.‎ ‎75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c.‎ ‎76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.‎ ‎77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).‎ ‎ 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.‎ ‎78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ ‎79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.‎ ‎80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.‎ ‎81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.‎ ‎82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.‎ ‎83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.‎ ‎84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.‎ ‎85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.‎ ‎86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线.‎ ‎87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.‎ ‎88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.‎ ‎ 89. 已知双曲线上有一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于，交轴于， 为原点，则：‎ ‎ （1）； （2）.‎ ‎90. 过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是.‎ ‎91. 点为双曲线在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，则：.‎ ‎92. 点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，已知，则的轨迹方程是或.‎ 二．高频考点突破 考点1 直线方程 ‎【例1】下列直线中与直线平行的一条是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题主要考查两条直线的位置关系.在平面中，两条之间的位置关系有相交和平行，当直线斜率不相同时，两直线相交，当斜率相同且截距不相同时，两直线平行.所以两条平行线斜率是相等的，在选项中，B，D两个选项的斜率都是，和原直线的斜率相同，但是通过观察后发现，B选项可以化简，所得直线和原直线重合，故要排除. ‎ ‎【答案】D ‎【规律方法】若给定的方程是一般式，即和，则有下列结论：且；. 给定两条直线和，则有下列结论：且；；求解两条直线平行的问题时，在利用建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．求直线方程就是求出确定直线的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角，当直线的斜率存在时，只需求出直线的斜率和直线经过的点即可．对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线经过的一点确定直线，后者是两点确定直线．‎ ‎【举一反三】若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】的圆心坐标为所求直线的斜率直线方程为,故选C. ‎ 考点2 圆的方程及应用 ‎【例２】已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．‎ ‎【分析】本题主要考查圆的参数方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查两个向量垂直的概念，考查三角恒等变换等知识．由于题目给定，所以考虑设出点的坐标，然后利用数量积等于零 建立方程，故设出点的参数方程，即 ‎，然后将坐标代入，化简后利用三角函数的最值 求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【规律方法】求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.其一般步骤：①根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；②利用条件列出关于，或的方程组；③解出，或的值，代入标准方程或一般方程，此外，根据条件要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量．‎ ‎【举一反三】抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线与坐标轴的交点为，由圆一般方程得选D. ‎ 考点３ 直线与圆的位置关系 ‎【例３】设直线：，圆：，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系,属于中档题. 本题思路: 由切线的对称性和圆的知识,从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,所成的角最大,这样就转化为圆心到直线的距离小于或等于,再由点到直线的距离公式解不等式可求出 的范围. 由已知得出圆心到直线的距离小于或等于是本题解题的关键.‎ ‎【答案】C ‎【规律方法】直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离与半径的关系确定，相切；相交，此时半弦长、弦心距、半径构成直角三角形；时相离.解有关直线与圆的相交问题要灵活运用圆的几何性质，特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，满足勾股定理．圆的切线问题一般利用求解，但要注意切线斜率不存在的情形，与圆有关的最值，范围问题要注意数形结合思想的运用．直线与圆中常见的最值问题：①圆外一点与圆上任一点的距离的最值．②直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值. ‎ ‎【举一反三】【2018陕西西安长安区联考】已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 考点4 圆锥曲线的定义及标准方程 ‎【例４】设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【分析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查圆的直径所对圆周角是直角等知识.首先根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，由此设出点的坐标，然后利用直径所对圆周角为直角，所以,，将设好的坐标代入上式，解方程即可求得参数的值，进而求得抛物线的方程. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意设，直径所对圆周角为直角，所以,,‎ ‎，解得或，所以抛物线方程为或.‎ ‎【规律方法】　圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础.因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求．求圆锥曲线标准方程常用的方法：(1)定义法；(2)待定系数法，①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或 ()，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有的几何意义．②椭圆的标准方程可设为，双曲线的标准方程可设为，这样可以避免讨论和繁琐的计算．‎ ‎【举一反三】【2018湖北八校联考】如图，已知椭圆的中心为原点, 为的左焦点， 为上一点，满足且，则椭圆的方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 考点５圆锥曲线的几何性质 ‎【例５】过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题主要考查了椭圆的简单几何性质.椭圆离心率的求解方法:离心率是圆锥曲线的重要几何性质，此类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，关键是借助图形建立关于，，的关系式(等式或不等式)，转化为的关系式．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】设 ‎,故选B. ‎ ‎【规律方法】求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把用代换，求的值；在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于的不等式，再根据的关系消掉得到关于的不等式，由这个不等式确定的关系．‎ ‎【举一反三】【2018江西宜春六校联考】已知椭圆的左顶点和上顶点分别为、，左、右焦点分别是， ，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 考点６ 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎【例６】在平面直角坐标系中，点为动点，已知点，，直线与的斜率之积为定值．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若，过点的直线交轨迹于，两点，以为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上，求直线的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接法求动点轨迹方程，先设动点坐标，根据直线与的斜率之积为定值，转化为坐标关系，整理可得，最后去掉不满足条件的点（Ⅱ）以为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上，所以的中垂线与轴的交点满足⊥，设直线：（）．联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得，，从而可得中垂线方程，解得交点坐标，根据⊥，列出关于的方程，解之即得直线方程 ‎【规律方法】1.直线与椭圆的位置关系的判定方法 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若，则直线与椭圆相交；若，则直线与椭圆相切；若，则直线与椭圆相离.‎ ‎2.直线与双曲线的位置关系的判定方法 将直线方程与双曲线方程联立，消去或，得到一个一元方程，或,)若，当时，直线与双曲线相交；当时，直线与双曲线相切；当时，直线与双曲线相离；若，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.‎ ‎3.直线与抛物线的位置关系的判定方法 将直线方程与抛物线方程联立，消去或，得到一个一元方程，或，当时，用判定，方法同上；当时，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线有一个交点.‎ 抛物线的过焦点的弦，若，，则，，弦长.同样可得抛物线，，‎ 类似的性质．‎ ‎4．解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点，时，，而.‎ ‎【举一反三】【2018辽宁凌 二中联考】抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 考点７圆锥曲线中的范围问题 ‎【例７】在平面直角坐标系中，已知圆的半径为，且圆与圆：外切，切点为.‎ ‎（1）求及圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于点，点，且，求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【分析】（1）切点在圆上，代入圆方程可得，由于两圆外切，所以在直线上，又圆的半径为，所以，解方程组可得圆心坐标，即得圆方程，注意根的取舍（2）实际为弦长问题，根据垂径定理列等量关系：设直线的方程为，则，再由，得或.（3）先确定坐标关系：设，，由得，而点在圆上，所以 ‎，代入化简得，即点在圆上，而点又在圆上，所以两圆有交点，根据两圆位置关系得，解得实数的取值范围是.‎ ‎（3）设，，因为，，，所以，①‎ 因为点在圆上，所以，② 将①代入②，得，于是点既在圆上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以，解得.因此，实数的取值范围是. ‎ ‎【规律方法】求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围.‎ 求解特定字母取值范围问题的常用方法：(1)构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．(2)构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．(3)数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解．‎ ‎【举一反三】【2018山西五校联考】设双曲线的左、右焦点分别为， ， ，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知， ，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 考点８圆锥曲线中的探索性问题 ‎【例８】已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 ‎【分析】（I）左顶点代入圆的方程，求得，根据离心率为，求得，故椭圆方程为；（II）设点，，直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程，求出的坐标，进而求得的值，利用圆心到直线的距离求得，代入，所以不存在． ‎ ‎【规律方法】所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题．这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由．求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程．‎ 解决存在性问题应注意以下几点：‎ ‎1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.‎ 解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(（组）或不等式（组）；第二步：解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论 ‎【举一反三】【2018湖北八校联考】已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．‎ ‎（1）若，过点, 的直线与抛物线相交于另一点，求的值；‎ ‎（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点， 为坐标原点， ，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 设 ，则， ，①‎ 由得： ，整理得，②‎ 将①代入②解得，∴直线，∵圆心到直线l的距离，∴，显然当时， ， 的长为定值． ‎ 考点９ 圆锥曲线中的定值、定点问题 ‎【例９】已知椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于长轴的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）点为椭圆的长轴上的一个动点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，证明：为定值．‎ ‎【分析】（1）过左焦点且垂直于长轴的弦长为通径长，即，又离心率为，得，再由，解方程组得（2）解析几何中证明定值问题，一般方法为以算代证，因为，利用，消y得，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，代入化简得定值41‎ ‎，则，又因为，同理．则 ‎，所以是定值． ‎ ‎【规律方法】1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.(2.求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ 定点、定值问题必然是在变化中所表现出 的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．‎ ‎【举一反三】【2018河南洛阳联考】如图，点是抛物线： （）的焦点，点是抛物线上的定点，且，点， 是抛物线上的动点，直线， 斜率分别为， ．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若，点是抛物线在点， 处切线的交点，记的面积为，证明为定值．‎ 考点10 圆锥曲线中的最值问题 ‎【例10】已知椭圆的短轴长为，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值.‎ ‎【分析】（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）把分解为和，所以其面积为，设出直线的方程为，整理方程组表示出，代入上式即可求得，可换元，则，则，研究求单调性即可求得其最大值. ‎ ‎【规律方法】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．‎ 常见的几何方法有：(1)直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度；(2)圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|＋R，最小值为|PC|－R(R为圆C半径)；(3)过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过P点的直径，最短的弦为过P点且与经过P点直径垂直的弦；(4)圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为‎2a(长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为‎2a(实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．‎ 常用的代数方法有：(1)利用二次函数求最值；(2)通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；(3)利用基本不等式求最值；(4)利用导数法求最值；(5)利用函数单调性求最值. ‎ ‎【举一反三】【2018江西宜春六校联考】椭圆： 的离心率为，过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点且，又过左焦点任作直线交椭圆于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）椭圆上两点， 关于直线对称，求面积的最大值．‎ 设的中点为，则， ，点在直线上，∴，故，②‎ 此时与①矛盾，故时不成立．当直线的斜率时， ， （， ），的面积，∵，∴，∴面积的最大值为，当且仅当时取等号． ‎ ‎１．已知直线是圆C：的切线，且直线与直线平行，则直线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 押题依据　直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用．‎ ‎2．如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，，为双曲线的顶点，，为双曲线虚轴的端点，为右焦点，延长与交于点，若为锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，，，．所以，．因为为锐角，所以与的夹角为锐角，所以，即．两边同时除以并化简得，解得，又，所以，故选D．‎ 押题依据　圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点．‎ ‎3. 已知双曲线的标准方程，直线与双曲线交于不同的两点，若两点在以点为圆心的同一个圆上，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ，或 ‎【答案】D 押题依据　双曲线及其性质是历年高考的重点，直线与双曲线的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．‎ ‎4. 已知双曲线：的离心率为，过双曲线的右顶点作倾斜角为的直线与两条渐近线分别相交于两点，且满足，则实数的值是（　　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，得，直线的方程为，则由，得．由，得，所以，．因为，所以，即，又由，结合，得，则，即，故选A． ‎ 押题依据　直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的热点，本题灵活新颖，此类题在高考中出现的可能性很大．‎ ‎5. 已知圆关于椭圆C：的一个焦点对称,且经过椭圆的一个顶点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设动直线l与椭圆C相交于A、B两点,已知O为坐标原点,以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,若点P在椭圆C上,求证:平行四边形OAPB的面积恒为定值.‎ 押题依据　本题将椭圆和圆联合起 设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查．关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色．‎