【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第八章第4讲　直线、平面平行的判定与性质学案 19页

第 4 讲　直线、平面平行的判定与性质 [学生用书 P130] 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与这个平面内的 一条直线平行，则该直线与此平 面平行(线线平行⇒线面平行) 因为 l∥a， a⊂α，l⊄α，所以 l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过 这条直线的任一平面与此平面的 交线与该直线平行(简记为“线面 平行⇒线线平行”) 因为 l∥α，l⊂β， α∩β＝b， 所以 l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线 与另一个平面平行，则这两 个平面平行(简记为“线面平 行⇒面面平行”) 因为 a∥β，b∥β， a∩b＝P， a⊂α，b⊂α， 所以 α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的 交线平行 因为 α∥β，α∩γ ＝a， β∩γ＝b， 所以 a∥b 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　　) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　) (5)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行，则 a∥α.(　　) (6)若 α∥β，直线 a∥α，则 a∥β.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)× 对于直线 m，n 和平面 α，若 n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　) A．充分不必要条件　　　 B.必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D (教材习题改编)如果直线 a∥平面 α，那么直线 a 与平面 α 的位置关系可另等价表述， 下列命题中正确的是(　　) A．直线 a 上有无数个点不在平面 α 内 B．直线 a 与平面 α 内的所有直线平行 C．直线 a 与平面 α 内的无数条直线不相交 D．直线 a 与平面 α 内的任意一条直线都不相交 解析：选 D.因为 a∥平面 α，直线 a 与平面 α 无公共点，因此 a 和平面 α 内的任意一条 直线都不相交，故选 D. (教材习题改编)下列命题为真的是(　　) A．若直线 l 与平面 α 有两个公共点，则 l⊄α B．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线 C．若 α∥β，a⊂α，则 a∥β D．若 α∩β＝b，a⊂α，则 a 与 β 一定相交 解析：选 C.A 错误．直线 l 和平面 α 有两个公共点，则 l⊂α. B 错误．若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 异面或平行． C 正确．因为 a 与 β 无公共点，则 a∥β. D 错误．a 与 β 有可能平行．故选 C. (教材习题改编)设 m，n 表示直线，α、β 表示平面，则下列命题为真的是(　　) A.Error!⇒m∥n　　　　　　 B.Error!⇒m∥β C.Error!⇒m∥n D．Error!⇒m∥n 解析：选 C.A 错误，因为 m 可能与 n 相交或异面． B 错误，因为 m 可能在 β 内． D 错误，m、n 可能异面或相交，故选 C. (教材习题改编)如图，正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，则 BD1 与平面 AEC 的位置关系为______． 解析：连接 BD，设 BD∩AC＝O，连接 EO，在△BDD1 中，O 为 BD 的中点，E 为 DD1 的中点，所以 EO 为△BDD1 的中位线，则 BD1∥EO，而 BD1⊄平面 ACE，EO⊂平面 ACE， 所以 BD1∥平面 ACE. 答案：平行 　　　　　　线面、面面平行的相关命题的真假判断[学生用书 P130] [典例引领] (1)已知 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　) A．若 α，β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行 B．若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C．若 α，β 不平行，则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D．若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 (2)设 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 m⊂α，n∥α，则 m∥n； ②若 α∥β，β∥γ，m⊥α，则 m⊥γ； ③若 α∩β＝n，m∥n，m∥α，则 m∥β； ④若 m∥α，n∥β，m∥n，则 α∥β. 其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)． 【解析】　(1)A 项，α，β 可能相交，故错误；B 项，直线 m，n 的位置关系不确定，可 能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则 m∥β，故错误；D 项， 假设 m，n 垂直于同一平面，则必有 m∥n 与已知 m，n 不平行矛盾，所以原命题正确，故 D 项正确． (2)①m∥n 或 m，n 异面，故①错误； 易知②正确；③m∥β 或 m⊂β，故③错误；④α∥β 或 α 与 β 相交，故④错误． 【答案】　(1)D　(2)② (1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无 论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或 排除，再逐步判断其余选项． (2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． ②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或 用反证法推断命题是否正确．　 [通关练习] 已知直线 a，b，平面 α，β，且 a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 B.根据题意，分两步来判断： ①当 α∥β 时， 因为 a⊥α，且 α∥β， 所以 a⊥β， 又因为 b⊂β， 所以 a⊥b，则“a⊥b”是“α∥β”的必要条件， ②若 a⊥b，不一定 α∥β， 当 α∩β＝b 时， 又由 a⊥α，则 a⊥b，但此时 α∥β 不成立， 即 a⊥b 不是 α∥β 的充分条件， 则“a⊥b”是“α∥β”的必要不充分条件，故选 B. 　　　　　　线面平行的判定与性质(高频考点) [学生用书 P131] 平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线 面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中．主要命题角度有： (1)判断线面的位置关系； (2)线面平行的证明； (3)线面平行性质的应用． [典例引领] 角度一　判断线面的位置关系 (2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点， M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是(　　) 【解析】　对于选项 B，如图所示，连接 CD，因为 AB∥CD，M，Q 分别是所在棱的 中点，所以 MQ∥CD，所以 AB∥MQ，又 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，所以 AB∥平面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB∥平面 MNQ.故选 A. 【答案】　A 角度二　线面平行的证明 如图，四棱锥 P­ABCD 中， AD∥BC，AB＝BC＝1 2AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点． (1)求证：AP∥平面 BEF； (2)求证：GH∥平面 PAD. 【证明】　(1)连接 EC，因为 AD∥BC，BC＝1 2AD， 所以 BC ═ ∥ AE， 所以四边形 ABCE 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点． 又因为 F 是 PC 的中点， 所以 FO∥AP， 因为 FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF， 所以 AP∥平面 BEF. (2)连接 FH，OH， 因为 F，H 分别是 PC，CD 的中点， 所以 FH∥PD， 所以 FH∥平面 PAD. 又因为 O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点，所以 OH∥AD，所以 OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H， 所以平面 OHF∥平面 PAD. 又因为 GH⊂平面 OHF， 所以 GH∥平面 PAD. 角度三　线面平行性质的应用 如图，四棱锥 P­ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥ 平面 GEFH. (1)证明：GH∥EF； (2)若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积． 【解】 (1)证明：因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂平面 PBC， 且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH， 所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC，因此 GH∥EF. (2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK. 因为 PA＝PC，O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC， 同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC＝O，且 AC，BD 都在底面内， 所以 PO⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD， 且 PO⊄平面 GEFH， 所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK， 所以 PO∥GK，且 GK⊥底面 ABCD， 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高． 由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 从而 KB＝1 4DB＝1 2OB， 即 K 为 OB 的中点． 再由 PO∥GK 得 GK＝1 2PO， 即 G 是 PB 的中点， 且 GH＝1 2BC＝4. 由已知可得 OB＝4 2. PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. 故四边形 GEFH 的面积 S＝GH＋EF 2 ·GK ＝4＋8 2 ×3＝18. 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．　 [通关练习] 如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形，四边形 ACEF 是矩形，AB＝2，AF＝1，M 是 线段 EF 的中点． (1)求证：MA∥平面 BDE. (2)若平面 ADM∩平面 BDE＝l，平面 ABM∩平面 BDE＝m，试分析 l 与 m 的位置关系， 并证明你的结论． 解： (1)证明：如图，记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE. 因为 O，M 分别是 AC，EF 的中点，四边形 ACEF 是矩形， 所以四边形 AOEM 是平行四边形，所以 AM∥OE. 又因为 OE⊂平面 BDE，AM⊄平面 BDE， 所以 AM∥平面 BDE. (2)l∥m，证明如下： 由(1)知 AM∥平面 BDE， 又 AM⊂平面 ADM，平面 ADM∩平面 BDE＝l， 所以 l∥AM，同理，AM∥平面 BDE， 又 AM⊂平面 ABM，平面 ABM∩平面 BDE＝m， 所以 m∥AM，所以 l∥m. 　　　　　　面面平行的判定与性质[学生用书 P132] [典例引领] 如图，在三棱柱 ABC­A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中 点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 【证明】　(1)因为 GH 是△A1B1C1 的中位线，所以 GH∥B1C1. 又因为 B1C1∥BC，所以 GH∥BC， 所以 B，C，H，G 四点共面． (2)因为 E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 EF∥BC， 因为 EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， 所以 EF∥平面 BCHG. 因为 A1G ═ ∥ EB， 所以四边形 A1EBG 是平行四边形， 所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 因为 A1E∩EF＝E， 所以平面 EFA1∥平面 BCHG. 1.在本例条件下，若 D 为 BC1 的中点，求证：HD∥平面 A1B1BA. 证明：如图所示，连接 HD，A1B， 因为 D 为 BC1 的中点， H 为 A1C1 的中点， 所以 HD∥A1B， 又 HD⊄平面 A1B1BA， A1B⊂平面 A1B1BA， 所以 HD∥平面 A1B1BA. 2.在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1∥平面 AC1D. 证明：如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 M， 因为四边形 A1ACC1 是平行四边形， 所以 M 是 A1C 的中点，连接 MD， 因为 D 为 BC 的中点， 所以 A1B∥DM. 因为 A1B⊂平面 A1BD1， DM⊄平面 A1BD1， 所以 DM∥平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1 ═ ∥ BD， 所以四边形 BDC1D1 为平行四边形， 所以 DC1∥BD1. 又 DC1⊄平面 A1BD1. BD1⊂平面 A1BD1， 所以 DC1∥平面 A1BD1， 又因为 DC1∩DM＝D， DC1，DM⊂平面 AC1D. 所以平面 A1BD1∥平面 AC1D. 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理；如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么 这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．　 [通关练习] 如图，四棱柱 ABCD­A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形． (1)证明：平面 A1BD∥平面 CD1B1； (2)若平面 ABCD∩平面 B1D1C＝直线 l，证明 B1D1∥l. 证明：(1)由题设知 BB1 ═ ∥ DD1， 所以四边形 BB1D1D 是平行四边形， 所以 BD∥B1D1. 又 BD⊄平面 CD1B1， B1D1⊂平面 CD1B1， 所以 BD∥平面 CD1B1. 因为 A1D1 ═ ∥ B1C1 ═ ∥ BC， 所以四边形 A1BCD1 是平行四边形， 所以 A1B∥D1C. 又 A1B⊄平面 CD1B1， D1C⊂平面 CD1B1， 所以 A1B∥平面 CD1B1. 又因为 BD∩A1B＝B， 所以平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)由(1)知平面 A1BD∥平面 CD1B1， 又平面 ABCD∩平面 B1D1C＝直线 l， 平面 ABCD∩平面 A1BD＝直线 BD， 所以直线 l∥直线 BD， 在四棱柱 ABCD­A1B1C1D1 中，四边形 BDD1B1 为平行四边形， 所以 B1D1∥BD，所以 B1D1∥l. 线线、线面、面面平行间的转化 其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化． 直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质． 平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β. 解决平行问题应注意三点 (1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误． (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件． (3)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质 上也可以相交． [学生用书 P303(单独成册)] 1．设 α，β 是两个不同的平面，m，n 是平面 α 内的两条不同直线，l1，l2 是平面 β 内的 两条相交直线，则 α∥β 的一个充分不必要条件是(　　) A．m∥l1 且 n∥l2　　　　 B.m∥β 且 n∥l2 C．m∥β 且 n∥β D．m∥β 且 l1∥α 解析：选 A.由 m∥l1，m⊂α，得 l 1∥α，同理 l 2∥α，又 l 1，l2 相交，l1，l2⊂β，所以 α∥β，反之不成立，所以 m∥l1 且 n∥l2 是 α∥β 的一个充分不必要条件． 2．已知 m，n，l 是不同的直线，α，β 是不同的平面，以下命题正确的是(　　) ①若 m∥n，m⊂α，n⊂β，则 α∥β； ②若 m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则 l⊥n； ③若 m⊥α，n⊥β，α∥β，则 m∥n； ④若 α⊥β，m∥α，n∥β，则 m⊥n. A．①③ B.③④ C．②④ D．③ 解析：选 D.①若 m∥n，m⊂α，n⊂β，则 α∥β 或 α，β 相交； ②若 m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则 l⊥n 或 l∥n 或 l，n 异面； ③正确； ④若 α⊥β，m∥α，n∥β，则 m⊥n 或 m∥n 或 m，n 异面． 3. 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 AB，AD 上的点，且 AE∶EB＝AF∶FD ＝1∶4，又 H，G 分别为 BC，CD 的中点，则(　　) A．BD∥平面 EFGH，且四边形 EFGH 是矩形 B．EF∥平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形 C．HG∥平面 ABD，且四边形 EFGH 是菱形 D．EH∥平面 ADC，且四边形 EFGH 是平行四边形 解析：选 B.由 AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4 知 EF ═ ∥ 1 5BD，所以 EF∥平面 BCD.又 H，G 分别为 BC，CD 的中点，所以 HG ═ ∥ 1 2BD，所以 EF∥HG 且 EF≠HG.所以四边形 EFGH 是 梯形． 4. 在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 A1B1，B1C1，BB1 的中点，给出下列四 个推断： ①FG∥平面 AA1D1D； ②EF∥平面 BC1D1； ③FG∥平面 BC1D1； ④平面 EFG∥平面 BC1D1. 其中推断正确的序号是(　　) A．①③ B.①④ C．②③ D．②④ 解析：选 A.因为在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E，F，G 分别是 A1B1，B1C1，BB1 的中 点，所以 FG∥BC1，因为 BC1∥AD1，所以 FG∥AD1， 因为 FG⊄平面 AA1D1D，AD1⊂平面 AA1D1D，所以 FG∥平面 AA1D1D，故①正确； 因为 EF∥A1C1，A1C1 与平面 BC1D1 相交，所以 EF 与平面 BC1D1 相交，故②错误； 因为 E，F，G 分别是 A1B1，B1C1，BB1 的中点， 所以 FG∥BC1，因为 FG⊄平面 BC1D1，BC1⊂平面 BC1D1， 所以 FG∥平面 BC1D1，故③正确； 因为 EF 与平面 BC1D1 相交，所以平面 EFG 与平面 BC1D1 相交，故④错误．故选 A. 5．设 l，m，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列命题： ①若 m∥l，且 m⊥α，则 l⊥α； ②若 m∥l，且 m∥α，则 l∥α； ③若 α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则 l∥m∥n； ④若 α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且 n∥β，则 l∥m. 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B.2 C．3 D．4 解析：选 B.由题易知①正确；②错误，l 也可以在 α 内；③错误，以墙角为例即可说明； ④正确，可以以三棱柱为例说明，故选 B. 6. 如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD­A1B1C1D1 内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面 EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱 A1D1 始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE·BF 是定值． 其中正确的命题是________． 解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，因为 A1D1∥BC，BC∥FG， 所以 A1D1∥FG 且 A1D1⊄平面 EFGH， 所以 A1D1∥平面 EFGH(水面)． 所以③是正确的； 对于④，因为水是定量的(定体积 V)， 所以 S△BEF·BC＝V，即 1 2BE·BF·BC＝V. 所以 BE·BF＝ 2V BC(定值)，即④是正确的． 答案：①③④ 7．棱长为 2 的正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，M 是棱 AA1 的中点，过 C，M，D1 作正方体 的截面，则截面的面积是________． 解析：由面面平行的性质知截面与平面 AB1 的交线 MN 是△AA1B 的中位线，所以截面 是梯形 CD1MN，易求其面积为9 2. 答案：9 2 8．已知平面 α∥β，P∉α 且 P∉ β，过点 P 的直线 m 与 α，β 分别交于 A，C，过点 P 的 直线 n 与 α，β 分别交于 B，D，且 PA＝6，AC＝9，PD＝8，则 BD 的长为________． 解析：如图 1，因为 AC∩BD＝P， 图 1 所以经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. 因为 α∥β，α∩平面 PCD＝AB， β∩平面 PCD＝CD， 所以 AB∥CD.所以PA AC＝PB BD， 即6 9＝8－BD BD ，所以 BD＝24 5 . 如图 2，同理可证 AB∥CD. 图 2 所以PA PC＝PB PD，即6 3＝BD－8 8 ， 所以 BD＝24.综上所述，BD＝24 5 或 24. 答案：24 5 或 24 9．如图，在四棱柱 ABCD­A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为菱形，E，F 分别是线段 A1D，BC1 的中点．延长 D1A1 到点 G，使得 D1A1＝A1G.证明：GB∥平面 DEF. 证明：连接 A1C，B1C，则 B1C，BC1 交于点 F. 因为 CB ═ ∥ D1A1，D1A1＝A1G， 所以 CB ═ ∥ A1G，所以四边形 BCA1G 是平行四边形，所以 GB∥A1C. 又 GB⊄平面 A1B1CD，A1C⊂平面 A1B1CD， 所以 GB∥平面 A1B1CD.又点 D，E，F 均在平面 A1B1CD 内，所以 GB∥平面 DEF. 10. 如图所示，在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是 BC，CC1，C1D1，A1A 的中点．求证： (1)BF∥HD1； (2)EG∥平面 BB1D1D； (3)平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明： (1)如图所示，取 BB1 的中点 M，连接 MH，MC1，易证四边形 HMC1D1 是平行四边形， 所以 HD1∥MC1. 又因为 MC1∥BF， 所以 BF∥HD1. (2)取 BD 的中点 O，连接 EO，D1O， 则 OE ═ ∥ 1 2DC，又 D1G ═ ∥ 1 2DC， 所以 OE ═ ∥ D1G，所以四边形 OEGD1 是平行四边形，所以 GE∥D1O. 又 GE⊄平面 BB1D1D，D1O⊂平面 BB1D1D，所以 EG∥平面 BB1D1D. (3)由(1)知 BF∥HD1，又 BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面 B1D1H，BF，BD⊂平面 BDF， 且 B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B， 所以平面 BDF∥平面 B1D1H. 1. 如图，在四面体 ABCD 中，若截面 PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为(　　) A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AC∥截面 PQMN D．异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° 解析：选 B.因为截面 PQMN 是正方形， 所以 PQ∥MN，QM∥PN， 则 PQ∥平面 ACD、QM∥平面 BDA， 所以 PQ∥AC，QM∥BD， 由 PQ⊥QM 可得 AC⊥BD，故 A 正确； 由 PQ∥AC 可得 AC∥截面 PQMN，故 C 正确； 由 BD∥PN， 所以∠MPN 是异面直线 PM 与 BD 所成的角，且为 45°，D 正确； 由上面可知：BD∥PN，MN∥AC. 所以PN BD＝AN AD，MN AC＝DN AD， 而 AN≠DN，PN＝MN， 所以 BD≠AC.B 错误．故选 B. 2．设 α，β， γ是三个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，有下列三个条件： ①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂ γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________， 则 a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)． 解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当 b∥β，a⊂γ时，a 和 b 在同一平面内， 且没有公共点，所以平行，③正确．故填入的条件为①或③. 答案：①或③ 3. 如图所示，在正四棱柱 ABCD­A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别是棱 CC1，C1D1，D1D， DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 只需满足条件 ________时，就有 MN∥平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑 全部可能情况) 解析：连接 HN，FH，FN，则 FH∥DD1，HN∥BD， 所以平面 FHN∥平面 B1BDD1，只需 M∈FH，则 MN⊂平面 FHN， 所以 MN∥平面 B1BDD1. 答案：点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合) 4. 如图，在直三棱柱 ABC­A1B1C1 中，若 BC⊥AC，∠BAC＝π 3，AC＝4，M 为 AA1 的中点， 点 P 为 BM 的中点，Q 在线段 CA1 上，且 A1Q＝3QC，则 PQ 的长度为________． 解析：由题意知，AB＝8，过点 P 作 PD∥AB 交 AA1 于点 D，连接 DQ，则 D 为 AM 的 中点，PD＝1 2AB＝4. 又因为A1Q QC ＝A1D AD ＝3， 所以 DQ∥AC，∠PDQ＝π 3，DQ＝3 4AC＝3， 在△PDQ 中， PQ＝ 42＋32－2 × 4 × 3 × cos π 3＝ 13. 答案： 13 5．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示． (1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论． 解： (1)点 F，G，H 的位置如图所示． (2)平面 BEG∥平面 ACH，证明如下： 因为 ABCD­EFGH 为正方体， 所以 BC∥FG，BC＝FG， 又 FG∥EH，FG＝EH，所以 BC∥EH，BC＝EH， 于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BE∥CH. 又 CH⊂平面 ACH，BE⊄平面 ACH， 所以 BE∥平面 ACH.同理 BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG＝B，所以平面 BEG∥平面 ACH. 6．如图，ABCD 与 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点． (1)求证：BE∥平面 DMF； (2)求证：平面 BDE∥平面 MNG. 证明：(1)如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为△ABE 的中位线，所以 BE∥MO，又 BE⊄平面 DMF，MO⊂平面 DMF，所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DE∥GN，又 DE⊄ 平面 MNG，GN⊂平面 MNG， 所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 中点，所以 MN 为△ABD 的中位线， 所以 BD∥MN，又 BD⊄平面 MNG，MN⊂平面 MNG， 所以 BD∥平面 MNG， 又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线，所以平面 BDE∥平面 MNG.