【数学】2020届一轮复习苏教版简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案 15页

‎§1.4　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考情考向分析　逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．‎ ‎1．简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．‎ ‎(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词和存在量词 ‎(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．‎ ‎(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．‎ ‎3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x∈M，綈p(x)‎ 存在性命题 存在M中的一个x，使p(x)成立 ‎∃x∈M，p(x)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ 概念方法微思考 含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？‎ 提示　p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)命题“3≥2”是真命题．(　√　)‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　√　)‎ ‎(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(　×　)‎ ‎(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P13习题T3]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．‎ ‎3．[P16例1]命题“∃x∈N，x2≤0”的否定是____________．‎ 答案　∀x∈N，x2>0‎ ‎4．[P23测试T6]命题“对于函数f(x)＝x2＋(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”)‎ 答案　真 解析　当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．‎ ‎‎ 题组三　易错自纠 ‎5．命题“綈p为真”是命题“p∧q为假”的________条件．‎ 答案　充分不必要 解析　由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假．故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．‎ ‎6．下列命题中的假命题是________．(填序号)‎ ‎①∃x∈R，lg x＝1；‎ ‎②∃x∈R，sin x＝0；‎ ‎③∀x∈R，x3>0；‎ ‎④∀x∈R,2x>0.‎ 答案　③‎ 解析　当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；‎ 当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；‎ 当x<0时，x3<0，则③为假命题；‎ 由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．‎ ‎7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．‎ 答案　(－∞，－2]‎ 解析　由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.‎ 题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是________．(填序号)‎ ‎①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④p∨(綈q)．‎ 答案　①‎ 解析　如图所示，‎ 若a＝，b＝，c＝，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．‎ ‎2．设命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0,1)，则下列命题中是真命题的为________．(填序号)‎ ‎①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④綈q.‎ 答案　②‎ 解析　函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．‎ 由3x>0，得0<<1，‎ 所以函数y＝的值域为(0,1)，故命题q为真命题．‎ 所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．‎ ‎3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：‎ ‎①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．‎ 其中，正确的是________．(填序号)‎ 答案　②‎ 解析　命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．‎ ‎‎ 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式；‎ ‎(2)判断其中命题p，q的真假；‎ ‎(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．‎ 题型二　含有一个量词的命题 命题点1　全称命题、存在性命题的真假 例1 下列四个命题：‎ ‎①∃x∈(0，＋∞)，x；‎ ‎④∀x∈，x<.‎ 其中真命题序号为________．‎ 答案　②④‎ 解析　对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故①是假命题；‎ 对于②，当x＝时，有成立，故②是真命题；‎ 对于③，当01>x，故③是假命题；‎ 对于④，∀x∈，x<1<，故④是真命题．‎ 命题点2　含一个量词的命题的否定 例2　(1)命题：“∃x∈R，sin x＋cos x>2”的否定是________________．‎ 答案　∀x∈R，sin x＋cos x≤2‎ ‎(2)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是__________．‎ 答案　∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0‎ 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x0，使p(x0)成立．‎ ‎(2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；‎ ‎②对原命题的结论进行否定．‎ 跟踪训练1 (1)设命题p：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x；命题q：∃x∈(－∞，0)，3x>2x，则下列命题为真命题的是________．(填序号)‎ ‎①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q)．‎ 答案　②‎ 解析　∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，所以命题p为真命题；∀x∈(－∞，0)，3x<2x，所以命题q为假命题，因此p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题，p∧(綈q)为真命题，故填②.‎ ‎(2)命题“∀x∈R，x>0”的否定是______________．‎ 答案　∃x∈R，x≤0‎ 解析　全称命题的否定是存在性命题，“>”的否定是“≤”．‎ ‎(3)已知命题“∃x∈R，ex＋a<0”为假命题，则a的取值范围是________．‎ 答案　[0，＋∞)‎ 解析　因为命题“∃x∈R，ex＋a<0”为假命题，‎ 所以ex＋a≥0恒成立，‎ 所以a≥(－ex)max的最大值．‎ ‎∵－ex<0，∴a≥0.‎ 题型三　命题中参数的取值范围 例3 (1)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．‎ 答案　[e,4]‎ 解析　若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．‎ ‎(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．‎ 答案　 解析　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，‎ g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，‎ 得0≥－m，所以m≥.‎ 引申探究 本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．‎ 答案　 解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，‎ 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.‎ 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．‎ 跟踪训练2 (1)(2018·苏北三市期末)由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.‎ 答案　1‎ 解析　由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，‎ 所以Δ＝4－4m<0，即m>1，‎ 故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.‎ ‎‎ ‎(2)已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________．‎ 答案　∪(1，＋∞)‎ 解析　由命题p为真知，0恒成立，需<2，即c>，‎ 即由命题q为真，知c>.‎ 若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，‎ 则p，q中必有一真一假，‎ 当p真q假时，c的取值范围是01.‎ 综上可知，c的取值范围是∪(1，＋∞)．‎ 常用逻辑用语 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．‎ 一、命题的真假判断 例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)‎ ‎①∀x∈R，－x2＋x－1<0；‎ ‎②∀x∈R，|x|>x；‎ ‎③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；‎ ‎④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.‎ 答案　①‎ 解析　命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．‎ ‎‎ ‎(2)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋4)≥2，命题q：y＝是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)‎ ‎①p∨(綈q)；②p∧q；③(綈p)∨q；④(綈p)∧(綈q)．‎ 答案　①‎ 解析　命题p：函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，即命题p是真命题，因此綈p为假命题；命题q：y＝在定义域上是增函数，故命题q是假命题，綈q是真命题．因此①是真命题，②③④均为假命题．‎ 二、充要条件的判断 例2 (1)“a>1”是“函数f(x)＝a·x＋cos x在R上单调递增”的________条件．‎ 答案　充分不必要 解析　由题意，函数f(x)＝a·x＋cos x在R上单调递增，‎ 则f′(x)≥0恒成立，‎ 即f′(x)＝a－sin x≥0，即a≥sin x，‎ 因为－1≤sin x≤1，即a≥1，‎ 所以“a>1”是“函数f(x)＝a·x＋cos x在R上单调递增”的充分不必要条件．‎ ‎(2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设p：00，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.‎ ‎(2)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．‎ 答案　(－∞，－2]∪(－1，＋∞)‎ 解析　由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，‎ 可得m≤－1，‎ 由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2－1.‎ ‎1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是________．(填序号)‎ ‎①p为真；②綈q为假；③p∧q为假；④p∨q为真．‎ 答案　③‎ 解析　函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，故命题q为假命题，故p∧q为假．‎ ‎2．命题“∃x∈R，x2－2x＋1≤0”的否定形式为________．‎ 答案　∀x∈R，x2－2x＋1>0‎ 解析　∵命题是存在性命题，∴根据存在性命题的否定是全称命题，‎ 命题“∃x∈R，x2－2x＋1≤0”的否定形式为：∀x∈R，x2－2x＋1>0.‎ ‎3．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为__________．‎ 答案　∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1‎ 解析　因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．‎ ‎4．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是________．(填序号)‎ ‎①锐角三角形有一个内角是钝角；‎ ‎②至少有一个实数x，使x2≤0；‎ ‎③两个无理数的和必是无理数；‎ ‎④存在一个负数x，>2.‎ 答案　②‎ 解析　①中锐角三角形的内角都是锐角，所以①是假命题；②中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以②既是存在性命题又是真命题；③是全称命题，又是假命题；④中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以④是假命题．‎ ‎5．设命题p：∃x∈(0，＋∞)，x＋>3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是________．(填序号)‎ ‎①p∧(綈q)；②(綈p)∧q；③p∧q；④(綈p)∨q.‎ 答案　①‎ 解析　命题p：∃x∈(0，＋∞)，x＋>3，当x＝3时，x＋＝>3，命题p为真；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，当x＝4时，42＝24，命题q为假．所以p∧(綈q)为真．‎ ‎6．已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是am＋an＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下列为真命题的是______．(填序号)‎ ‎①(綈p)∧(綈q)；②(綈p)∨(綈q)；③p∨(綈q)；④p∧q.‎ 答案　②‎ 解析　当a＝1.1，x＝2时，‎ ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，‎ 此时，ax0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－20，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　[2，＋∞)‎ 解析　依题意知，p，q均为假命题．‎ 当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；‎ 当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，‎ 解得m≤－2或m≥2.‎ 因此由p，q均为假命题得即m≥2.‎ ‎11．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.‎ 答案　0‎ 解析　若“∃x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0.‎ ‎12．已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．‎ 答案　q1，q4‎ 解析　因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题．‎ ‎13．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|11时，f′(x)>0，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是____________．‎ 答案　 解析　∀x∈，2x>m(x2＋1)，‎ 即m<＝在上恒成立，‎ 当x＝时，max＝，‎ ‎∴min＝，∴由p真得m<.‎ 设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，则函数f(x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，又t>0，所以由q真得m<1.‎ 又“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q一真一假，‎ 则或解得≤m<1.‎ 故所求实数m的取值范围是.‎