【数学】2019届一轮复习北师大版数列的综合问题学案 22页

‎ 透析高考数 23题对对碰【 精品】 第三篇 主题17 数列的综合问题 ‎【主题考法】本主题考题形式为解答题，主要考查等差数列与等比数列定义、性质及通项公式，考查利用构造法、叠加法、叠乘法及第n项与前n项和公式法求数列通项公式方法，主要考查分组求和法、拆项法、错位相减法、并项法等求和方法，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档难度，分数为12分.‎ ‎【主题考前回扣】‎ ‎1.求数列的通项公式的常见类型和解法 ‎ ‎（1）观察法 对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出的通项公式，再用数 归纳法证明.‎ ‎（2）累加法 对于可转化为形式数列的通项公式问题，化为，通过累加得= =，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数 ‎（3）累积法 对于可转化为形式数列的通项公式问题，化为，通过累积得= =，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数 ‎（4）构造法 对于化为（其中是常数）型，常用待定系数法将其化为，由等比数列定义知{}是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式先求出通项公式，再求出的通项公式.‎ ‎（5）利用前项和与第项关系求通项 对递推公式为与的关系式(或)，利用进行求解.注意=成立的条件是≥2，求时不要漏掉=1即=的情况，当=适合=时，=；当=不适合=时，用分段函数表示. = ‎ ‎2.数列求和的主要方法 ‎ ‎（1）分组求和 若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n和公式求前n项和.‎ ‎（2）拆项相消法 若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.‎ 常用拆相公式 ①若是各项都不为0公差为的等差数列，则=‎ ‎②==‎ ‎（3）倒序相加法 如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数 思想 ‎（4）错位相减法 若数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，则在数列的前项和=‎ ‎= ①，两边同乘以公比得= ② ，①式与②式错位相减得=‎ ‎ = ，转化为等比数列，的前n项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.‎ ‎（5）并项求和法 若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．‎ ‎【易错点提醒】‎ ‎1.已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.‎ ‎2.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．‎ ‎7．裂项相消法求和时，一注意分裂前后的值要相等，如≠－，而是＝；二注意要注意消去了哪些项，保留了哪些项. = ‎ ‎8．通项中含有(－1)n的数列求和时，要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式．‎ ‎【主题考向】‎ 考向一 等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式 ‎【解决法宝】对等差数列、等比数列基本量问题，利用等差数列、等比数列通项公式、性质、前n项和公式列出关于首项、公差（公比）的方程组，解出首项、公差（公比）即可解决问题.‎ 例1【河南省郑州市2018年二质检】各项均为正数的等比数列中， ,且成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)数列，已知，求的前项和.‎ ‎【分析】（1）根据题意得到解得 或舍去负值，故得到数列的通项；（2）根据第一问得到，裂项求和即可.‎ ‎【解析】(Ⅰ） ， ， 成等差数列，‎ ‎2=+即 ‎ ‎ 解得 或（舍）‎ ‎ .‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）可得 ‎ 考向二 已知递推公式求数列的通项公式 ‎【解决法宝】求数列的通项公式的常见类型和解法 ‎ ‎（1）观察法 对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出的通项公式，再用数 归纳法证明.‎ ‎（2）累加法 对于可转化为形式数列的通项公式问题，化为，通过累加得= =，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数 ‎（3）累积法 对于可转化为形式数列的通项公式问题，化为，通过累积得= =，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数 ‎（4）构造法 对于化为（其中是常数）型，常用待定系数法将其化为，由等比数列定义知{}是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式先求出通项公式，再求出的通项公式. - ‎ ‎（5）利用前项和与第项关系求通项 对递推公式为与的关系式(或)，利用进行求解.注意=成立的条件是≥2，求时不要漏掉=1即=的情况，当=适合=时，=；当=不适合=时，用分段函数表示.‎ 例2【北京市人大附中 十月考】已知数列满足, ‎ ‎（1）求的值;‎ ‎（2）证明 是等比数列;‎ ‎（3）求的通项公式.‎ ‎【分析】(1)第(1)问,直接根据递推关系求出的值.(2)第（2）问，一般利用等比数列的定义证明. (3)第（3）问， 先利用第（2）的结论求出，再利用累加法求的通项公式.‎ ‎【解析】（1）解 由题意知 ‎ ‎（2）证明 由（Ⅰ）可知, ‎ 当时, ‎ 所以是以为首项, 为公比的等比数列.‎ 综上所述,命题得证.‎ ‎（3）解 由（Ⅱ）知 ‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 所以.‎ 综上所述, 的通项公式为.‎ 考向三 数列求和 ‎【解决法宝】数列求和的主要方法 ‎ ‎（1）分组求和 若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n和公式求前n项和.‎ ‎（2）拆项相消法 若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.‎ ‎ 常用拆相公式 ①若是各项都不为0公差为的等差数列，则=‎ ‎ ②==‎ ‎（3）倒序相加法 如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数 思想 ‎（4）错位相减法 若数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，则在数列的前项和=‎ ‎= ①，两边同乘以公比得= ② ，①式与②式错位相减得=‎ ‎ = ，转化为等比数列，的前n项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.‎ （5） 并项求和法 若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．‎ 例3【云南省昆明市 第二次统考】已知数列中， ， 的前项和满足 . - ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足 ，求的前项和.‎ ‎【分析】（1）利用公式可求的通项的表达式。（2）由（1），即数列由两个不同公比的等比数列相加，采用分组求和可求得前n项和。‎ ‎【解析】（1）由①，得②‎ 则②①得.当时满足上式，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以 ‎+‎ ‎ .‎ 例4【四川省棠湖中 3月考】已知数列的前项和为，向量， 满足条件⊥‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【分析】（1）由⊥可得，然后根据与的关系可得．（2）由（1）可得，根据数列项的特征选择用错位相减法求和．‎ ‎【解析】（1）∵⊥,， ，‎ ‎∴, ‎ 当时， ，‎ 当时， 满足上式，‎ ‎∴.‎ 例5．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，17】（本小题满分12分）‎ 数列的前项和满足，且成等差数列．　‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【分析】（1）由通项与和项关系求数列通项公式，需注意分类讨论，即 ‎，而由得数列成等比是不充分的，需强调每一项不为零，这就必须求出首项（2）因为，所以一般利用裂项求和 ，即 考向四 数列与不等式等知识的交汇 ‎【解题法宝】1.求解数列与函数交汇问题注意两点 (1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；‎ ‎(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.‎ ‎2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.‎ 例6 【湖南省郴州市 二质检】已知在等比数列中， ，且， ， 成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，数列的前项和为，试比较与的大小.‎ ‎【分析】（Ⅰ）因为，所以可根据， ， 成等差数列列出关于首公比 的方程，解得的值，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论可得，根据分组求和法，利用等差数列求和公式以及等比数列求和公式可得，再利用做差法可比较与的大小.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为，∵， ， 成等差数列，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）∵‎ ‎∴‎ ‎.‎ 因为，所以 ‎【主题集训】‎ ‎1．【江西省临川一中等九校 联考】数列的前项和，数列满足 ‎（1）求数列， 的通项公式； ‎ ‎（2）求的前项和.‎ ‎【解析】（1）时 当时 由 ‎（2）‎ ‎2‎ ‎2.【湖南省三湘名校教育联盟 三联考】已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）∵，∴，∴，‎ ‎∴是首项为，公比为3的等比数列，‎ ‎∴，即.‎ ‎（2）由（1）知， ，∴，则，‎ ‎∴，‎ 令，①‎ ‎，②‎ ‎①②得 ‎∴.∴.‎ ‎3.【江西省上饶市 二模】数列的前项和为，且，数列为等差数列，且.‎ ‎（1）分别求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ 相减，得，‎ ‎∴．‎ ‎4【江西省上饶市 二模】已知数列的前项和.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求.‎ ‎【解析】由，则（）. ‎ 当时， ， ‎ 综上. ‎ ‎（2）由. ‎ ‎ ‎ ‎5.【河南安阳 二模】设等差数列的前项和为，点在函数（）的图象上，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）设数列的公差为，则，又，两式对照得 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）‎ 则 两式相减得 ‎6.【宁夏石嘴山市三中 一模】已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，且满足 ， ， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎(2)数列的前项和为，若对一切正整数都成立，求的最小值.‎ ‎【解析】（1）由已知可得，解得d＝q＝2，所以an＝2n＋1，bn＝2n－1，‎ （2） 由（1）知，‎ ‎∴，①‎ ‎，②‎ ①- ‎②得 ‎ ‎ ==，‎ ‎∴， ‎ ‎∵==＞0，‎ ‎∴数列是单调递增数列，当时，Tn→10，所以M的最小值为10.‎ ‎7.【北京市西城161中 上期中】设数列的前项和为，满足， ．‎ ‎（）求， 的值．‎ ‎（）求数列的通项公式，并求数列的前项和．‎ ‎【解析】（）∵，∴，‎ ‎∴， ．‎ ‎（）∵，‎ ‎∴当时， ，‎ 两式相减得，即，‎ ‎∴．‎ 又由， ，得，‎ ‎∴数列是以为首项， 为公比的等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎8.【河北省衡水中 七调】已知数列的前项和满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎（2）由（1）得，所以， ①‎ ‎， ②‎ ‎②①，得 ，‎ 所以.‎ ‎9.【辽宁省沈阳市东北育才 校 三模】已知数列的前项和为,且对一切正整数恒成立.‎ ‎（1）求当为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，记数列的前项和为，求.‎ ‎【解析】（1）由得 当时， ，‎ 两式相减得 ， ‎ 因为数列是等比数列，所以，‎ 又因为，所以解得 ,得 ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎10.【山东省烟台市 诊测】已知数列的前项和 ‎(1)求数列的通项公式 ‎(2)设数列满足,求数列的前n项和Tn ‎【解析】（1）当时， . ‎ 当时， 满足上式, 所以 . ‎ ‎（2）由题意得., ‎ ‎.‎ ‎11.【四川凉山州 二诊】设数列的前项和是，且是等差数列，已知， .‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎12.【广西桂林、贺州、崇左三市 二联考】已知数列为等比数列，其前项和为，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）由，得.‎ ‎∴‎ 当时， .‎ ‎∵.∴是以为首项，4为公比的等比数列.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴.‎ 当时， ，符合上式.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知.‎ ‎∴.①‎ ‎.‎ ‎①-②得 ，‎ ‎∴‎ ‎13．【新疆乌鲁木齐地区 二诊】已知是等差数列，且，；数列满足 ．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，若，求的最大值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ 依题意有，解得，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎，‎ 由可得．‎ 设，‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，‎ ‎∴的最大值为8．‎ ‎14.【东北三省东北师大附中等校 一模】已知正项数列满足 ，其中为数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ‎ ‎ .‎ ‎15．【广东省珠海市 3月质检】已知数列的前项和为，满足，.‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）∵……①，∴……②，‎ ‎②-①得，‎ ‎∵，∴ ，∴，‎ ‎∴时，，，即时，，‎ ‎∴数列是为首项，为公比的等比数列，∴.‎ ‎（2） ，则，‎ ‎∴ ……③，‎ ‎∴ ……④，‎ ‎④-③得 ‎ ‎ .‎ ‎16.【重庆八中2017届高三上 期二调，17】已知数列中，，（，）．‎ ‎（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前和．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ 故是以为首项，为公差的等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ 令，①‎ 则，②‎ ‎①②得 ，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎17．【广西梧州市 二模】已知数列的前项和，等比数列的前项和为，若，. ‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）求满足的最小的值.‎ ‎【解析】（1），时，‎ ‎，‎ 又时，成立，∴，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴的公比，∴.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎∵随增大而增大，‎ 又，，‎ ‎∴的最小值为8.‎ ‎18．【山东省枣庄市2017届高三上 期期末，17】（本小题满分12分）已知为各项均为正数的数列的前项和,.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为,若对恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2)1．‎ ‎【解析】(1)当时，由，得，即.‎ 又，解得.由，可知. ‎ 两式相减，得，即.‎ 由于，可得，即，‎ 所以是首项为，公差为的等差数列，所以.‎ ‎(2)由 ，可得 ‎.‎ 因为，所以，所以数列是递增数列，‎ 所以，所以实数的最大值是.‎ ‎ 19．【安徽省宿州市 一质检】在数列中， ， .‎ ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【解析】（I）由已知有 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 又当时， ，满足上式．‎ ‎∴ () ．‎ ‎（II）由（I）知,‎ ‎∴‎ 而,‎ 令 ①‎ ‎∴②‎ ‎①-②得 ‎．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎20．【江门市2017届普通高中高三调研测试】已知是等差数列，，．‎ ‎⑴求数列的通项公式；‎ ‎⑵对一切正整数，设，求数列的前项和．‎ ‎【解析】⑴依题意，设数列的公差为，则，解得 数列的通项公式