【数学】2019届一轮复习北师大版 不等式选讲 学案 7页

第一单元　高考中档大题突破 解答题06：选修4－5(不等式选讲)‎ 年 份 卷 别 具体考查内容及命题位置 命题分析 ‎2017‎ Ⅰ卷 不等式的证明·T23‎ ‎1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．‎ ‎2．此部分命题形式单一，稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.‎ Ⅱ卷 绝对值不等式的解法及恒成立问题·T23‎ Ⅲ卷 绝对值不等式的解法及不等式有解求参数问题·T23‎ ‎2016‎ 甲卷 含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式·T24‎ 乙卷 绝对值不等式的解法及图象·T24‎ 丙卷 绝对值不等式解法·T24‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积公式·T24‎ Ⅱ卷 不等式的证明、充要条件的判断·T24‎ ‎2014‎ Ⅰ卷 基本不等式·T24‎ Ⅱ卷 绝对值的三角不等式、基本不等式、一元二次不等式·T24‎ ‎2013‎ Ⅰ卷 绝对值不等式的求解、分段函数及其图象及不等式恒成立问题·T24‎ Ⅱ卷 基本不等式的应用·T24‎ 基本考点——绝对值不等式 ‎1．含有绝对值的不等式的解法 ‎(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；‎ ‎(2)|f(x)|0)⇔－a1的解集．‎ 解：(1)由题意得f(x)＝ 故y＝f(x)的图象如图所示．‎ ‎(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，‎ 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.‎ 故f(x)>1的解集为{x|15}．‎ 所以|f(x)|>1的解集为 ‎{x|x<或15}.2.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①‎ 当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；‎ 当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；‎ 当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，‎ 从而1＜x≤.‎ 所以f(x)≥g(x)的解集为.‎ ‎(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，‎ 所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.‎ 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，‎ 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.‎ 所以a的取值范围为[－1,1]．‎ 常考热点——证明不等式 ‎1．含有绝对值的不等式的性质 ‎|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎2．算术—几何平均不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则 ≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ ‎3．证明不等式的3种基本方法 ‎(1)比较法有作差比较法和作商比较法两种．‎ ‎(2)用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，一方面要注意基本不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．‎ ‎(3)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法．‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：‎ ‎(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；‎ ‎(2)a＋b≤2.‎ 证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6‎ ‎＝(a3＋b3)2－‎2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋‎3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，‎ 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.‎ ‎2．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝|x－|＋|x＋|，M为不等式f(x)<2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.‎ ‎(1)解：f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；‎ 当－