【数学】2018届一轮复习北师大版第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第二节平面向量基本定理及坐标表示教案 12页

第二节　平面向量基本定理及坐标表示 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解平面向量的基本定理及其意义；‎ ‎2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；‎ ‎3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；‎ ‎4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。‎ ‎2015，北京卷，13,5分(平面向量基本定理)‎ ‎2015，江苏卷，6,5分(平面向量坐标运算)‎ ‎2013，北京卷，13,5分(平面向量基本定理)‎ ‎1.以考查平面向量的坐标运算为主，平面向量基本定理的应用也是考查的热点；‎ ‎2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低，主要与平面向量的数量积结合考查。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．平面向量基本定理 ‎(1)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。‎ ‎(2)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。‎ ‎2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝x i＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y。‎ ‎3．平面向量的坐标运算 向量的加法、减法 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)‎ 向量的 数乘 设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)‎ 向量坐标的求法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)‎ ‎4．向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0。‎ 微点提醒 ‎1．能作为基底的两个向量必须是不共线的。‎ ‎2．向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但由于向量的坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变。‎ ‎3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1,3)，P2(4,0)且P是P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)‎ A．(2,2) B．(3，－1)‎ C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)‎ ‎【解析】　由题意得＝或＝，＝(3，－3)。‎ 设P(x，y)，则＝(x－1，y－3)，‎ 当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，‎ 所以x＝2，y＝2时，即P(2,2)。‎ 当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，‎ 所以x＝3，y＝1，即P(3,1)。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．(必修4P‎108A组T7改编)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)‎ A．－ B. C．－2 D．2‎ ‎【解析】　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(‎2m－n,‎3m＋2n)，a－2b ‎＝(4，－1)。由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－。故选A。‎ ‎【答案】　A 二、双基查验 ‎1．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝(　　)‎ A．(4,6) B．(－4，－6)‎ C．(－2，－2) D．(2,2)‎ ‎【解析】　∵＝＋，‎ ‎∴＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于(　　)‎ A．(－2，－1) B．(2,1)‎ C．(3，－1) D．(－3,1)‎ ‎【解析】　由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，‎ 故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎3．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　∵A(4,1)，B(7，－3)，∴＝(3，－4)。‎ ‎∴与同向的单位向量为＝。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设＝a，＝b。若＝ma＋nb，则＝________。‎ ‎【解析】　∵＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b，‎ ‎∴m＝，n＝－1。∴＝－4。‎ ‎【答案】　－4‎ ‎5．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为________。‎ ‎【解析】　设＝(x，y)，因为＝＋，‎ 所以(1,3)＝(2,4)＋(x，y)，‎ 所以即所以＝(－1，－1)，‎ 所以＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)。‎ ‎【答案】　(－3，－5)‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 平面向量基本定理及其应用…………母题发散 ‎【典例1】　(1)如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)‎ A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2‎ ‎(2)(2017·福州模拟)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________。‎ ‎【解析】　(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；‎ 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；‎ 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；‎ 选项D中，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以两向量是共线向量。故选D。‎ ‎(2)因为＝＋，‎ 所以3＝2＋，‎ 即2－2＝－，‎ 所以2＝。‎ 即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，‎ 又因为A，M，Q三点共线，设＝λ。‎ 所以＝－＝λ－＝‎ λ－＝＋，‎ 又＝t＝t(－)＝‎ t＝－t。‎ 故解得故t的值是。‎ ‎【答案】　(1)D　(2) ‎【母题变式】　在本典例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？‎ ‎【解析】　由(2)的解析＝＋及λ＝，＝2知，＝λ(－)＋ ‎＝＋(1－λ) ‎＝λ＋(1－λ)＝。‎ 因此点M是AQ的中点。‎ ‎【答案】　点M是AQ的中点 反思归纳　应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：‎ ‎(1)运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；‎ ‎(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。‎ 考点二 ‎ 平面向量的坐标运算 ‎【典例2】　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)。设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b。‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标。‎ ‎【解析】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)。‎ ‎(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)。‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)，‎ ‎∴解得 ‎(3)∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝‎3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)。‎ ‎∴M(0,20)。‎ 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)。‎ ‎∴N(9,2)。∴＝(9，－18)。‎ ‎【答案】　(1)(6，－42)　(2)m＝－1，n＝－1‎ ‎(3)M(0,20)　N(9,2)　＝(9，－18)‎ 反思归纳　向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。‎ ‎【变式训练】　(1)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________。‎ ‎(2)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________。‎ ‎【解析】　(1)＝＝－＝(－1，－1)，＝＋＝(－2，－4)＋(－1，－1)＝(－3，－5)。‎ ‎(2)设a＝(x，y)，x<0，y<0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)。‎ ‎【答案】　(1)(－3，－5)　(2)(－4，－2)‎ 考点三 ‎ 向量共线的坐标表示…………多维探究 角度一：利用向量共线的坐标运算求参数值 ‎【典例3】　设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________。‎ ‎【解析】　由a∥b得sin2θ－cos2θ＝0，即2sinθcosθ＝cos2θ，又0<θ<，cosθ≠0，所以2sinθ＝cosθ可得tanθ＝。‎ ‎【答案】　 角度二：利用向量共线的坐标运算求点的坐标 ‎【典例4】　(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________。‎ ‎(2)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________。‎ ‎【解析】　(1)∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，‎ ‎∴＝2。‎ 设点D的坐标为(x，y)，‎ 则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，‎ ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，‎ ‎∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，‎ ‎∴解得故点D的坐标为(2,4)。‎ ‎(2)解法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)。‎ 又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝‎ ＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)。‎ 解法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y。‎ 又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，‎ 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，‎ 所以点P的坐标为(3,3)。‎ ‎【答案】　(1)(2,4)　(2)(3,3)‎ 反思归纳　平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 ‎(1)利用两向量共线求参数。如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y‎1”‎解题比较方便。‎ ‎(2)利用两向量共线的条件求向量坐标。一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量。‎ ‎(3)三点共线问题。A，B，C三点共线等价于与共线。‎ ‎【变式训练】　(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为________。‎ ‎(2)设＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________。‎ ‎【解析】　(1)ma＋4b＝(‎2m－4,‎3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，‎ 由于ma＋4b与a－2b共线，‎ ‎∴－(‎2m－4)＝4(‎3m＋8)，解得m＝－2。‎ ‎(2)由题意得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，‎ 即整理得‎2a＋b＝2，‎ 所以＋＝(‎2a＋b)＝≥＝(当且仅当b＝a时，等号成立)。‎ ‎【答案】　(1)－2　(2) 微考场　新提升 ‎1．在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．b－a B．b＋a C．a＋b D．a－b 解析　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a。故选A。‎ 答案　A ‎2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)‎ A．－a＋b B.a－b C．－a－b D．－a＋b 解析　设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，‎ ‎∴∴ ‎∴c＝a－b。故选B。‎ 答案　B ‎3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量‎4a,4b－‎2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝(　　)‎ A．(2,6) B．(－2,6)‎ C．(2，－6) D．(－2，－6)‎ 解析　设d＝(x，y)，由题意知‎4a＝(4，－12)，4b－‎2c＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)，又‎4a＋4b－‎2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)。故选D。‎ 答案　D ‎4．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________。‎ 解析　P中，a＝(－1＋m,1＋‎2m)，‎ Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)。‎ 则得 此时a＝b＝(－13，－23)。‎ 答案　{(－13，－23)}‎ ‎5．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________。‎ 解析　＝(a－1,3)，＝(－3,4)，‎ 据题意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即‎4a＝－5，‎ ‎∴a＝－。‎ 答案　－ 微专题　巧突破 向量问题坐标化 向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础。在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷。‎ ‎【典例】　(2016·四川高考)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. ‎【解析】　建立平面直角坐标系如图所示，则B(－，0)，C(，0)，A(0,3)，则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1。设P(x，y)，M(x0，y0)，则x＝2x0－，y＝2y0，‎ 代入圆的方程得2＋2＝，所以点M的轨迹方程为2＋2＝，它表示以为圆心，以为半径的圆，所以||max＝＋＝，所以||2max＝。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎【变式训练】　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为。如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动。若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值。‎ ‎【解析】　以O为坐标原点、所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B。‎ 设∠AOC＝α，则C(cosα，sinα)。‎ 由＝x＋y，‎ 得 所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2。‎ ‎【答案】　2‎