【数学】2019届一轮复习北师大版复　数学案 7页

第3练　复　数 ‎[明考情]‎ 复数是高考必考题，以选择题形式出现，题目难度为低档，多数在第一题或第二题的位置.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.复数的概念.‎ ‎2.复数的运算.‎ ‎3.复数的几何意义.‎ 考点一　复数的概念 要点重组　(1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.‎ (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).‎ (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).‎ (4)复数的模：向量的模r叫做复数 ＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作| |或|a＋bi|，即| |＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R).‎ ‎1.(2017·全国Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)‎ A.i(1＋i)2 B.i2(1－i)‎ C.(1＋i)2 D.i(1＋i)‎ 答案　C 解析　A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数；‎ B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；‎ C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数；‎ D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数.‎ 故选C.‎ ‎2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于(　　)‎ A.5－4iB.5＋4iC.3－4iD.3＋4i 答案　D 解析　由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，‎ ‎∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.‎ ‎3.设复数 满足＝i，则| |等于(　　)‎ A.1B.C.D.2‎ 答案　A 解析　由＝i，得1＋ ＝i－ i，∴ ＝＝i，‎ ‎∴| |＝|i|＝1.‎ ‎4.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，‎ 反过来(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，‎ 则a2－b2＝0，2ab＝2，‎ 解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，‎ 故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件，‎ 故选A.‎ ‎5.(2016·江苏)复数 ＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则 的实部是________.‎ 答案　5‎ 解析　 ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故 的实部为5.‎ ‎6.复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虚数，则实数m的取值范围是____________.‎ 答案　{m|m≠6且m≠－1}‎ 考点二　复数的运算 方法技巧　复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.‎ ‎7.(2016·山东)若复数 满足2 ＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则 等于(　　)‎ A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i 答案　B 解析　设 ＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，‎ ‎∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，‎ ‎∴解得∴ ＝1－2i，故选B.‎ ‎8.已知复数 满足(3＋4i) ＝25，则 等于(　　)‎ A.3－4iB.3＋4iC.－3－4iD.－3＋4i 答案　A 解析　由题意得 ＝＝＝＝3－4i，故选A.‎ ‎9.设i是虚数单位，表示复数 的共轭复数.若 ＝1＋i，则＋i·等于(　　)‎ A.－2B.－2iC.2D.2i 答案　C 解析　由题意知，＋i·＝＋i(1－i)＝＋1＋i＝1－i＋1＋i＝2，故选C.‎ ‎10.(2017·天津)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________.‎ 答案　－2‎ 解析　∵a∈R，‎ ＝＝＝－i为实数，‎ ‎∴－＝0，∴a＝－2.‎ ‎11.(2017·浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝_____，ab＝_____.‎ 答案　5　2‎ 解析　(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i，‎ 得 解得a2＝4，b2＝1.‎ 所以a2＋b2＝5，ab＝2.‎ 考点三　复数的几何意义 要点重组　(1)复数 ＝a＋bi复平面内的点 (a，b)(a，b∈R).‎ ‎(2)复数 ＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.‎ ‎12.(2017·北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，1) B.(－∞，－1)‎ C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)‎ 答案　B 解析　∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，‎ 又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴解得a<－1.‎ 故选B.‎ ‎13.设复数 1， 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 1＝2＋i，则 1 2等于(　　)‎ A.－5B.5C.－4＋iD.－4－i 答案　A 解析　由题意知， 2＝－2＋i，所以 1 2＝－5，故选A.‎ ‎14.(2016·全国Ⅱ)已知 ＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(－3，1) B.(－1，3)‎ C.(1，＋∞) D.(－∞，－3)‎ 答案　A 解析　由复数 ＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，得 解得－3