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- 2021-06-16 发布
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第十一章 坐标系与参数方程
第67讲 坐标系
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解坐标系的作用.
2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
4.能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
2017·全国卷Ⅱ,22
2016·全国卷Ⅰ,23
2016·北京卷,11
极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程.
分值:5~10分
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系
(1)极坐标系的概念
①极坐标系:
如图所示,在平面内取一个__定点__O,点O叫做极点,自极点O引一条__射线__Ox,Ox叫做极轴;再选定一个__长度单位__、一个__角度单位__(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
②极坐标:
一般地,没有特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
③点与极坐标的关系:
一般地,极坐标(ρ,θ)与 (ρ,θ+2kπ)(k∈Z) 表示同一个点,特别地,极点O的坐标为 (0,θ)(θ∈R) ,与直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有__无数__种表示.
如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标__(ρ,θ)__表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
__ρ=r(0≤θ<2π) __
圆心为(r,0),半径为r的圆
__ρ=2rcos θ__
____
圆心为,半径为r的圆
__ρ=2rsin_θ(0≤θ<π)__
过极点,倾斜角为α的直线
__θ=α(ρ∈R) __或
__θ=α+π(ρ∈R) __
过点(a,0),与极轴垂直的直线
__ρcos θ=a__
____
过点,与极轴平行的直线
__ρsin_θ=a(0<θ<π)__
1.思维辨析(在括号内打“√”或打“×”).
(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.( × )
(2)在伸缩变换下,椭圆可变为圆,圆可变为椭圆.( √ )
(3)过极点,倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ=α或θ=π+α. ( √ )
(4)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asin θ.( × )
2.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y=sin x的方程变为__y′=3sin_2x′__.
解析 由知
代入y=sin x中得y′=3sin 2x′.
3.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为____.
解析 因为点P(1,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为.
4.曲线ρ=4sin θ与ρ=2的交点坐标为__,__.
解析 由∴sin θ=,∴θ=或.
5.在极坐标系中,曲线C1:ρ(cos θ+sin θ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a=____.
解析 曲线C1的直角坐标方程为x+y=1,曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=a2,曲线C1与x轴的交点坐标为,此点也在曲线C2上,代入解得a=.
一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示,在伸缩变换作用下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆.
【例1】 (1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:求点A经过φ变换所得的点A′的坐标.
(2)求直线l:y=6x经过φ:变换后所得到的直线l′的方程.
解析 (1)设A′(x′,y′),由伸缩变换φ:得到
由于点A的坐标为,于是x′=3×=1,y′=×(-2)=-1,∴A′(1,-1)为所求.
(2)设直线l′上任意一点P′(x′,y′),由上述可知,将代入y=6x得2y′=6×,
∴y′=x′,即y=x为所求.
二 极坐标与直角坐标的互化
极坐标方程与普通方程的互化技巧
(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.
(2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρ=cos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程.
(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ,将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程.
【例2】 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为3ρ2=12ρcos θ-10(ρ>0).
(1)求曲线C1的直角坐标方程;
(2)曲线C2的方程为+=1,设P,Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点,求的最小值.
解析 (1)曲线C1的方程可化为3(x2+y2)=12x-10,
即(x-2)2+y2=.
(2)依题意可设Q(4cos θ,2sin θ),由(1)知圆C1的圆心为C1(2,0),半径r1=.
故|QC1|===2,
|QC1|min=,所以|PQ|min=|QC1|min-r1=.
三 极坐标方程的求法与应用
已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
【例3】 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0 =2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8cos θsin θ+1-a2=0,由tan θ=2,可得16cos 2θ-8cos θsin θ=0,从而1-a2=0,又a>0,所以a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.所以a=1.
1.求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标.
解析 设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),将代入x2-=1得-=1,化简得-=1,即-=1为曲线C′的方程,可见仍是双曲线,则所求焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0).
2.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
解析 (1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4;
因为ρ2-2ρcos=2,
所以ρ2-2ρ=2.
所以x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆直角坐标方程相减,得过两圆交点的直线方程为x+y=1.
化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin=.
3.在极坐标系中,求直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长.
解析 由ρsin=2,
得(ρcos θ+ρsin θ)=2可化为x+y-2=0.
圆ρ=4可化为x2+y2=16,
由圆中的弦长公式得2=2=4.
故所求弦长为4.
4.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解析 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB
=4cos α·
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
易错点 忽略变量的取值范围
错因分析:忽略变量的取值范围,导致错误.
【例1】 求极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程.
解析 由ρ=(sin θ≠0),得ρ=(cos θ≠±1),
∴ρ-ρcos θ=2(cos θ≠±1),(*)
∴=x+2,化简得y2=4x+4,
当cos θ=1时,(*)式不成立;
当cos θ=-1时,由(*)式知ρ=1,∴x=ρcos θ=-1.
综上可知,y2=4x+4(x≠-1)即为所求.
【跟踪训练1】 已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=1,l与C交于不同的两点P1,P2.
(1)求φ的取值范围;
(2)以φ为参数,求线段P1P2中点轨迹的参数方程.
解析 (1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1,
将代入x2+y2=1得t2-4tsin φ+3=0,(*)
由Δ=16sin 2φ-12>0得|sin φ|>,∵0≤φ<π,∴<φ<.
(2)由(*)知,=2sin φ,代入中,
整理得P1P2的中点的轨迹方程为.
课时达标 第67讲
[解密考纲]高考中,主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,两种不同方式的方程的互化是考查的热点,常以解答题的形式出现.
1.求椭圆+y2=1经过伸缩变换后的曲线方程.
解析 由得到
代入+y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1.
因此椭圆+y2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2+y2=1.
2.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
解析 (1)由点A在直线l上,得cos=a,则a=,故直线l的方程可化为ρsin θ+ρcos θ=2,得直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,圆心C到直线l的距离d==<1,所以直线l与圆C相交.
3.(2018·海南模拟)已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cos θ,曲线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点.
(1)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(2)求弦AB的长度.
解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为y=x,曲线C1:ρ=6cos θ ,
即ρ2=6ρcos θ,所以x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9.
(2)∵圆心(3,0)到直线的距离d=,圆C1的半径r=3,
∴|AB|=2=3.
∴弦AB的长度为3.
4.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=,直线l的极坐标方程为ρ=.
(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;
(2)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线l的距离的最小值.
解析 (1)根据 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得C1的直角坐标方程为x2+2y2=2,直线l的直角坐标方程为x+y=4.
(2)设Q(cos θ,sin θ),则点Q到直线l的距离为
d==≥=,
当且仅当θ+=2kπ+,即θ=2kπ+(k∈Z)时取等号.
∴点Q到直线l的距离的最小值为.
5.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,=,求l的斜率.
解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,
可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|==.
由|AB|=,得cos2α=,tan α=±.
所以l的斜率为或-.
6.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m
得l2的普通方程l2:y=(x+2).
设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
联立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-,从而cos 2θ=,sin 2θ=.
代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.