• 171.30 KB
  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系学案

  • 10页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第十一章 坐标系与参数方程 第67讲 坐标系 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解坐标系的作用.‎ ‎2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎4.能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ,22‎ ‎2016·全国卷Ⅰ,23‎ ‎2016·北京卷,11‎ 极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程.‎ 分值:5~10分 ‎1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系 ‎(1)极坐标系的概念 ‎①极坐标系:‎ 如图所示,在平面内取一个__定点__O,点O叫做极点,自极点O引一条__射线__Ox,Ox叫做极轴;再选定一个__长度单位__、一个__角度单位__(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.‎ ‎②极坐标:‎ 一般地,没有特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.‎ ‎③点与极坐标的关系:‎ 一般地,极坐标(ρ,θ)与 (ρ,θ+2kπ)(k∈Z) 表示同一个点,特别地,极点O的坐标为 (0,θ)(θ∈R) ,与直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有__无数__种表示.‎ 如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标__(ρ,θ)__表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为 ‎3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 ‎__ρ=r(0≤θ<2π) __‎ 圆心为(r,0),半径为r的圆 ‎__ρ=2rcos θ__‎ ‎____‎ 圆心为,半径为r的圆 ‎__ρ=2rsin_θ(0≤θ<π)__‎ 过极点,倾斜角为α的直线 ‎__θ=α(ρ∈R) __或 ‎__θ=α+π(ρ∈R) __‎ 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ‎__ρcos θ=a__‎ ‎____‎ 过点,与极轴平行的直线 ‎__ρsin_θ=a(0<θ<π)__‎ ‎1.思维辨析(在括号内打“√”或打“×”).‎ ‎(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.( × )‎ ‎(2)在伸缩变换下,椭圆可变为圆,圆可变为椭圆.( √ )‎ ‎(3)过极点,倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ=α或θ=π+α. ( √ )‎ ‎(4)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asin θ.( × )‎ ‎2.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y=sin x的方程变为__y′=3sin_2x′__.‎ 解析 由知 代入y=sin x中得y′=3sin 2x′.‎ ‎3.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为____.‎ 解析 因为点P(1,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为.‎ ‎4.曲线ρ=4sin θ与ρ=2的交点坐标为__,__.‎ 解析 由∴sin θ=,∴θ=或.‎ ‎5.在极坐标系中,曲线C1:ρ(cos θ+sin θ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a=____.‎ 解析 曲线C1的直角坐标方程为x+y=1,曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=a2,曲线C1与x轴的交点坐标为,此点也在曲线C2上,代入解得a=.‎ 一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示,在伸缩变换作用下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆.‎ ‎【例1】 (1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:求点A经过φ变换所得的点A′的坐标.‎ ‎(2)求直线l:y=6x经过φ:变换后所得到的直线l′的方程.‎ 解析 (1)设A′(x′,y′),由伸缩变换φ:得到 由于点A的坐标为,于是x′=3×=1,y′=×(-2)=-1,∴A′(1,-1)为所求.‎ ‎(2)设直线l′上任意一点P′(x′,y′),由上述可知,将代入y=6x得2y′=6×,‎ ‎∴y′=x′,即y=x为所求.‎ 二 极坐标与直角坐标的互化 极坐标方程与普通方程的互化技巧 ‎(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.‎ ‎(2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρ=cos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程.‎ ‎(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ,将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程.‎ ‎【例2】 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为3ρ2=12ρcos θ-10(ρ>0).‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程;‎ ‎(2)曲线C2的方程为+=1,设P,Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点,求的最小值.‎ 解析 (1)曲线C1的方程可化为3(x2+y2)=12x-10,‎ 即(x-2)2+y2=.‎ ‎(2)依题意可设Q(4cos θ,2sin θ),由(1)知圆C1的圆心为C1(2,0),半径r1=.‎ 故|QC1|===2,‎ ‎|QC1|min=,所以|PQ|min=|QC1|min-r1=.‎ 三 极坐标方程的求法与应用 已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.‎ ‎【例3】 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0 =2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ 解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.‎ ‎(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8cos θsin θ+1-a2=0,由tan θ=2,可得16cos 2θ-8cos θsin θ=0,从而1-a2=0,又a>0,所以a=1.‎ a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.所以a=1.‎ ‎1.求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标.‎ 解析 设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),将代入x2-=1得-=1,化简得-=1,即-=1为曲线C′的方程,可见仍是双曲线,则所求焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0).‎ ‎2.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.‎ 解析 (1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4;‎ 因为ρ2-2ρcos=2,‎ 所以ρ2-2ρ=2.‎ 所以x2+y2-2x-2y-2=0.‎ ‎(2)将两圆直角坐标方程相减,得过两圆交点的直线方程为x+y=1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin=.‎ ‎3.在极坐标系中,求直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长.‎ 解析 由ρsin=2,‎ 得(ρcos θ+ρsin θ)=2可化为x+y-2=0.‎ 圆ρ=4可化为x2+y2=16,‎ 由圆中的弦长公式得2=2=4.‎ 故所求弦长为4.‎ ‎4.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ 解析 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).‎ 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),‎ 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB ‎=4cos α· ‎=2≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ 易错点 忽略变量的取值范围 错因分析:忽略变量的取值范围,导致错误.‎ ‎【例1】 求极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程.‎ 解析 由ρ=(sin θ≠0),得ρ=(cos θ≠±1),‎ ‎∴ρ-ρcos θ=2(cos θ≠±1),(*)‎ ‎∴=x+2,化简得y2=4x+4,‎ 当cos θ=1时,(*)式不成立;‎ 当cos θ=-1时,由(*)式知ρ=1,∴x=ρcos θ=-1.‎ 综上可知,y2=4x+4(x≠-1)即为所求.‎ ‎【跟踪训练1】 已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=1,l与C交于不同的两点P1,P2.‎ ‎(1)求φ的取值范围;‎ ‎(2)以φ为参数,求线段P1P2中点轨迹的参数方程.‎ 解析 (1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1,‎ 将代入x2+y2=1得t2-4tsin φ+3=0,(*)‎ 由Δ=16sin 2φ-12>0得|sin φ|>,∵0≤φ<π,∴<φ<.‎ ‎(2)由(*)知,=2sin φ,代入中,‎ 整理得P1P2的中点的轨迹方程为.‎ 课时达标 第67讲 ‎[解密考纲]高考中,主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,两种不同方式的方程的互化是考查的热点,常以解答题的形式出现.‎ ‎1.求椭圆+y2=1经过伸缩变换后的曲线方程.‎ 解析 由得到 代入+y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1.‎ 因此椭圆+y2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2+y2=1.‎ ‎2.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.‎ ‎(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.‎ 解析 (1)由点A在直线l上,得cos=a,则a=,故直线l的方程可化为ρsin θ+ρcos θ=2,得直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.‎ ‎(2)圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,圆心C到直线l的距离d==<1,所以直线l与圆C相交.‎ ‎3.(2018·海南模拟)已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cos θ,曲线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点.‎ ‎(1)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求弦AB的长度.‎ 解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为y=x,曲线C1:ρ=6cos θ ,‎ 即ρ2=6ρcos θ,所以x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9.‎ ‎(2)∵圆心(3,0)到直线的距离d=,圆C1的半径r=3,‎ ‎∴|AB|=2=3.‎ ‎∴弦AB的长度为3.‎ ‎4.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=,直线l的极坐标方程为ρ=.‎ ‎(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)设Q为曲线C1上一动点,求Q点到直线l的距离的最小值.‎ 解析 (1)根据 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得C1的直角坐标方程为x2+2y2=2,直线l的直角坐标方程为x+y=4.‎ ‎(2)设Q(cos θ,sin θ),则点Q到直线l的距离为 d==≥=,‎ 当且仅当θ+=2kπ+,即θ=2kπ+(k∈Z)时取等号.‎ ‎∴点Q到直线l的距离的最小值为.‎ ‎5.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. ‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,=,求l的斜率.‎ 解析 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ 可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).‎ 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.‎ 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.‎ ‎|AB|=|ρ1-ρ2|==.‎ 由|AB|=,得cos2α=,tan α=±.‎ 所以l的斜率为或-.‎ ‎6.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ 解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m 得l2的普通方程l2:y=(x+2).‎ 设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0).‎ 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).‎ 联立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).‎ 故tan θ=-,从而cos 2θ=,sin 2θ=.‎ 代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.‎