【数学】2018届一轮复习北师大版函数的单调性与最值教案 9页

第二节　函数的单调性与最值 ‎[考纲传真]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的性质．‎ ‎1．函数的单调性 ‎(1)增、减函数 增函数 减函数 定义 在函数y＝f (x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A 当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么，就称函数y＝f (x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f (x)在区间A上是递增的 当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么，就称函数y＝f (x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f (x)在区间A上是递减的 ‎(2)单调区间和函数的单调性 ‎①如果函数y＝f (x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．‎ ‎②如果函数y＝f (x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f (x)在这个子集上具有单调性．‎ ‎(3)单调函数 如果函数y＝f (x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．‎ ‎2．函数的最值 前提 函数y＝f (x)的定义域为D 条件 ‎(1)存在x0∈D，使得f (x0)＝M ‎(1)存在x0∈D，使得 ‎；(2)对于任意x∈D，都有f (x)≤M f (x0)＝M；‎ ‎(2)对于任意x∈D，都有f (x)≥M 结论 M为最大值 M为最小值 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝在其定义域上递减．(　　)‎ ‎(2)函数y＝＋x在其定义域上递增．(　　)‎ ‎(3)对于函数f (x)，x∈D，若x1，x2∈D且＞0，则函数f (x)在D上是增加的．(　　)‎ ‎(4)若函数f (x)的最大值是M，最小值是m，则函数f (x)的值域一定是[m，M]．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(　　)‎ ‎【导学号：66482027】‎ A．y＝　　　　　 B．y＝cosx C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x D　[选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上为增函数；‎ 选项B中，y＝cosx在(－1,1)上先增后减；‎ 选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；‎ 选项D中，y＝2－x＝x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．]‎ ‎3．(教材改编)已知函数f (x)＝，x∈[2,6]，则f (x ‎)的最大值为________，最小值为________．‎ ‎2　　[可判断函数f (x)＝在[2,6]上为减少的，所以f (x)max＝f (2)＝2，f (x)min＝f (6)＝.]‎ ‎4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________.‎ ‎【导学号：66482028】‎ 　[由题意知2k＋1＜0，得k＜－.]‎ ‎5．f (x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x)max＝________.‎ ‎ [1,3]　8　[f (x)＝(x－1)2－1，故f (x)的单调增区间为[1,3]，f (x)max＝f (－2)＝8.]‎ 函数单调性的判断 ‎　(1)函数f (x)＝log2(x2－1)的递减区间为________．‎ ‎(2)试讨论函数f (x)＝x＋(k＞0)的单调性．‎ ‎(1)(－∞，－1)　[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．‎ 令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，‎ t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x)＝log2(x2－1)的递减区间为(－∞，－1)．]‎ ‎(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f (x2)－f (x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1). 2分 因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.‎ 故当x1，x2∈(，＋∞)时，f (x1)＜f (x2)，‎ 即函数在(，＋∞)上递增. 6分 当x1，x2∈(0，)时，f (x1)＞f (x2)，‎ 即函数在(0，)上递减．‎ 考虑到函数f (x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上递增，在(－，0)上递减．‎ 综上，函数f (x)在(－∞，－)和(，＋∞)上递增，在(－，0)和(0，)上递减. 12分 法二：f ′(x)＝1－. 2分 令f ′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞). 6分 令f ′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，). 10分 故函数f (x)在(－∞，－)和(，＋∞)上递增，在(－，0)和(0，)上递减. 12分 ‎[规律方法]　1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．‎ ‎2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．‎ 易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是(　　)‎ A．y＝x3　　　　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝x ‎(2)函数f (x)＝log(x2－4)的递增区间是(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，0)‎ C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)‎ ‎(1)C　(2)D　[‎ ‎(1)选项A，B中函数在定义域内均为递增函数，选项D为在定义域内为递减函数，选项C中，设x1＜x2(x1，x2≠0)，则y2－y1＝－＝，因为x1－x2＜0，当x1，x2同号时x1x2＞0，－＜0，当x1，x2异号时x1x2＜0，－＞0，所以函数y＝在定义域上不是单调函数，故选C.‎ ‎(2)由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函数f (x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的递增区间，即求函数t＝x2－4的递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．]‎ 利用函数的单调性求最值 ‎　已知f (x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1.‎ ‎(1)当a＝时，求函数f (x)的最小值；‎ ‎(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.‎ ‎【导学号：66482029】‎ ‎[思路点拨]　(1)先判断函数f (x)在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x)min＞0求a的范围，而求f (x)min应对a分类讨论．‎ ‎[解]　(1)当a＝时，f (x)＝x＋＋2，f ′(x)＝1－＞0，x∈[1，＋∞)，‎ 即f (x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x)min＝f (1)＝1＋＋2＝. 4分 ‎(2)f (x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．‎ 法一：①当a≤0时，f (x)在[1，＋∞)内为增函数．‎ f (x)min＝f (1)＝a＋3.‎ 要使f (x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0，‎ ‎∴－3＜a≤0. 7分 ‎②当0＜a≤1时，f (x)在[1，＋∞)内为增函数，‎ f (x)min＝f (1)＝a＋3，‎ ‎∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.‎ 综上所述，f (x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1]. 10分 法二：f (x)＝x＋＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0，8分 ‎∴a＞－(x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范围为(－3,1]. 12分 ‎[规律方法]　利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f (x)在[a，b]上的最大值为f (b)，最小值为f (a)．‎ 请思考，若函数f (x)在闭区间[a，b]上是减函数呢？‎ ‎[变式训练2]　(2016·北京高考)函数f (x)＝(x≥2)的最大值为________．‎ ‎2　[法一：∵f ′(x)＝，∴x≥2时，f ′(x)＜0恒成立，‎ ‎∴f (x)在[2，＋∞)上递减，‎ ‎∴f (x)在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.‎ 法二：∵f (x)＝＝＝1＋，‎ ‎∴f (x)的图像是将y＝的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝在[2，＋∞)上递减，∴f (x)在[2，＋∞)上递减，故f (x)在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.‎ 法三：由题意可得f (x)＝1＋.‎ ‎∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1，‎ ‎∴1＜1＋≤2，即1＜≤2.‎ 故f (x)在[2，＋∞)上的最大值为2.]‎ 函数单调性的应用 ‎☞角度1　比较大小 ‎　(2015·山东高考)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝‎1.50.6‎，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a0.60.6>0.61.5，即b10.6＝1，即c>1.综上，b