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- 2021-06-16 发布
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第2讲 函数的基本性质
第1课时 函数的单调性与最值
一、知识梳理
1．函数的单调性
(1)增、减函数
增函数
减函数
定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A
当x1f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的
(2)单调区间和函数的单调性
①如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．
②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
(3)单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x∈I，使得
f(x)＝M
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x∈I，使得
f(x)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设对任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上是增加的．
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上是减少的．
2．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、教材衍化
1．函数y＝x2－5x－6在区间[2，4]上是( )
A．减函数 B．增函数
C．先减少再增加的函数 D．先增加再减少的函数
解析：选C.作出函数y＝x2－5x－6的图像(图略)知开口向上，且对称轴为x＝，在[2，4]上先减少后增加．故选C.
2．函数y＝在[2，3]上的最小值为( )
A．2 B.
C. D．－
解析：选B.因为y＝在[2，3]上是减少的，所以ymin＝＝.故选B.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上是减少的；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上是减少的；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上是增加的．
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
[注意] 判断函数的单调性还有图像法、导数法、性质法等．
角度二 求函数的单调区间
求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
【解】 f(x)＝
＝
画出函数图像如图所示，可知递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．
【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的递增区间为(1－，1]和(1＋，＋∞)；递减区间为(－∞，1－ ]和(1，1＋ ]．
确定函数的单调区间的方法
[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．
(2)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.
1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析：选B.y＝|x|(1－x)＝
＝
＝
画出函数的草图，如图．
由图易知原函数在上是增加的．
2．下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )
A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选C.由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上是减少的，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
3．判断函数y＝的单调性．
解：因为f(x)＝＝2x－，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y＝2x和y
＝－在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f(x)＝2x－在区间(－∞，0)上为增函数．
同理，可得f(x)＝2x－在区间(0，＋∞)上也是增函数．
故函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．
函数的最值(值域)(师生共研)
(1)(一题多解)函数y＝x＋的最小值为________．
(2)(2020·江西南昌质检)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)法一(换元法)：令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1，
故函数y＝x＋的最小值为1.
法二：因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.
(2)(基本不等式法)由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4.
【答案】 (1)1 (2)[4，＋∞)
求函数最值的五种常用方法
1．函数f(x)＝的最大值为________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
2．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________．
解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，
所以即所以
所以a＋b＝6.
答案：6
函数单调性的应用(多维探究)
角度一 比较两个函数值
已知函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【解析】 因为f(x)的图像关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.当x2>x1>1时，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，
知f(x)在(1，＋∞)上是减少的．
因为1<2<f>f(e)，
所以b>a>c.
【答案】 D
比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，
要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．
角度二 解函数不等式
已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1，1)，则不等式f(1－m)0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增加的，当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减少的，所以选项A正确；选项D中的函数y＝可转化为y＝x－1，所以函数y＝在(0，＋∞)上是减少的，故选项D不符合题意；对于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当01时，y＝ax在(－∞，＋∞)上是增加的，而选项B中的函数y＝2－x可转化为y＝，因此函数y＝2－x在(0，＋∞)上是减少的，故选项B不符合题意；对于对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当01时，y＝logax在(0，＋∞)上是增加的，因此选项C中的函数
y＝logx在(0，＋∞)上是减少的，故选项C不符合题意，故选A.
2．(2020·陕西汉中模拟)函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )
A. B．－
C．－2 D．2
解析：选A.函数f(x)＝－x＋的导数为f′(x)＝－1－，则f′(x)<0，可得f(x)在上是减少的，即f(－2)为最大值，且为2－＝.
3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C.由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，得即所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.
4．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B．[－6，－4]
C．[－3，－2] D．[－4，－3]
解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－∈[2，3]，即a∈[－6，－4]．
5．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a0，x1x2>0.
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0，1]上是增加的，当x＝1时取得最大值1.
所以f(x)的值域为(－∞，1]．
(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上是增加的，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
当a<0时，f(x)＝2x＋，
当 ≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上是减少的，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
当 <1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上是减少的，在上是增加的，无最大值，当x＝时取得最小值2.
10．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
解：(1)证明：任取x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋
＝，因为x1>x2>0，
所以x1－x2>0，x1x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，
所以f＝－2＝，
f(2)＝－＝2，
解得a＝.
[综合题组练]
1．已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，3)
C．(3，＋∞) D．[1，3)
解析：选D.由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0，得(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以函数f(x)在R上是减少的，所以
解得1≤a＜3.故选D.
2．(创新型)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析：依题意，h(x)＝
当02时，h(x)＝3－x是减函数，
所以h(x)在x＝2时，取得最大值，h(2)＝1.
答案：1
3．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上是增加的；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上是减少的，求a的取值范围．
解：(1)证明：设x10，x1－x2<0，所以f(x1)0，x2－x1>0，
所以要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
所以a≤1.
综上所述，a的取值范围为(0，1]．
4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．
解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)
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