辽宁省丹东市2021届高三上学期10月阶段测试数学试题答案 4页

数学试题参考答案 第 1 页 （共 4 页） 丹东市 2021 届高三总复习阶段测试 数学试题参考答案 一、选择题 1．D 2．B 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．C 二、选择题 三、填空题 四、解答题 17．参考补充一：取 a＝1，b＝2，则 f (x)＝2cos2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＋1＝ 2sin(2x＋π 4)＋1． 于是 f (x)的一个周期为2π 2 ＝π． ………………（5 分） 若 x∈[－π 4，π 6]，则 2x＋π 4∈[－π 4，7π 12]，由函数 y＝sinx 在[－π 4，π 2]单调递增，在[π 2，7π 12] 单调递减，所以当 x＝π 8时，f (x)取得最大值 2＋1． ………………（10 分） 参考补充二：取 a＝1，b＝1，则 f (x)＝2cos2x＋sinx． 因为 f (x＋2π)＝2cos2(x＋2π)＋sin(x＋2π)＝2cos2x＋sinx＝f (x) ． 于是 f (x)的一个周期为 2π． ………………（5 分） f (x)＝－2sin2x＋sinx＋2＝－2(sinx－1 4)2x＋17 8 ． 因为 x∈[－π 4，π 6]，所以 sinx∈[－ 2 4 ，1 2]，所以当 sinx＝1 4时，f (x)取得最大值17 8 ． ………………（10 分） 注：以上给出两种参考补充，其他补充，请参照给分． 18．解： （1）由题设知 n＝200． 由频次分布可知，经常使用共享单车的频率为 0.301＋0.192＋0.107＝0.60． 所以 a＋b＝200×0.60＝120，从而 c＋d＝80． 因为在“经常使用单车的”中有3 4是“年轻人”，所以 a＝120×3 4＝90，从而 b＝30． 由年龄等级分布可知“年轻人”占比为 45.5%＋34.5%＝80%，所以 a＋c＝200×0.80＝160，c＝70． 于是 d＝10，b＋d＝40．因此 2×2 列联表如下： 共享单车 年轻人 非年轻人 合计 经常使用的人数 90 30 120 不常使用的人数 70 10 80 合计 160 40 200 9．ABC 10．AD 11．BC 12．ACD 13．1 14．4 15．1 16． 9 64 数学试题参考答案 第 2 页 （共 4 页） ………………（6 分） （2）由（1）可知 K2＝200×(90×10－70×30)2 120×80×160×40 ≈4.688． 由于 4.688＞3.841，故有 95%的把握认为一周内经常使用共享单车的人与年龄有关． ………………（12 分） 19．解法 1： （1）因为 A＝2π 3 ，AD⊥AC，所以∠BAD＝π 6． 在△ABD 中，AD＝1，AB＝ 3，由余弦定理可得 BD＝ 3＋1－2 3·1·cosπ 6＝1． 于是 BD＝AD，因此∠ABD＝π 6，∠ADC＝π 3． 因为 AD⊥AC，所以 DC＝2，故 BC＝BD＋DC＝3． ………………（6 分） （2）△ABC 的面积等于△ADB 面积与△ADC 面积之和，所以 1 2AB·ACsin2π 3 ＝1 2·1·ABsinπ 6＋1 2·1·ACsinπ 2． 即 3AB·AC＝AB＋2AC． 于是 1 AC＋ 2 AB＝ 3． ………………（12 分） 解法 2： （1）同解法 1． （2）在直角△ADC 中，因为 AD＝1，所以 1 AC＝ADtanC＝tanC． 因为 A＝2π 3 ，所以 B＝π 3－C．在△ABC 中，由正弦定理可得 AB sinC＝ AC sin(π 3－C) ， 从而 AB＝ ACsinC sin(π 3－C) ＝ cosC sin(π 3－C) ． 所以 2 AB＝ 2sin(π 3－C) cosC ＝ 3cosC－sinC cosC ＝ 3－tanC． 于是 1 AC＋ 2 AB＝ 3． ………………（12 分） 20．解法 1： （1）设 M＝ax，则 M n＝anx． 根据对数定义有 logaM＝x，logaM n＝nx． 因此 logaM n＝nlogaM． 数学试题参考答案 第 3 页 （共 4 页） ………………（3 分） （2）由 logaM n＝nlogaM 可得 lg3 lg4(lg8 lg9＋lg16 lg27)＝lg3 lg22(lg23 lg32＋lg24 lg33)＝ lg3 2lg2(3lg2 2lg3＋4lg2 3lg3)＝ lg3 2lg2·17lg2 6lg3 ＝17 12． ………………（6 分） （3）设 250 的位数为 k，则 10k-1≤250≤10k， 所以 lg10k-1≤lg250≤lg10k， 即 k－1≤50lg2≤k． 因为 lg2＝0.3010，所以 50lg2＝15.05．由 k－1≤15.05≤k 得 15.05≤k≤16.05． 因为 k∈N*，所以 k＝16． ………………（12 分） 解法 2： （1）（ 2）同解法 1． （3）设 X＝250，则 lgX＝lg250＝50lg2． 因为 lg2＝0.3010，所以 50lg2＝15.05，从而 lgX＝15.05． 因此 X＝1015.05∈(1015，1016)，于是 250 的位数为 16． ………………（12 分） 21．解： （1）记 A 表示事件：“该同学这个解答题需要仲裁”， 设一评、二评所打分数分别为 x， y． 由题设知，事件 A 的所以可能情况有：   x＝9， y＝11． 或   x＝11， y＝9． 因此 P(A)＝P(   x＝9 y＝11 )＋P(   x＝11 y＝9 )＝1 4×1 4＋1 4×1 4＝1 8． ………………（4 分） （2）随机变量 X 的可能取值为 9，9.5，10，10.5，11．设仲裁所打分数 z，那么 P(X＝9)＝P(   x＝9 y＝9 )＋P(    x＝9 y＝11 z＝9 )＋P(    x＝11 y＝9 z＝9 )＝1 4×1 4＋1 4×1 4×1 4＋1 4×1 4×1 4＝ 3 32． P(X＝9.5)＝P(   x＝9 y＝10 )＋P(   x＝10 y＝9 )＝1 4×1 2＋1 2×1 4＝1 4． P(X＝10)＝P(   x＝10 y＝10 )＝1 2×1 2＝1 4． P(X＝10.5)＝P(   x＝10 y＝11 )＋P(   x＝11 y＝10 )＋P(    x＝9 y＝11 z＝10 )＋P(    x＝11 y＝9 z＝10 ) ＝1 2×1 4＋1 4×1 2＋1 4×1 4×1 2＋1 4×1 4×1 2＝ 5 16． P(X＝11)＝1－( 3 32＋1 4＋1 4＋ 5 16)＝ 3 32． X 分布列如下： X 9 9.5 10 10.5 11 P 3 32 1 4 1 4 5 16 3 32 数学试题参考答案 第 4 页 （共 4 页） E(X)＝9× 3 32v＋9.5×1 4＋10×＋10.5× 3 32＋11× 3 32＝321 32 ≈10． ………………（12 分） 22．解： （1）f (x)的导数 f ′(x)＝x(cosx－1 2)． 当－π＜x＜－π 3时，f ′(x)＞0，当－π 3＜x＜0 时，f ′(x)＜0，0＜x＜π 3时，f ′(x)＞0， 当π 3＜x＜π 时，f ′(x)＜0，所以在(－π，－π 3)单调递增，在(－π 3，0)单调递减，在(0，π 3)单调 递增，在(π 3，π)单调递减． ………………（4 分） （2）f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，f (－x)＝f (x)，所以 f (x)为偶函数． 因为 f (0)＝1＞0，所以 f (x)有且仅有两个零点等价于 f (x)在(0，＋∞) 有且仅有一个零 点． ………………（6 分） f (x)的导数 f ′(x)＝x(cosx－a)． 当 a≥1 时，若 x＞0，则 f ′(x)＜0，所以 f (x)在(0，＋∞)单调递减． 因为 f (π)＝－1－1 2aπ2＜0，所以 f (x) 在(0，＋∞) 有且仅有一个零点． ………………（8 分） 当1 3＜a＜1 时，存在 θ∈(0，π 2)，使 cosθ＝a． 当 0＜x＜θ 时，f ′(x)＞0，当 2kπ＋θ＜x＜2kπ＋2π－θ 时，f ′(x)＜0，当 2kπ＋2π－θ＜x ＜2kπ＋2π＋θ 时，f ′(x)＞0，所以 f (x)在(0，θ)单调递增，在(2kπ＋θ，2kπ＋2π－θ)单调递减， 在(2kπ＋2π－θ，2kπ＋2π＋θ)单调递增，以上各式中均有 k∈N． 由 tanθ＝ 1 a2－1，1 3＜a＜1，可得 0＜tanθ＜2 2，当 k∈N 时， 2kπ＋2π＋θ－tanθ＞2(π－ 2)． 所以 f (2kπ＋2π＋θ)＝－1 2a[(2kπ＋2π＋θ－tanθ)2－1]＋ 1 2a ＜－1 6[(2kπ＋2π＋θ－tanθ)2－1]＋3 2 ＝－(2kπ＋2π＋θ－tanθ)2－10 6 ＜0． 因此 f (x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点． 综上，当 a＞1 3时，f (x)有且仅有两个零点． ………………（12 分）