辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析 21页

- 1 - 东北育才学校高中部 2020 届高三第八次模拟考试 数学试题（文科） 考试时间：120 分钟试卷命题：高三数学备课组 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共 12 小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1.已知集合 2{ | 2}A x y x   ，集合 2{ | 2}B y y x   ，则有( ) A. A B B. A B   C. A B A  D. A B A 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据二次函数的定义域和值域，分别求得集合 A，B，判断两集合的关系，最后分析选项 得出结果. 【详解】 2{ | 2}A x y x R    ， 2{ | 2} [ 2, )B y y x      ， 所以 B A ， 故 A B A  ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有二次函数的定义域和值域，两集 合的关系，属于基础题目. 2.若复数满足 (2 ) 5i z  ，则在复平面内与复数 z 对应的点 Z 位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算求出复数 z ，再根据复数的几何意义可得答案. 【详解】由 (2 ) 5i z  得 5 2z i   5(2 ) 10 5 2(2 )(2 ) 5 i i ii i       ， 所以复数 z 对应的点 Z 的坐标为 (2, 1) ，其位于第四象限. - 2 - 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题. 3.“ 为第一或第四象限角”是“ cos 0  ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 x 轴正半轴上的角的余弦值也大于 0 以及充分条件、必要条件的定义可得答案. 【详解】当  为第一或第四象限角时， cos 0  ，所以“  为第一或第四象限角”是 “ cos 0  ”的充分条件， 当 cos 0  时， 为第一或第四象限角或 x 轴正半轴上的角，所以“ 为第一或第四象限角” 不是“ cos 0  ”的必要条件， 所以“ 为第一或第四象限角”是“ cos 0  ”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的符号规则，考查了充分必要条件的概念，属于基础题. 4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在 2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70% .2015 年开始，全面 实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中 2019 年度实施的扶贫项目，各项目参加 户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加用户比 40% 40% 10% 10% 脱贫率 95% 95% 90% 90% 那么 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A. 7 5 B. 48 35 C. 47 35 D. 37 28 【答案】C - 3 - 【解析】 【分析】 首先算出 2019 年的年脱贫率，再与 2015 年以前的年均脱贫率相比即可. 【详解】由图表得，2019 年的年脱贫率为 ( ) 0.4 0.95 0.4 0.95 0.1 0.9 0.1 0.9 0.94E X          . 所以 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的 0.94 47 0.7 35  . 故选：C 【点睛】本题主要考查数学期望的实际应用，同时考查了学生的分析问题能力，属于简单题. 5.已知正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，  4 1 23S a a  ，则公比 q的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式求和公式即可得出． 【详解】解： 4 1 23( )S a a  ， 1q  ．  4 1 1 ( 1) 3 (1 )1 a q a qq    ， 1 0a  2 1 3q   化为： 2 2q  ，解得 2q  ． 故选： D ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题． 6.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 为 DE 的中点，若 3 4AF xAB AD    ， 则 x ( ) - 4 - A. 3 4 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 以 ,AB AD   为 基 底 ， 利 用 向 量 的 中 点 公 式 ， 以 及 三 角 形 法 则 即 可 表 示 出 AF  ， 由 3 4AF xAB AD    ，根据平面向量基本定理，可知对应项系数相等，即求解． 【详解】因为 F 为 DE 的中点，所以  1 2AF AD AE    ， 而 1 1 2 2AE AB BE AB BC AB AD            ， 即有 1 1 1 3 2 2 2 4AF AD AB AD AB AD              ，又 3 4AF xAB AD    ，所以 1 2x  ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及向量的中点公式，三角形法则的应用， 属于基础题． 7.人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，其中 0dB 是人能听到的等级 最低的声音. 一般地，如果强度为 x 的声音对应的等级为 ( )f x dB，则有 12( ) 10lg1 10 xf x   ， 则 90dB 的声音与 60dB 的声音强度之比( ) A. 100 B. 1000 C. 1 100 D. 1 1000 【答案】B 【解析】 【分析】 设 90dB 与 60dB 的声音强度分别为 1 2,x x ，根据 1( ) 90f x  ， 2( ) 60f x  计算即可求解. 【详解】设 90dB 的声音与 60dB 的声音强度分别为 1 2,x x ， 则 1( ) 90f x  ，即 1 1210lg 901 10 x   ，解得 3 1 10x  . 由 2( ) 60f x  ，即 2 1210lg 601 10 x   ，解得 6 2 10x  . - 5 - 因此所求强度之比为 3 1 6 2 10 100010 x x    . 故选：B 【点睛】本题考查了对数的运算法则，对数函数的应用，考查函数在实际问题中的应用，属 于容易题. 8.如图，在以下四个正方体中，使得直线 AB 与平面CDE 垂直的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 ①根据 ABC 是正三角形，利用异面直线所成的角结合线面垂直的定义判断；②根据正方形 对角线相互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；③根据 AB 与 CE 的夹角为 60 ，再由线面垂 直的定义判断；④易知CE  平面 ABD ，得到 AB CE^ ，同理 AB ED ，再利用线面垂直 的判定定理判断. 【详解】①因为 ABC 是正三角形，所以 AB 与 AC 的夹角为 60 ，又因为 / /AC ED ，所以 AB 与 ED 的夹角为 60 ，故错误； ②因为正方形对角线相互垂直，所以 AB CE^ ， ,AB ED ED CE E   ， AB  平面 CDE ，故正确； ③由①知 AB 与 CE 的夹角为 60 ，故错误； ④因为 , ,CE AD CE BD BD AD D    ，所以CE  平面 ABD ，则 AB CE^ ，同理 AB ED ，又 ED CE E  ，所以 AB  平面CDE ，故正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质，还考查了空间想象和逻辑推理的能力， - 6 - 属于中档题. 9.已知圆 2 2 16x y  与抛物线 2 2 ( 0)y px p  的准线l 交于 A ，B 两点，且| | 2 15AB  ， P 为该抛物线上一点， PQ l 于点Q ，点 F 为该抛物线的焦点.若 PQF△ 是等边三角形， 则 PQF△ 的面积为（ ） A. 4 3 B. 4 C. 2 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 首先由条件可得出 2p  ，然后由 PQF△ 是等边三角形，焦点 F 到准线l 的距离为 2 可得出 PQF△ 的边长为 4，然后算出答案即可. 【详解】由 2 15AB  可得圆心  0,0 到l 的距离为 16 15 1  ，即 12 p  ，即 2p  所以抛物线的方程为 2 4y x 因为 PQF△ 是等边三角形，焦点 F 到准线l 的距离为 2 所以 PQF△ 的边长为 4 所以 1 4 4 sin 60 4 32PQF      △S 故选：A 【点睛】设圆的半径为 r ，圆心到直线的距离为 d ，弦长为 AB ，则有 2 2 2 2 ABr d       10.已知函数 1, 0,( ) ln , 0. ax xf x x x     若函数 ( )f x 的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ( ,0] B. ( ,1] C. 1[ ,0]2  D. 1( ,1]2 【答案】B 【解析】 【分析】 - 7 - 存在两对称点  ,M x y ,  ,N x y  , ( 0)x  则 1 ln y ax y x       ,即 ln 1x ax  ,故 lny x 与 1y ax  有交点,先求得 1y ax  与 lny x 相切时的斜率,进而求解即可 【详解】由题,设两对称点  ,M x y ,  ,N x y  , ( 0)x  则 1 ln y ax y x       ,所以 ln 1x ax  ,即 lny x 与 1y ax  有交点, 设 1y ax  与 lny x 的切点为 0 0,lnx x , 则切线斜率为 0 0 1 x xa y x  , 又有 0 0 0 1ln 1x xx   ,所以 0 1x  ,即 1a  , 所以当 lny x 与 1y ax  有交点时, 1a  , 故选:B 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查图像的对称点问题,考查数形结合思想 11.已知 P 为双曲线 2 2: 13 xC y  上位于右支上的动点，过 P 作两渐近线的垂线，垂足分别 为 A ， B ，则| |AB 的最小值为( ) A. 81 16 B. 27 8 C. 9 4 D. 3 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意， , , ,P A B O 四点共圆，求| |AB 的最小值，只需要求出圆的直径的最小值，从而求得 结果. 【详解】由题意， , , ,P A B O 四点共圆， 要使取| |AB 的最小值， 只需圆的直径 OP 最小，即 P 为右顶点时满足条件，且 3OP  ， - 8 - 因为 2 2 13 x y  的渐近线为 3 3y x  ， 所以 60AOB   ， 所以有 3sin 60 AB  ，解得 3 2AB  ， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的性质，四点共圆的条 件，弦的最值，属于简单题目. 12.已知函数 ( ) sin( )f x x   （ 0 ，| | 2   ）满足 4 4f x f x              ， ( )2f x f x      ，且在 0, 8     上是单调函数，则 的值可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 通过给出的等式，可以判断出函数的对称性，进而能求出周期，结合选项，作出判断． 【详解】函数    sinf x x   满足 4 4f x f x              ，所以函数  f x 关于 ( ,0)4  对称，同时又满足  2f x f x      ，所以函数又关于 4 πx   对称，设周期为 T , 2 1 ( ) ( )4 4 4 2 n T n Z        ,而 2 2 1( )T n n Z      显然 是奇数， 当 =3 时， ( ) sin(3 )f x x   ，  f x 关于 ( ,0)4  对称， 3 3( )4 4k k Z k          而 2   ， 4   ， ( ) sin(3 )4f x x   5(0, ) (3 ) ( , )8 4 4 8x x       ，显然不单调； 当 =5 时， ( ) sin(5 )f x x   ，  f x 关于 ( ,0)4  对称， 5 5( )4 4k k Z k          ，而 2   ， 4    ， ( ) sin(5 )4f x x   ， - 9 - 3(0, ) (5 ) ( , )8 4 4 8x x        ，显然单调，故本题选 C． 【点睛】本题考查了正弦函数的对称性、周期,熟记推到周期和对称轴的表达式是关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共 4 小题，将答案填在答题纸上.） 13.等差数列 na 中， 1 0a  ，公差 0d  ， nS 是其前 n 项和，若 10ka S ，则 k  ________. 【答案】46 【解析】 【分析】 利用等差数列的基本量计算． 【 详 解 】 由 题 意 10 1 10 910 452S a d d   ， 1 ( 1) ( 1)ka a k d k d     ， 所 以 ( 1) 45k d d  ，又 0d  ，所以 46k  ． 故答案为：46． 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，用首项 1a 和公差 d 表示项与前 n 项和是解题的基 本方法． 14.已知实数 x ， y 满足约束条件 4 0 4 x y x y x        ，则 2 2( 1)x y  的最小值为________. 【答案】 13 【解析】 【分析】 画出可行域，则 2 2( 1)x y  表示可行域内的点 ,x y 到定点  1,0P  的距离.数形结合可 求距离的最小值. 【详解】画出可行域，如图所示 - 10 - 则 2 2( 1)x y  表示可行域内的点 ,x y 到定点  1,0P  的距离. 解方程组 4 0 x y x y      ，得 2 2 x y    ，设  2,2M . 由图可知， 2 2 2 2 min ( 1) (2 1) 2 13x y MP       . 故答案为： 13 . 【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题. 15.圆锥 SD （其中 S 为顶点， D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 2:1，若圆锥的底面 半径为 3，则圆锥 SD 的内切球的表面积为________. 【答案】12 【解析】 【分析】 首先求出母线l ，设内切球的半径为 R ，则利用轴截面，根据等面积可得 R ，即可求出该圆锥 内切球的表面积． 【详解】解：依题意，圆锥 SD（其中 S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 2:1， 所以    2: 2:1rl r   ，因为 3r  ，所以 6l  设内切球的半径为 R ，则利用轴截面，根据等面积可得 2 21 16 6 3 (6 6 6)2 2 R       ， 3R  ， 该圆锥内切球的表面积为  2 4 3 12   ， 故答案为：12 - 11 - 【点睛】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键， 属于中档题． 16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数 学家高斯，人们把函数  y x ，xR 称为高斯函数，其中 x 表示不超过 x 的最大整数. 设    x x x  ，则函数    2 1f x x x x   的所有零点之和为________. 【答案】 1 【解析】 【分析】 令   0f x  ，显然 0x  ，可得出   12 1x x   ，将问题转化为函数  2y x 与函数 11y x   的图象交点的横坐标之和，可知两个函数的图象都关于点 0,1 ，数形结合可得出结果. 【详解】  0 1f   ，令   0f x  ，可得   12 1x x   ， 则函数  y f x 的零点，即为函数  2y x 与函数 11y x   的图象交点的横坐标， 作出函数  2y x 与函数 11y x   的图象如下图所示： 由图象可知，两函数除以交点 1,0 之外，其余的交点关于点 0,1 对称， 所以，函数  y f x 的所有零点之和为 1 . 故答案为： 1 . 【点睛】本题考查函数的零点之和，一般转化为两函数的交点问题，解题时要注意函数图象 对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题（本大题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 ① 22 cos cos 2 0B B  ，② cos 3 1b A acosB   ，这两个条件中任选一个，补 - 12 - 充在下面问题中，并解决相应问题.已知在锐角 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ， ABC 的面积为 S ，若 2 2 24S b c a   ， 6b  ，求 ABC 的面积 S 的大小. 【答案】 3 3 2  【解析】 【分析】 先根据 2 2 24S b c a   ， 6b  ， 2 2 2 cos 2 b c aA bc   求出 4A  ，若选择①，根据二倍角 的余弦公式求出 3B  ，根据正弦定理求出 2a  ，根据两角和的正弦公式求出 sin B ，再根 据三角形的面积公式求出面积即可；若选择②,根据余弦定理角化边可得 3 1c   ，再根据 三角形的面积公式求出面积即可. 【详解】因为 2 2 24S b c a   ， 2 2 2 cos 2 b c aA bc   ， 1 sin2S bc A ， 所以 2 sin 2 cosbc A bc A . 显然 cos 0A  ，所以 tan 1A  ，又 (0, )A  ，所以 4A  . 若选择①，由 22 cos cos 2 0B B  得, 2 1cos 4B  又 (0, )2B  , 3B  ， 由 sin sin a b A B  ，得 26sin 2 2sin 3 2 b Aa B     . 又sin sin[ ( )] sin( )C A B A B     2 1 2 3 6 2sin cos cos sin 2 2 2 2 4A B A B        ， 所以 1 3 3sin2 2S ab C   . 若选择②, cos 3 1bcos A a B   ， - 13 - 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 3 12 2 2 2 b c a a c b b c a a c bb A a B b a cbc ac c c                所以 1 1 2 3 3sin 6 ( 3 1)2 2 2 2S bc A        . 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式， 属于中档题. 18.一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价 x（元）与销量 y（杯） 的相关数据如下表： 单价 x （元） 8.5 9 9.5 10 10.5 销量 y （杯） 120 110 90 70 60 （1）已知销量 y 与单价 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）若该款新饮料每杯的成本为 8 元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确 定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数） 附：线性回归方程 ˆ ˆy bx a  中斜率和截距最小二乗法估计计算公式： 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx        ， ˆˆa y bx  ， 5 1 =4195i i i x y   ， 5 2 1 =453.75i i x   . 【答案】（1） ˆ 32 394y x   （2）单价应该定为 10 元 【解析】 【分析】 （1）首先求出 x 、 y ，然后再求出 ˆb 、 ˆa ，即可求解. （2）设定价为 x 元，利润函数为   32 394 8y x x    ，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）由表中数据，  1 8.5 9 9.5 10 10.5 9.55x        - 14 -  120 1101 5 90 70 60 90y      ， 则 1 2 2 2 1 4195 5 9.5 90ˆ 32453.75 5 9.5 n i i i n i i x y nxy b x nx             ， ˆˆ 90 32 9.5 394a y bx      ， 所以 y 关于 x 的线性相关方程为 ˆ 32 394y x   . （2）设定价为 x 元，则利润函数为   32 394 8y x x    ， 其中 8x  ，则 232 650 3152y x x    ， 所以   650 102 32x     （元）， 为使得销售的利润最大，确定单价应该定为 10 元. 【点睛】本题考查了线性回归方程、二次函数的性质，考查了计算求解能力，属于基础题. 19.如图，在四边形 ABCD 中，BC CD ，BC CD ，AD BD ，以 BD 为折痕把 ABD△ 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PC BC . （1）证明： PD  平面 BCD ； （2）若 M 为 PB 的中点， 2PD CD ，三棱锥 P BCD 的表面积为 6 2 2 2 3  ，求 三棱锥 P MCD 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 2 3 【解析】 【分析】 (1)先证明 BC ⊥平面 PCD，再证明 PD  平面 BCD即可. (2)易得三棱锥 P BCD 的各面均为直角三角形，再设CD BC x  ，根据三棱锥 P BCD - 15 - 的表面积为 6 2 2 2 3  列式可求得 2x  ，进而根据 1 1 2 2P MCD M PCD B PCD P BCDV V V V      求解体积即可. 【详解】（1）证明：因为 BC CD ， BC PC ， PC CD C ， 所以 BC ⊥平面 PCD， 又因为 PD  平面 PCD ，所以 BC PD⊥ . 又因为 PD BD ， BD BC B  所以 PD  平面 BCD. （2）∵ BC ⊥平面 PCD， PD  平面 BCD， ∴三棱锥 P BCD 的各面均为直角三角形， 设CD BC x  ，则 2PD BD x  ， 3PC x ， ∴三棱锥 P BCD 的表面积为  22 21 1 1 1 3 2 32 2 3 6 2 2 2 32 2 2 2 2x x x x x x x          ， ∴ 2x  ∵ M 为 PB 的中点， ∴ 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3P MCD M PCD B PCD P BCD BCDV V V V PD S         △ 【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质与判定、锥体体积的求解等，需要根据题意设合适 的线段长度再列式求解.属于中档题. 20.已知函数    lnf x x ax a R   ，   2exg x x x   . （1）求 函数  f x 的单调区间； （2）定义：对于函数  f x ，若存在 0x ，使  0 0f x x 成立，则称 0x 为函数  f x 的不动点. 如果函数      F x f x g x  存在两个不同的不动点，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）当 0a  时，  f x 的单调递增区间为 (0, ) ；当 0a  时，  f x 的单调递增 区间为 1(0, )a  ，单调递减区间为 1( , )a   ；（2） 1a e  . 【解析】 【分析】 - 16 - （1）先确定函数的定义域，再求导，讨论 a 的取值，得到函数的单调区间； （2）依题意可得    2ln 0xF x x x ax x e x      ，  F x 存在两个不动点，所以方程   0F x  有两个实数根，即 2lnex x xa x   有两个解， 令     2 n 0e lx x xh x xx    ，利用 导数研究函数的单调性、极值，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：（1）  f x 的定义域为     1 10, 0axf x a xx x     ， ， 对于函数 1y ax  ， ①当 0a  时， 1 0y ax   在 0x  恒成立.   0f x  在 0,  恒成立.  f x 在 0,  为增函数； ② 当 0a  时，由   0f x  ，得 10 x a    ； 由   0f x  ，得 1x a   ；  f x 在 1(0, )a  为增函数，在 1( , )a   减函数. 综上，当 0a  时，  f x 的单调递增区间为 (0, ) 当 0a  时，  f x 的单调递增区间为 1(0, )a  ，单调递减区间为 1( , )a   （2）        2ln 0xF x f x g x x x ax x e x        ，  F xQ 存在两个不动点，方程   0F x  有两个实数根，即 2lnex x xa x   有两个解， 令     2 n 0e lx x xh x xx    ，           2 2 1 1 ln1 ln 1 1 ee xx x x xx x x xh x x x          ， 令   0h x  ，得 1x  ， 当  0,1x 时，    0h x h x  ， 单调递减； 当  1,x  时，    0h x h x  ， 单调递增；    1 e 1h x h    ， - 17 - 设 ( ) lnI x x x  ,则 ' 1( ) 1I x x   , max ( ) (1) 1 0I x I    ,即 0x  时, ln x x 将 ln x x 两边取指数,则 exx  当 0x  时, 2 21 1( ) 1 xe x x x xh x xx x x           当 x   时 , 2 ( ) x x xh x xx      当 1a e  时，  F x 有两个不同的不动点 【点睛】本题考查了函数的单调性的求法，利用导数研究函数的零点，属于中档题． 21.已知长度为 4 的线段的两个端点 ,A B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P 满足 3BP PA= ， 记动点 P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程； （2）设曲线C 与 y 轴的正半轴交于点 D ，过点 D 作互相垂直的两条直线，分别交曲线C 于 点 M ， N 两点，连接 MN ，求 DMN 的面积的最大值. 【答案】（1） 2 2 19 x y  ；（2） 27 8 . 【解析】 【分析】 （1）设动点 P 和点 A ， B 的坐标，利用向量数乘关系结合| | 4AB  容易求得方程； （2）联立直线与曲线方程， 利用弦长公式可得 2 2 18| DM | 1 1 9 kk k    ， 2 2 18 1| DN| 9 k k   则 2 2 1162( )1 | || | 12 82 9( ) DMN k kS DM DN k k       ，设 1k tk   ，则 2t  ，再利用基本不等式计算可 得； 【详解】（1）解：设 ( ) ( ) ( ), , ,0 , 0,P x y A m B n . 3BP PA=    ， - 18 - ( ) ( ) ( ), , 3 3 , 3x y n m x y m x y - = - - = - - ，即 3 3 3 x m x y n y       . 4 3 4 m x n y     . 又| | 4AB  ， 2 2 16m n   . 从而 2 216 16 169 x y+ = . 曲线C 的方程为 2 2 19 x y  . （2）由题意可知，直线 DM的斜率存在且不为 0. 故可设直线 DM的方程为 1y kx  ，由对称性，不妨设 0k  ， 由 2 2 1 9 9 0 y kx x y       ，消去 y 得 2 2(1 9 ) 18 0k x kx   ， 则 2 2 18| DM | 1 1 9 kk k    ， 将式子中的 0k  换成 1 k  ，得： 2 2 18 1| DN| 9 k k   . 1 | DM || DN |2DMNS   2 2 2 2 1 18 118 1 2 1 9 9 k k k k k     3 4 2 162( ) 9 82 9 k k k k    2 2 1162( ) 182 9( ) k k k k     ， 设 1k tk   ，则 2t  . 故 2 162 9 64DMN tS t   162 162 27 64 82 9 649t t    ，取等条件为 649t t  即 8 3t  ， 即 1 8 3k k   ，解得 4 7 3k  时， DMNS 取得最大值 27 8 . 【点睛】本题考查了曲线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，基本不等式的应用，属于中 档题． 请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. - 19 - 【选修 4－4：坐标系与参数方程】 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 3 2cos , 2 2sin x y         （ 为参数）. 以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线 L 的极坐标方程为  7 04    . （1）求曲线C 的极坐标方程与射线 L 的直角坐标方程； （2）若射线 L 与曲线C 交于 A ， B 两点，求 2 2OA OB OB OA   . 【答案】（1） 2 6 cos 4 sin 9 0        ，  0y x x   ；（2） 45 2 . 【解析】 【分析】 （1）消参即可容易求得曲线C 的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程； （2）联立 7 4   与 2 6 cos 4 sin 9 0        ，即可求得 1 2  ， 1 2  ，则问题得 解. 【详解】（1）由 3 2cos , 2 2sin , x y         得   2 23 2 4x y    ， 即 2 2 6 4 9 0x y x y     ， 故曲线C 的极坐标方程为 2 6 cos 4 sin 9 0        . 射线 L 的直角坐标方程为  0y x x   . （2）将 7 4   代入 2 6 cos 4 sin 9 0        ， 得 2 2 26 4 9 02 2         ，即 2 5 2 9 0    ， 则 1 2 5 2   ， 1 2 9   ， 所以    2 2 1 2 1 2 45 2OA OB OB OA OA OB OA OB              . 【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，  的几何意义， 根与系数的关系，属于中档题. 【选修 4-5：不等式选讲】 23.已知 0a  ，函数   1f x ax  ，   2g x ax  . - 20 - （1）若    f x g x ，求 x 的取值范围； （2）若     2 10 7af x g x    对 xR 恒成立，求 a 的最大值与最小值之和. 【答案】（1）当 0a  时，不等式解集为 1 ,2a      ；当 0a  时，不等式解集为 1, 2a      ； （2）1. 【解析】 【分析】 （1）两边平方求解绝对值不等式，对参数 a 进行分类讨论，则问题得解； （2）利用绝对值三角不等式，即可容易求得    f x g x 的最小值，再求解绝对值不等式， 即可求得 a 的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可. 【详解】（1）因为    f x g x ，所以 1 2ax ax   ， 两边同时平方得 2 2 2 22 1 4 4a x ax a x ax     ， 即 6 3ax   ， 当 0a  时， 1 2x a   ；当 0a  时， 1 2x a   . 故当 0a  时，不等式解集为 1 ,2a      ；当 0a  时，不等式解集为 1, 2a      （2）因为        1 2 1 2 3f x g x ax ax ax ax          ， 当且仅当   1 2 0ax ax   时取得等号. 所以    f x g x 的最小值为 3， 所以 2 10 7 3a   ，则 3 2 10 7 3a     ， 解得 lg 2 lg5a  ， 故 a 的最大值与最小值之和为 lg 2 lg5 lg10 1   . 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，涉及绝对值三角不等式，对数运算，属综合中档题. - 21 -