【数学】2020届一轮复习苏教版不等式选讲学案 22页

选修4－5　不等式选讲A 第1讲　不等式、含有绝对值的不等式 ‎[最新考纲]‎ ‎1．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．‎ ‎2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法.‎ 知 识 梳 理 ‎1．绝对值三角不等式 ‎(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；‎ ‎(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；‎ ‎(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解法 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a，或x<－a}‎ ‎{x|x∈R，且x≠0}‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ 诊 断 自 测 ‎1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．‎ 解析　数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集．‎ 答案　(－4，－2)∪(0,2)‎ ‎2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________．‎ ‎①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|.‎ 解析　∵ab＞0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①和④正确．‎ 答案　①④‎ ‎3．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________．‎ 解析　令：f(x)＝|x－8|－|x－4|＝ 当x≤4时，f(x)＝4＞2；‎ 当4＜x≤8时，f(x)＝－2x＋12＞2，得x＜5，‎ ‎∴4＜x＜5；‎ 当x＞8时，f(x)＝－4＞2不成立．‎ 故原不等式的解集为：{x|x＜5}．‎ 答案　{x|x＜5}‎ ‎4．(2018·山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.‎ 解析　∵|kx－2|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.‎ ‎∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.‎ 答案　2‎ ‎5．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．‎ 解析　∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1.‎ 答案　(－∞，1)‎ 考点一　含绝对值不等式的解法 ‎【例1】 解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.‎ 解　法一　如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A‎1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B‎1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ 法二　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔‎ 或 或解得x≥2或x≤－3，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ 法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.‎ 令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝作出函数的图象，如图所示．‎ 由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ 规律方法 形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．‎ ‎(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.‎ ‎(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．‎ ‎【训练1】 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1.‎ 解　①当x＜－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得x＜10，∴x＜－3.‎ ‎②当－3≤x＜时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得x＜－，∴－3≤x＜－.‎ ‎③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜＋1，解得x＞2，∴x＞2.‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ 考点二　含参数的绝对值不等式问题 ‎【例2】 已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中a的取值范围．‎ ‎(1)不等式有解；‎ ‎(2)不等式的解集为R；‎ ‎(3)不等式的解集为∅.‎ 解　法一　因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(－1)，B(3)距离的差，‎ 即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.‎ 由绝对值的几何意义知，‎ PA－PB的最大值为AB＝4，‎ 最小值为－AB＝－4，‎ 即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.‎ ‎(1)若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a＜4.‎ ‎(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，‎ 只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a＜－4.‎ ‎(3)若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.‎ 法二　由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4.‎ ‎|x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4.‎ 可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.‎ ‎(1)若不等式有解，则a＜4；‎ ‎(2)若不等式的解集为R，则a＜－4；‎ ‎(3)若不等式解集为∅，则a≥4.‎ 规律方法 本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.‎ ‎【训练2】 设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.‎ 由此可得x≥3或x≤－1.‎ 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3，或x≤－1}．‎ ‎(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.‎ 此不等式化为不等式组或 即或 因为a>0，所以不等式组的解集为.‎ 由题设可得－＝－1，故a＝2.‎ 考点三　含绝对值的不等式的应用 ‎【例3】 (2018·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.‎ ‎(1)当a＝－2时，求不等式f(x)－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.‎ 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，‎ 则y＝ 其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.‎ 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．‎ ‎(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，‎ 不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，‎ 所以x≥a－2对x∈都成立，‎ 应有－≥a－2，则a≤，‎ 从而实数a的取值范围是.‎ 规律方法 含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．‎ ‎【训练3】 (2018·新课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝－3时，f(x)＝ 当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2