安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三下学期4月模拟考试数学（文）试题 Word版含解析 25页

www.ks5u.com 定远重点中学2020届高三下学期4月模拟考试文科数学 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据一元二次不等式计算出集合中表示元素范围,然后计算出的范围,最后根据交集的含义计算的结果.‎ ‎【详解】因为,所以即,所以,‎ 又因,所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.‎ ‎2.已知是虚数单位，复数，若，则 （ ）‎ A. 0 B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过复数的除法运算得到，再由模的求法得到方程，求解即可.‎ ‎【详解】，因为，，即，解得：0‎ 故选A - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎3.2019年1月1日，济南轨道交通号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所有符合要求的情况全部列出，然后选出符合要求的情况，利用古典概型的概率公式，得到答案.‎ ‎【详解】从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位，全部的情况有：‎ ‎（小王，小张）（小王，小刘）（小王，小李）（小张，小刘）（小张，小李）（小刘，小李），共6种 符合要求，即包含小王的情况有：（小王，小张）（小王，小刘）（小王，小李）共3种,‎ 所以小王被选中的概率为 故选B项.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的求法，属于简单题.‎ ‎4.等比数列的各项均为实数，其前项和为,己知,则=( ）‎ A. 32 B. 16 C. 4 D. 64‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过讨论的取值情况，确定，利用等比数列的求和公式，建立方程组，求出和，进而求得的值．‎ ‎【详解】当公比 时可得，代入，与矛盾，所以 - 25 -‎ ‎.由等比数列的前项和公式 ，可得，‎ 两式相除，得 ，可解得或（舍），‎ 当时，代入原式可求得，则由等比数列的通项公式.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列求和公式的应用，利用方程思想求出首项和公比，属于简单题．‎ ‎5.根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用表示第个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是 (　　)‎ A. B. ‎ - 25 -‎ C D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方差公式，将其化简得，结合流程图得循环结束，可得，从而可得，从而可得出答案.‎ ‎【详解】由，循环退出时，知.‎ ‎，故程序框图①中要补充的语句是.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】把茎叶图与框图两部分内容进行交汇考查，体现了考题设计上的新颖，突出了高考中对创新能力的考查要求．算法表现形式有自然语言、程序框图、算法语句等三种．由于程序框图这一流程图形式与生产生活等实际问题联系密切，既直观、易懂，又需要一定的逻辑思维及推理能力，所以算法考查热点应是以客观题的形式考查程序框图这一内容．‎ ‎6.若对圆上任意一点，的取值与，无关， 则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点到直线距离公式，转化为点 - 25 -‎ 到两条平行直线的距离之和来求解实数a的取值范围 ‎【详解】依题意表示到两条平行直线和的距离之和与无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如下图所示，故圆心到直线的距离，解得或（舍去）‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎7.函数的图象大致是( )‎ - 25 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为偶函数可排除C、D；由时，可排除B；即可得解.‎ ‎【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，‎ 由，可得函数为偶函数，故C、D错误；‎ 当时，由，可得，故B错误.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象的识别和余弦函数的性质，属于基础题.‎ ‎8.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，以及和，即可求解出的值.‎ - 25 -‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据向量的模长以及垂直关系求解向量夹角，难度较易.已知向量的模长求解向量的夹角时，可通过数量积计算公式进行化简求解.‎ ‎9.椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设P点坐标为，则，，，‎ 于是，故.‎ ‎∵∴.故选B.‎ ‎【考点定位】直线与椭圆的位置关系 ‎10.在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是　　‎ - 25 -‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线与直线AB所成角的正弦值的最小值．‎ ‎【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体中棱长为1，‎ 设0，，，，‎ ‎1，，1，，‎ ‎0，，1，，‎ ‎，1，，1，，‎ 设平面的法向量y，，‎ - 25 -‎ 则，取，‎ 得，‎ 平面，‎ ‎，解得，‎ ‎，，‎ 设直线与直线AB所成角为，‎ ‎1，，‎ ‎，，，‎ ‎．‎ 直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，函数与方程思想，是中档题．‎ ‎11.定义在上连续函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 25 -‎ 分析】‎ 令，易得函数为奇函数，求导后即可得函数在上单调递减，转化条件得，即可得解.‎ ‎【详解】，，‎ 令，则，‎ 函数为奇函数，‎ 当时，，函数在上单调递减，‎ 又函数为连续函数，函数在上单调递减，‎ 不等式可转化为，‎ 即，，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数与导数的综合应用，考查了构造新函数和推理能力，属于中档题.‎ ‎12.已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由诱导公式及三角恒等变换得，转化条件得函数与的图象在上有两个交点，且，画出函数的图象，数形结合即可得解.‎ - 25 -‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 原方程在区间上有两个根，即函数与的图象在上有两个交点，‎ 画出函数的图象，如图，‎ 数形结合可知，若要使函数与的图象在由两个交点，‎ 且，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式和三角恒等变换的综合应用，考查了三角函数的图象与性质及数形结合思想，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题90分）‎ 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．‎ ‎【答案】10‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ 前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝t，解得t＝10，即需要花费10小时．‎ ‎14.已知变量满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出可行域如图所示： ‎ 设，由可行域易知．又由得：，即，而，所以的最小值为，所以，故填．‎ 点睛：本题将线性规划问题与函数的最大值问题相结合，突出了创新思路，首先要对参数分离，分离参数后求 - 25 -‎ 的最小值，这种处理变换式子的能力需要强化，然后换元为，结合可行域求出的取值范围，从而求出最值．‎ ‎15.如图，正方形的边长为，点分别在边上， 且．将此正方形沿切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：由题意首先确定几何体的空间结构，然后利用体积相等求得内切球半径，最后求解内切球的体积即可.‎ 详解：如图所示，在长宽高分别为的长方体中，‎ 三棱锥即为题中所给的四个面组成的三棱锥，‎ 该三棱锥的体积：，‎ 在△AB1C，由勾股定理易得：，‎ 由余弦定理可得：，‎ 则，‎ 故，‎ 该三棱锥的表面积为：，‎ 设三棱锥外接球半径为,则：，‎ - 25 -‎ 即：，‎ 该三棱锥的体积：.‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎16.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是以为直角顶点的等腰三角形，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设，可得，根据双曲线的定义求得的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.‎ ‎【详解】设，则，‎ 根据双曲线的定义，有，即，.‎ - 25 -‎ 则，，所以，，‎ 故面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.解答直线与圆锥曲线位置关系题目时，首先根据题意画出曲线的图像，然后结合圆锥曲线的定义和题目所给已知条件来求解.利用题目所给等腰直角三角形，结合定义可求得直角三角形的边长，由此求得面积.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写需给出文字说明，证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：‎ 间隔时间（分钟）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 等侯人数（人）‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎29‎ ‎28‎ ‎31‎ 调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.‎ ‎（1）若选取的是后面4组数据，求关于的线性回归方程，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；‎ ‎（2）为了使等候的乘客不超过35人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？‎ 附：对于一组数据，，……，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，‎ - 25 -‎ ‎【答案】（1），是；（2）18分钟.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意求出、、、，代入公式求得、即可求得线性回归方程；根据“恰当回归方程”的概念直接判断即可得解；‎ ‎（2）令，解出后，即可得解.‎ ‎【详解】（1）由后面四组数据求得，，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎∴.‎ 当时，，而；‎ 当时，，而.‎ ‎∴求出的线性回归方程是“恰当回归方程”；‎ ‎（2）由，得，故间隔时间最多可设置为分钟.‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的求解及应用，考查了运算能力及对于新概念的理解，属于中档题.‎ ‎18.已知数列｛｝的前n项和Sn＝n2－5n (n∈N+）．‎ ‎（1）求数列｛｝的通项公式；‎ - 25 -‎ ‎（2）求数列｛｝的前n项和Tn .‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用数列的递推式：，计算可得数列｛｝的通项公式；（2）结合（1）求得，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列｛｝的前项和 .‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以,时,‎ 也适合，所以 ‎ ‎（2）因为， ‎ 所以 ‎ ‎ 两式作差得： ‎ 化简得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎19.如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，将，分别沿DE，DF折起，使得A，C两点重合于点M．‎ - 25 -‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在正方形ABCD中，有，，在三棱锥中，可得，，由线面垂直的判定可得面MEF，则；‎ ‎（2）由E、F分别是AB、BC边的中点，可得，求出三角形MEF的面积，结合及棱锥体积公式求解．‎ ‎【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，，，‎ 在三棱锥中，有，，且，‎ 面MEF，则；‎ ‎（2）解：、F分别是边长为2的正方形ABCD中AB、BC边的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由（1）知，．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．‎ ‎20.设函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数的极大值点为，证明：.‎ - 25 -‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）的定义域为，，据此分类讨论可得：当时，函数在区间单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，原问题等价于证明.构造函数 ，结合导函数的特征再次构造函数，结合函数的性质即可证得题中的结论.‎ 详解：（Ⅰ）的定义域为，，‎ 当时，，则函数在区间单调递增；‎ 当时，由得，由得.‎ 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 当时，由得，由得，‎ 所以，函数在区间上单调递增，在区间单调递减.‎ 综上所述，当时，函数在区间单调递增；‎ 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ - 25 -‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知且时，解得.，‎ 要证，即证，即证：.‎ 令 ，则 .‎ 令，易见函数在区间上单调递增.‎ 而，，‎ 所以在区间上存在唯一的实数，使得，‎ 即，且时，时.‎ 故在上递减，在上递增.‎ ‎∴ .‎ 又，∴ .‎ ‎∴成立，即成立.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎21.动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设Q（x，y），则P（x，2y），代入x2=2y得出轨迹方程；‎ ‎（2）联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式化简|k1﹣k2|，利用二次函数的性质求出最小值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设点，则由得，因点在抛物线上， ‎ ‎（Ⅱ）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，‎ 联立得 由韦达定理得 ‎ ‎（1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得 ‎（2）当直线不经过点即且时，， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的最小值为. ‎ 方法二：同上 ‎ ‎ - 25 -‎ ‎ ‎ 故，所以的最小值为 ‎ 方法三：设点，由直线过点交轨迹于两点得： 化简整理得： ‎ ‎，令，则 ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式，属于中档题．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．‎ ‎【答案】（1）曲线：，直线的直角坐标方程；（2）1.‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点到，的距离之积 试题解析：（1）曲线化为普通方程为：，‎ 由，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），‎ 代入化简得：，‎ 设两点所对应的参数分别为，则，‎ ‎．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f（x）在x=﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的范围．‎ - 25 -‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ 由得不等式的解集为.‎ ‎（2）由二次函数，‎ 知函数在取得最小值2，‎ 因为，在处取得最大值，‎ 所以要是二次函数与函数的图象恒有公共点.‎ 只需，即.‎ - 25 -‎ - 25 -‎