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- 2021-06-16 发布
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山东省安丘市实验中学2019-2020学年
高一下学期期中考试试题
第I卷(选择题)
一、单选题:本题共8个小题,每题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
2.设两个单位向量,的夹角为,则|3+4|=( )
A.1 B. C. D.7
3.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若,则角A的值为( )
A. B. C. D.
4.已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,则xy的取值范围是( )
A.[,] B.[,] C.[,] D.[,]
5.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ),ω>0,|φ|<,f(x)是奇函数,直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则( )
A.f(x)在(,)上单调递减
B.f(x)在(0,)上单调递减
C.f(x)在(0,)上单调递增
D.f(x)在(,)上单调递增
6.在△ABC中,,,E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足,则的值为( )
A. B. 1 C. D.
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,且B为锐角,若,,,则b=( )
A. B. C. D.
答案及解析:
8.已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是()
A. -6 B. -3 C. -4 D. -2
二、 多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求。全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分
9.已知,如下四个结论正确的是( )
A.; B.四边形为平行四边形;
C.与夹角的余弦值为; D.
10.下列各式中,值为的是( )
A. B. C.
D. E.
11.已知的内角所对的边分别为,下列四个命题中正确的命题是( )
A.若,则一定是等边三角形
B.若,则一定是等腰三角形
C.若,则一定是等腰三角形
D.若,则一定是锐角三角形
12.已知函数,则下面结论正确的是( )
A.为偶函数 B.的最小正周期为
C.的最大值为2 D.在上单调递增
第II卷(非选择题)
三、填空题:本大题共4小题,,每小题5分,共20分。
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为_____________.
14.已知,则 .
15.已知函数,若对任意都有()成立,则的最小值为__________.
16.设非零向量,的夹角为,记,若,均为单位向量,且,则向量与的夹角为__________.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设两个非零向量与不共线.
(1)若,,求证:A、B、D三点共线;
(2) 试确定实数k,使与共线.
18.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若角边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.
19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为.
(l)求角B的大小;
(2)已知,且△ABC的外接圆的半径为,若,求的值.
20.(本小题满分12分)
设向量,,其中,,函数
的图象在轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为,在原点右侧与轴的第一个交点为.
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)在中,角A,B,C的对边分别是,若,且,求边长.
21.已知两个不共线的向量a,b满足,,.
(1)若,求角θ的值;
(2)若与垂直,求的值;
(2) 当时,存在两个不同的θ使得成立,求正数m的取值范围.
22.已知,,,且,其中
(1) 若与的夹角为,求的值;
(2) 记,是否存在实数,使得对任意的恒成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,试说明理由.、
参考答案
第I卷(选择题)
一、单选题:本题共8个小题,每题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
答案及解析:
1. A
【详解】因为,,所以.
故选:A.
【点睛】本题主要考查已知角终边上一点,利用三角函数定义求三角函数值,属于基础题.
2.设两个单位向量,的夹角为,则|3+4|=( )
A.1 B. C. D.7
答案及解析:
2.B
解:两个单位向量的夹角为,
则=9+24•+16=9×12+24×1×1×cos+16×12=13,
所以=.
故选:B.
3.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若,则角A的值为( )
A. B. C. D.
答案及解析:
3.C
【详解】由正弦定理得:
本题正确选项:C
【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用,涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用,属于基础题.
4.已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,则xy的取值范围是( )
A.[,] B.[,] C.[,] D.[,]
答案及解析:
4.D
【解答】解:D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,
可得x+y=1,x,y∈[,],
则xy≤=,当且仅当x=y=时取等号,
并且xy=x(1﹣x)=x﹣x2,函数的开口向下,对称轴为:x=,当x=或x=时,取最小值,
xy的最小值为:.
则xy的取值范围是:[,].
5.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ),ω>0,|φ|<,f(x)是奇函数,直线y=与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,则( )
A.f(x)在(,)上单调递减
B.f(x)在(0,)上单调递减
C.f(x)在(0,)上单调递增
D.f(x)在(,)上单调递增
答案及解析:
5.A
【解答】解:∵f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+),
∵f(x)是奇函数,,
∴φ+=0,得φ=﹣,
则f(x)=sinωx,
由sinωx=得sinωx=1,
∵直线与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为,
∴T=,0即=,得ω=4,
即f(x)=sin4x,
由2kπ﹣≤4x≤2kπ+,k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+,当k=0时,函数的 递增区间为[﹣,],k=1时,递增区间为[,]
由2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z得kπ+≤x≤kπ+,当k=0时,函数的递减区间为[,],当k=1时,函数的递减区间为[,]
6.在△ABC中,,,E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足,则的值为( )
A. B. 1 C. D.
6.D
【详解】为中点
和为等腰三角形
,同理可得:
本题正确选项:D
【点睛】本题考查向量数量积的求解问题,关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形,从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,且B为锐角,若,,,则b=( )
A. B. C. D.
答案及解析:
7.D
【详解】由于,有正弦定理可得: ,即
由于在中,,,所以,
联立 ,解得:,
由于为锐角,且,所以
所以在中,由余弦定理可得:,故(负数舍去)
故答案选D
【点睛】本题考查正弦定理,余弦定理,以及面积公式在三角形求边长中的应用,属于中档题
8.已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是()
A. -6 B. -3 C. -4 D. -2
答案及解析:
8.A
【详解】由题意,以中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
则,
设,则,
所以
,
所以当时,取得最小值为,
故选A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
二、 多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求。全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分
9.已知,如下四个结论正确的是( )
A.; B.四边形为平行四边形;
C.与夹角的余弦值为; D.
【答案】BD
【解析】
【详解】
由,
所以,,, ,
对于A,,故A错误;
对于B,由,,则,
即与平行且相等,故B正确;
对于C,,故C错误;
对于D,,故D正确;
故选:BD
10.下列各式中,值为的是( )
A. B. C.
D. E.
【答案】BCE
【解析】
【分析】
利用二倍角公式计算可得.
【详解】
解:A不符合,;
B符合,;
C符合,;
D不符合,;
E符合,.
故选:.
11.已知的内角所对的边分别为,下列四个命题中正确的命题是( )
A.若,则一定是等边三角形
B.若,则一定是等腰三角形
C.若,则一定是等腰三角形
D.若,则一定是锐角三角形
【答案】AC
【详解】
由,利用正弦定理可得,即,是等边三角形,A正确;
由正弦定理可得,或,
是等腰或直角三角形,B不正确;
由正弦定理可得,即,
则等腰三角形,C正确;
由正弦定理可得,角为锐角,角不一定是锐角,D不正确,故选AC.
12.已知函数,则下面结论正确的是( )
A.为偶函数 B.的最小正周期为
C.的最大值为2 D.在上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】
首先将化简为,选项A,的定义域为,,故A正确。根据的周期和最值可判断B正确,C不正确。根据可判定D正确。
【详解】
,
选项A,的定义域为,
,故A正确。
B选项,的最小正周期为,故B正确。
C选项,,故C不正确。
D选项, 由的图像,
由图可知:在上单调递增,故D正确。
故选ABD
【点睛】
本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性,同时考查三角函数最值和单调区间,属于中档题。
第II卷(非选择题)
三、填空题:本大题共4小题,,每小题5分,共20分。
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为_____________.
答案及解析:
13.30°
14.已知,则 .
答案及解析:
14.
15.已知函数,若对任意都有()成立,则的最小值为__________.
答案及解析:
15.4π
【详解】因为对任意成立,所以取最小值,取最大值;
取最小值时,与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的,则,且,故.
【点睛】任何一个函数,若有对任何定义域成立,此时必有:,.
16.设非零向量,的夹角为,记,若,
均为单位向量,且,则向量与的夹角为__________.
答案及解析:
16.【详解】由题设知,若向量,的夹角为,则,的夹角为.由题意可得,
,
.
∵,,,,向量与夹角为.
故答案为:.
【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用,以及向量夹角的求法,平面向量数量积公式有两种形式,一是,二是,主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, (此时往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设两个非零向量与不共线.
(1)若,,求证:A、B、D三点共线;
(2)试确定实数k,使与共线.
答案及解析:
17.(1)见解析;(2).
(1)证明:∵,
∴...........4分
∴与共线,又它们有公共点,∴三点共线............5分
(2)若和共线
∴存在实数,使
即..........8分
∴ 解得...........10分
18.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若角边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.
答案及解析:
.每问6分
19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为.
(l)求角B的大小;
(2)已知,且△ABC的外接圆的半径为,若,求的值.
答案及解析:
19.(l);(2)9.
【详解】(1)
由余弦定理可得,,..........5分
...........6分
(2),△ABC外接圆的半径为,
∴由正弦定理可得:,可得:,。。。。。8分
,①
∴由余弦定理可得:,
解得:,②
∴联立①②可得:,或,
由,可得:,。。。。。。。。。。。10分
,
.。。。。。。。。。。。。。。。12分
【点睛】本题主要考查了余弦定理,正弦定理,平面向量数量积的运算,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
20.(本小题满分12分)
设向量,,其中,,函数
的图象在轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为,在原点右侧与轴的第一个交点为.
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)在中,角A,B,C的对边分别是,若,且,求边长.
答案及解析:
20.(I)因为, -----------------------------1分
由题意, -----------------------------3分
将点代入,得,
所以,又因为 -------------------5分
即函数的表达式为. ---------------------6分
(II)由,即
又 ------------------------8分
由 ,知,
所以 -----------------10分
由余弦定理知
所以 ----------------------------------------------------12分
21.已知两个不共线的向量a,b满足,,.
(1)若,求角θ的值;
(2)若与垂直,求的值;
(3)当时,存在两个不同的θ使得成立,求正数m的取值范围.
答案及解析:
21.(1)(2)(3)
【详解】(1)由题得
所以角的集合为 .。。。。。。。。。。。。。4分
(2)由条件知, ,又与垂直,
所以,所以.
所以,故. 。。。。。。。。。。。。8分
(3)由,得,
即,
即,,
所以.
由得,又要有两解,结合三角函数图象可得,
,即,
又因为,所以.
即m的范围..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示,考查向量的模的计算,考查三角函数图像和性质的综合应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于中档题.
22.已知,,,且,其中
(1) 若与的夹角为,求的值;
(2) 记,是否存在实数,使得对任意的恒成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,试说明理由.、
22.解:(1),由,
得,即
。。。。。。。。。。。。。。。。(6分)
(2) 由(1)得,
,即可得,
,因为对于任意恒成立,又因为,。。。。。。。。8分
所以,即对于任意恒成立,构造函数。。。。。10分
从而由此可知不存在实数使之成立。。。。。。。。12分