【数学】2019届一轮复习北师大版解析几何解答题学案 46页

专题五 解析几何解答题 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎【背一背重点知识】‎ ‎ 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y后得ax2＋bx＋c＝0．通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示．‎ 方程ax2＋bx＋c＝0的解．‎ 交点个数 l与C的关系 a＝0‎ b=0[ ] [ ][ ]‎ 无解（含双曲线的渐近线）‎ 无公共点 b≠0‎ 有一解（含与双曲线的渐近线的平行线或抛物线的对称轴平行的直线）‎ 一个交点 相交 a≠0‎ Δ＞0‎ 两个不等的解 两个交点 相交 Δ＝0‎ 两个不等的解 一个交点 相切 Δ＜0‎ 无实数解 无公共点 相离 ‎2．圆锥曲线的弦长 ‎（I）圆锥曲线的弦长的定义 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．‎ ‎（II）圆锥曲线的弦长的计算 ‎ 设斜率为 ( ≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|．（抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数 利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．‎ 例1．【2018湖北七市（州）教研协作体3月高三联考】已知椭圆 的左顶点为，上顶点为，直线与直线垂直，垂足为点，且点是线段的中点．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）如图，若直线 与椭圆交于，两点，点在椭圆上，且四边形为平行四边形，求证 四边形的面积为定值．‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据题意可得，故斜率为，由直线与直线垂直，可得，因为点是线段的中点，∴点的坐标是，‎ 代入直线得，连立方程即可得，；（II）∵四边形为平行四边形，∴，设，，，∴ ，得，将点坐标代入椭圆方程得，‎ 点到直线的距离为，利用弦长公式得EF，则平行四边形的面积为 ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎（II）设，，，‎ 将代入消去并整理得 ，‎ 则，，‎ ‎ ，‎ ‎∵四边形为平行四边形，∴ ，‎ 得，将点坐标代入椭圆方程得，‎ 点到直线的距离为，，∴平行四边形的面积为 故平行四边形的面积为定值． - ‎ ‎2．利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题 当直线(斜率为 )与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝·|x1－x2|＝|y1－y2|，而|x1－x2|＝，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．‎ 例2．【2018河南安阳市高三一模】如下图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分即为，区域中动点到的距离之积为1．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求证 的面积恒为定值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】试题分析 （Ⅰ）由点到直线距离公式直接把已知表示出 ，并化简可得方程；（Ⅱ）直线与轨迹有且只有一个公共点，即直线与轨迹相切，因此可求出当与垂直（即斜率不存在）时，面积，当斜率存在时，可设其方程为，与双曲线方程联立方程组，由可得，再设出，由直线相交可求得（用表示），计算面积可得结论．‎ 试题解析 （Ⅰ）由题意得，．因为点在区域内，所以与同号，得，即点的轨迹的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线与轴相交于点，当直线的斜率不存在时，，，得．‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则，‎ 把直线的方程与联立得，‎ 由直线与轨迹有且只有一个公共点，知，‎ 得，得或．‎ 设，，由得，同理，得．‎ 所以 ．‎ 综上，的面积恒为定值2．‎ ‎3．利用点差法求解圆锥曲线问题 点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的．点差法的基本过程为 设点、代入、作差、整理代换．‎ 例3．【2018四川凉山州高三毕业班第一次诊断性检测】若，是椭圆上位于轴上方两点，且． ！ ‎ ‎（I）若，求线段的垂直平分线的方程；‎ ‎（II）求直线在轴上截距的最小值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）设AB的中点为M，则M（1，），由将AB坐标均带入椭圆方程并做差得，即可得 AB=﹣，线段AB的垂直平分线的斜率即可；（II）联立直线和椭圆得到二次方程，由韦达定理得到x9 2+9 m+1=0；由AB是椭圆E上位于x轴上方两点，∴ ＜0，m＞0进而得．‎ 解析 （I）设AB中点为，则， ‎ ‎①-②得 ‎．‎ ‎（II）显然AB的斜率存在．‎ 设直线AB 联立，‎ ‎，且，‎ ‎，，‎ 当且仅当时，等号成立，满足 ‎【名师点睛】这个题目考查了圆锥曲线中的处理中点弦的一种方法即点差法；还考查到了范围和最值问题．圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法 （I）几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质 解决；（II）代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑 ①利用判别式 ‎ 构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018河南南阳市一中上 期第三次月考】已知点为坐标原点，是椭圆上的两个动点，满足直线与直线关于直线对称．‎ ‎（I）证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；‎ ‎（II）求的面积最大时直线的方程．‎ ‎【答案】（I）直线的斜率为定值，其值为；（II），或．‎ ‎【解析】试题分析 （I）联立直线和椭圆，解出两个的交点坐标，用两点坐标解出直线斜率；（II）联立直线和椭圆根据弦长公式得到．‎ 再根据点到直线的距离得到，此时面积为，进而得到结果．‎ 解析 （I）设直线方程为 ，代入得 ‎．‎ 设，因为点在椭圆上，所以 又由题知，直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得 ‎，所以直线的斜率 即直线的斜率为定值，其值为．‎ ‎（II）由（I）可设直线方程为，代入得 ‎，则．由可得．‎ ‎，到直线的距离，‎ 可得，当且仅当（满足），即时取等，此时直线的方程为 ，或．‎ ‎2．【2018福建福州市一中高三上 期期中考试】已知椭圆 的右焦点为，点在椭圆上，且与轴交点恰为中点．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点和．求四边形的面积的最小值．‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】试题分析 （I）由题意易得，即，根据椭圆的定义可求出的值，故而可求出，即可求出椭圆的方程；（II）考虑直线的斜率为0‎ 或不存在，分别求得面积，讨论当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，（ ），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得，将换为得，由四边形的面积公式，运用换元法和基本不等式，可得最小值；，即可得到面积的最小值 ‎（II）当垂直于坐标轴时，，，，‎ 当不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，，，‎ 由，得，，，，‎ ‎，‎ 同理，因为，当且仅当，即 时等号成立，所以．‎ ‎3．【2018广东省深中、华附、省实、广雅四校联考】已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点，为椭圆上的动点，，面积最大值为．‎ ‎（I）求圆与椭圆的方程；‎ ‎（II）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I）圆的方程为，椭圆的方程为．（II）‎ ‎【解析】【试题分析】（I）根据离心率可有，依题意可知为椭圆的焦点，故．当位于椭圆上顶点时，面积取得最大值，由此列方程可解得的值，并求得圆和椭圆的方程．（II）当直线斜率存在时，设出直线方程为，利用圆和直线相切求得的等量关系式，利用韦达定理和弦长公式计算出弦长并利用配方法求得弦长的取值范围．当直线斜率不存在时，直线的方程为，可直接得到的坐标求出弦长．‎ ‎【试题解析】‎ ‎（I）由题意得，解得 ①‎ 因为，所以，点为椭圆的焦点，所以，‎ 设，则，所以，当时，‎ ‎，代入①解得，所以，‎ 所以，圆的方程为，椭圆的方程为．‎ ‎（II）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 因为直线与圆相切，所以，即，‎ 联立，消去可得，‎ ‎，‎ 令，则，所以，‎ 所以，所以 ‎ ‎②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，‎ 综上，的取值范围是．‎ 轨迹与轨迹方程 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．曲线与方程的概念 ‎ 在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系 （I）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（II）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．‎ ‎2．求轨迹方程的基本步骤 （I）建系设点 建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（II）列出关于动点的几何等量关系是 写出适合条件的p（M）的集合P={M|p(M)}；（III）坐标化 用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x，y)=0；（4）化简 化方程f(x，y)=0为最简形式；（5）检验 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，同时检验前后化简的等价性．‎ ‎3．求轨迹方程的基本方法 直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法等． = ‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．直接法求轨迹方程 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程，称之直接法．‎ 例1．【2018江西南康中 、于都中 上 期第四次联考】椭圆上动点到两个焦点的距离之和为4，且到右焦点距离的最大值为．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设点为椭圆的上顶点，若直线与椭圆交于两点（不是上下顶点）．试问 直线是否经过某一定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；‎ ‎（III）在（II）的条件下，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（I）；（II）过定点；（III） ．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由题意布列关于a，b的方程组，解之即可；（II）联立直线与椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后借助韦达定理，将向量的数量积为零表示出 ，得到方程，进而求出定点．（III） 第三问的面积则是将拆分成和 两个三角形面积之和，表达面积后，利用换元法简化表达式，再利用均值不等式求最值即可．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）由已知得 2a=4∴a=2，，，b=1，∴椭圆C的方程为 ．‎ ‎（II）依题意可设直线（ 必存在），，将代入椭圆方程得．，，‎ ‎∵∴， ‎ ‎∴ ，∵点B为椭圆的上顶点，且，∴，‎ ‎， 或（舍去），，∴直线l 必过定点．‎ ‎【思路点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点的证明，此题关键是联立直线与椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后借助韦达定理，将向量的数量积为零表示出 ，得到方程，进而求出定点．事实上，本题可以做一个推广 过椭圆上一定点作两条互相垂直的弦和，与椭圆的另一个分别为，则直线必过定点．‎ 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值 确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．‎ ‎2．定义法求轨迹方程 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．‎ 例2．【2018河北保定市上 期期末调研】已知点到点的距离比到轴的距离大1．‎ ‎（I）求点的轨迹的方程；‎ ‎（II）设直线 ，交轨迹于、两点，为坐标原点，试在轨迹的部分上求一点，使得的面积最大，并求其最大值．‎ ‎【答案】（I）或；（II）．‎ ‎【解析】试题分析 （I）求轨迹方程可直接根据题意设点列等式化简即可或者根据我们所 的椭圆、双曲线、抛物线的定义取对比也行本题因为点M到点F(1，0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1，0)的距离等于它到直线m x＝－1的距离由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴；（II）根据题意先分析如何使的面积最大，可知当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大，然后根据点到线的距离公式求出高，弦长公式求出底，即得出面积 解析 （I）因为点M到点F(1，0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1，0)的距离等于它到直线m x＝－1的距离．由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴．‎ 设轨迹C的方程为 ，， 轨迹C方程为 ，或．‎ ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），‎ 直线l化成斜截式为 ，当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大，‎ 由图知P点在第四象限．抛物线在x轴下方的图象解析式 ，所以， ‎ ‎，解得，，所以P点坐标，P点到l的距离，A，B两点满足方程组 化简得．‎ x1，x2 为该方程的根． 所以 ，‎ ‎，‎ ‎ ． ‎ ‎【名师点睛】本题解题关键在于要熟悉抛物线定义，然后第二问先要分析出什么时候可以使三角形面积达到最大，此题显然是与直线平行且与抛物线相切时，最后按照三角形面积公式一一求出所需条件即可 ‎3．相关点法求轨迹方程 相关点法 用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法．‎ 例3．【2018福建福州市高三3月质量检测】设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为．‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（II）设与轴正半轴的交点为，过点的直线的斜率为，与交于另一点为．若以点为圆心，以线段长为半径的圆与有4个公共点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】试题分析 （I）利用相关点法求出的方程；（II）由得，设，，，则点的轨迹方程为，‎ 由，得，()( )依题意得，( )式关于的方程在有两个不同的实数解，利用二次函数有关知识即可求出的取值范围．‎ ‎（II）由（I）知，的方程为，因为直线．‎ 由得，‎ 设，，因此，，，‎ 则点的轨迹方程为，由，‎ 得，()( )，‎ 依题意得，( )式关于的方程在有两个不同的实数解，‎ 设，‎ 因为函数的对称轴为，要使函数的图象在与轴有两个不同的交点，‎ 则，整理得 ，即，‎ 所以．解得，‎ 所以的取值范围为．‎ ‎4．交轨法求轨迹方程 求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数 建立这些动曲线的联系，然后消去参数 得到轨迹方程，称之交轨法． + ‎ 例4．【2018黑龙江省哈尔滨市三中高三二模】已知圆与轴交于两点，点为圆上异于的任意一点，圆在点处的切线与圆在点处的切线分别交于，直线和交于点，设点的轨迹为曲线．‎ ‎（I）求曲线的方程；‎ ‎（II）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）（II）详见解 ‎【解析】试题分析 （I）设，则处的切线为，切线CD与AC，BD组方程组可求得C，D点坐标，再直线AD，BC组方程组，解点交点P轨迹方程．注意消参，需要用到点M在圆上．同时注意曲线方程变量范围．（II）设，则，与椭圆组方程组，可求得GH，同理求得，再利用进行分类讨论．‎ 试题解析 （Ⅰ）设，则处的切线为，‎ 则，，则，则；‎ ‎（Ⅱ）由于直线不与坐标轴平行或垂直，可设，则 ‎，得，由于恒成立，设两个根为，‎ 则，同理， ‎ 由知 ，得 ‎ ‎（I）时，得得 或 ‎（II）时，得得 或 综上，共分三种情况 ‎（I）两条直角边所在直线方程为 ；（II）两条直角边所在直线方程为 ；‎ ‎（III）两条直角边所在直线方程为 ‎ ‎【名师点睛】（I）中求轨迹方程是交轨法，只需把直线AD，BC两直线方程两边对应相乘，再代入M点在圆上，可轻松消参，求得P点轨迹方程．‎ ‎5．参数法求轨迹方程 当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法．‎ 例 5．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．‎ 分析 设出直线的方程，A，B的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出，利用直线方程表示出，然后利用 求得 的坐标，设出P的坐标，然后联立方程消去参数 ‎ ‎，求得x和y的关系式，即为P点轨迹方程．‎ 解析 直线过点M（0，1）设其斜率为 ，则的方程为 记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 ‎②‎ ‎①‎ ‎ 的解．将①代入②并化简得，，所以 于是 设点P的坐标为则 消去参数 得 ③‎ 当 不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方 程为 ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018湖南省高三十四校联考】在平面直角坐标系中，动点（）到点的距离与到轴的距离之差为1．‎ ‎（I）求点的轨迹的方程；‎ ‎（II）若，过点作任意一条直线交曲线于，两点，试证明是一个定值．‎ ‎【答案】（I）；（II）证明见解析．‎ ‎【解析】【试题分析】（I）根据抛物线的定义，可求得点的轨迹的方程．（II）设出直线的方程为，联立直线的方程和抛物线的方程，写出韦达定理．将坐标代入，化简后可求得定值为．‎ ‎2．【2018河南濮阳市高三一模】已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点．‎ ‎（I）证明 直线过定点； ‎ ‎（II）过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II） ．‎ ‎【解析】试题分析 （I）代入点的坐标得到抛物线方程，设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，利用，代入根与系数的关系，求得，代入直线方程，得到定点；（II）根据（I）可知，点的轨迹满足圆的方程，以为直径的圆去掉，写出圆的方程即可．‎ 试题解析 （I）点在抛物线上，代入得，所以抛物线的方程为，‎ 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，‎ 联立得，得，，‎ 由于，所以，即，‎ 即．( )‎ 又因为，，‎ 代入( )式得，即，‎ 所以或，即或．‎ 当时，直线方程为，恒过定点，经验证，此时，符合题意；‎ 当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，所以直线恒过定点．‎ ‎（II）由（I），设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为．‎ ‎3．【2018衡水金卷（二）】如图，矩形中， 且，交于点．‎ ‎（I）若点的轨迹是曲线的一部分，曲线关于轴、轴、原点都对称，求曲线的轨迹方程；‎ ‎（II）过点作曲线的两条互相垂直的弦，四边形的面积为，探究是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）曲线的轨迹方程为；（II）为定值．‎ ‎【解析】试题分析 （I）可得M（﹣2，2λ），N（﹣2+4λ，2），，设Q（x，y），整理得 ，即可得曲线P的轨迹方程为；‎ ‎（II）设直线的斜率为，把代入椭圆方程，化简整理得 ‎．利用韦达定理易得四边形GFHE的面积为，，所以，‎ ‎（II）设，当直线斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，把代入椭圆方程，化简整理得．‎ ‎，．‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴把换成，即得．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴．当直线斜率不存在或为零时，．∴为定值．‎ 圆锥曲线中的范围、最值问题 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1、求圆锥曲线最值范围问题常见的方法有两种 ‎（I）几何法 题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图像性质结合曲线的定义 解决，这是几何法．‎ ‎（II）代数法 题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．求函数的最值范围常见的代数方法有 配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等．‎ ‎2、求有关圆锥曲线的最值问题市应注意以下几点 ‎ ‎（I）圆锥曲线上本身存在的最值问题．如 ①椭圆上两点间最大距离为；②椭圆的焦半径的取值范围为，和分别表示椭圆的焦点到椭圆上的最短距离和最长距离等．‎ ‎（II）圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常把两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题解决；‎ ‎（III）圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法；‎ ‎(4)由直线(系)和圆锥曲线的位置关系，求直线中或圆锥曲线中某个参数(系数)满足的范围，解决方法是把所求参数化为另一变元的函数关系求解．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ 圆锥曲线中的范围和最值问题的求解方法 ‎ 求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题 一是注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想．建立目标函数，求解最值．在利用代数法解决最值和范围问题时常从以下几个方面入手 ‎ (1) 利用判别式 构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ (2) 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；‎ (3) 利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的范围；‎ (1) 利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的范围；‎ (2) 利用函数的值域的求法，从而确定参数的取值范围．‎ 例1．【2018湖北部分重点中 高三上 期第二次联考】设，动圆与轴相切于点，如图，过两点分别作圆的非轴的两条切线，两条切线交点为．‎ ‎（I）证明 为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎（II）设动直线与圆相切，又与点的轨迹交于两点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】试题分析 （I）根据圆的切线长定理得到点的轨迹方程；（II）联立直线和椭圆得到二次方程，根据向量坐标化得到，根据韦达定理得到，再求范围．‎ 解析 ‎ ‎（I）点的轨迹方程 ‎（II）（i）当直线斜率不存在时，，不妨设，则 ‎（ii）当直线斜率存在时，设，即 因为直线与单位圆相切，则得．①‎ 由，则 ‎②‎ ‎②代①‎ ‎（iii）当过点或时，，‎ 即或则 综上 ．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ 例2．【2018甘肃兰州市高三一诊】已知圆 ，过且与圆相切的动圆圆心为．‎ ‎（I）求点的轨迹的方程；‎ ‎（II）设过点的直线交曲线于，两点，过点的直线交曲线于，两点，且，垂足为（，，，为不同的四个点）．‎ ‎①设，证明 ；‎ ‎②求四边形的面积的最小值．‎ ‎【答案】（I）．（II）①见解析．②．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，由题意可得 ，则点的轨迹是椭圆，其方程为．‎ ‎（II）①由题意可知，而，，，为不同的四个点，故．‎ ‎②若或的斜率不存在，四边形的面积为．否则，设的方程为，联立直线方程与椭圆方程可得，同理得，则 ，当且仅当时等号成立．则四边形的面积取得最小值为．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，‎ 则， ，‎ 由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆，，，，的方程为．‎ ‎（II）①证明 由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，则有，‎ 又因，，，为不同的四个点，．‎ ‎②解 若或的斜率不存在，四边形的面积为．‎ 若两条直线的斜率存在，设的斜率为，则的方程为，‎ 解方程组，得 ，则，‎ 同理得，∴ ，‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ 综上所述，当时，四边形的面积取得最小值为．‎ ‎【名师点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法 ‎（I）几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质 解决；‎ ‎（II）代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑 ‎ ‎①利用判别式 构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎③利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018安徽江南十校高三3月联考】线段为圆 的一条直径，其端点，在抛物线 上，且，两点到抛物线焦点的距离之和为．‎ ‎（I）求直径所在的直线方程；‎ ‎（II）过点的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线相交于点，求面积的最小值．‎ ‎【答案】（I）．（II）．‎ ‎（II）不妨记，，，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，结合弦长公式可得 ，结合点到直线距离公式可得点到直线的距离 ，则 ，则的面积的最小值．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）设，，抛物线的焦点为，则，‎ 又，故，∴，‎ 于是的方程为．‎ ‎，则 ，‎ ‎∴的直线方程为．‎ ‎（II）不妨记，，，直线的方程为，‎ 联立得，‎ 则， ，‎ 又因为，则，‎ 同理可得 ，‎ 故，为一元二次方程的两根，‎ ‎∴，‎ 点到直线的距离 ，‎ ‎ ，∴时，的面积 取得最小值．‎ ‎2．【2018江西南昌市二中上 期期中考试】如图，椭圆 的左右焦点分别为的、，离心率为；过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，当时，点在轴上的射影为．连结并延长分别交于、两点，连接；与的面积分别记为，，设．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎【答案】（I） ，；（II） ．‎ ‎【解析】试题分析 （Ⅰ ）由题意得得，根据点M在抛物线上得，又由，得 ，可得，解得，从而得，可得曲线方程．（Ⅱ ）设，，分析可得，先设出直线的方程为 ，由，解得，从而可求得，同理可得，故可将化为m的代数式，用基本不等式求解可得结果．‎ 试题解析 （Ⅰ）由抛物线定义可得，‎ ‎∵点M在抛物线上，∴，即 ①‎ 又由，得 ，将上式代入①，得，解得∴，‎ 所以曲线的方程为，曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为，由消去y整理得，‎ 设，．则，设，，则，‎ 所以，②‎ 设直线的方程为 ，由，解得，‎ 所以，由②可知，用代替，‎ 可得，由，解得，‎ 所以，用代替，可得 所以 ‎，当且仅当时等号成立．所以的取值范围为．‎ 解答题（共10题）‎ ‎1．【2018浙江名校协作体高三上 期考试】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为；(Ⅱ)2．‎ ‎【解析】试题分析；（I）由题意抛物线 的焦点为抛物线 的顶点（，由此算出 ‎ 从而得到抛物线 的方程，得到 的准线方程； 试题解析 （Ⅰ） 的方程为 其准线方程为． ‎ ‎（Ⅱ）设，，，‎ 则切线的方程 ，即，又，‎ 所以，同理切线的方程为，‎ 又和都过点，所以，‎ 所以直线的方程为．‎ 联立得，所以．‎ 所以．‎ 点到直线的距离．‎ 所以的面积 所以当时，取最小值为．即面积的最小值为2．‎ ‎2．【2018广东深圳市高三一模】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点．‎ ‎（I）求椭圆的方程和点的坐标；‎ ‎（II） 为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点，，求的面积最大时直线的方程．‎ ‎【答案】（I）椭圆的方程为，点的坐标为；（II）或．‎ ‎【解析】试题分析 （I） 根据椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得结果；（II） 设直线的方程为，设，，联立消去，利用韦达定理，弦长公式以及点到直线距离公式与三角形面积公式可得，利用二次函数的性质可得结果．‎ 试题解析 （I）由，得，故．‎ 则椭圆的方程为．‎ 由，消去，得．①‎ 由，得．‎ 故椭圆的方程为．‎ 所以，所以点的坐标为；‎ ‎（II）设直线的方程为，‎ 设，，联立消去，得，‎ 则有，‎ 由，得，‎ ‎．‎ 设原点到直线的距离为．‎ 则．‎ 所以．‎ 所以当时，即时，的面积最大．‎ 所以直线的方程为或．‎ ‎3．【2018贵州遵义市高三上 期第二次联考】设抛物线的准线与轴交于，抛物线的焦点为，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为；抛物线的方程是 ．(Ⅱ) ．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为，根据椭圆上的点及离心率可得关于的方程组，求得可得椭圆的方程；根据椭圆的焦点坐标可得，进而可得抛物线方程．(Ⅱ)设出直线的方程，与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系及弦长公式可得，再根据的范围，利用函数的有关知识求得的范围即可．‎ 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，‎ 由题意得，解得，‎ ‎∴椭圆的方程为，‎ ‎∴点的坐标为，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的方程是．‎ ‎（Ⅱ）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，‎ 由消去x整理得（ ）‎ ‎∵直线与抛物线交于两点，‎ ‎∴．‎ 设，，‎ 则①，②．‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴．③‎ 由①②③消去得 ．‎ ‎∴ ‎ ‎，即，‎ 将代入上式得 ‎，‎ ‎∵单调递减，∴，即，‎ ‎∴，∴，即的求值范围为．‎ ‎4．【2018广东江门市高三3月模拟（一模）】在平面直角坐标系中，已知点，，动点不在轴上，直线、的斜率之积．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设是轨迹上任意一点，的垂直平分线与轴相交于点，求点横坐标的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)（）；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（Ⅰ）设出点P的坐标，根据可得曲线方程．（Ⅱ）设，‎ ‎，根据题意可得，即，整理可得．再根据点在椭圆上，得到（），代入整理可得，根据可得所求范围．‎ 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）设（），‎ 由题意得，‎ 整理得，‎ ‎∴动点的轨迹方程为（）‎ ‎（Ⅱ）设，，‎ 依题意得，即，‎ 两边平方整理得．‎ 又点在椭圆上，‎ ‎∴（），即，且，‎ ‎∴，∴，又，∴．‎ 即点横坐标的取值范围为．‎ ‎5．【2018河南新乡市高三模拟】已知抛物线C x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．‎ ‎（I）D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值；‎ ‎（II）是否存在实数p，使？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（I）5，（II）存在，． = ‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（I）由题意可得，设过作于，则 ，当、、三点共线时，取最小值．‎ ‎（II） 假设存在实数p满足题意，抛物线与直线联立，‎ 设，，则，，整理得，解得或（舍去）．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）直线与轴的交点为，‎ ‎，则抛物线的方程为，准线 ．‎ 设过作于，则 ，‎ 当、、三点共线时，取最小值．‎ ‎（II）假设存在，抛物线与直线联立方程组得 ，‎ 设，，则，，．‎ ‎ ，．则得 ， ，‎ ‎ ，代入得，解得或（舍去）．‎ ‎6．【2018广东六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中 ，惠州一中）高三下 期第三次联考】已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点满足．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问 在轴上是否存在点，使得直线 与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I） （II），定值为1．‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎（Ⅰ）由可得，再根据离心率求得，由此可得，故可得椭圆的方程．（Ⅱ）由题意可得直线的斜率存在，设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，求出直线 与直线的斜率，结合根与系数的关系可得 ‎，根据此式的特点可得当时，为定值．‎ 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）依题意得、，，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）假设存在满足条件的点．‎ 当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意． ‎ 因此直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 由消去整理得 ‎，‎ 设、，‎ 则，，‎ ‎∵‎ ‎，‎ ‎∴要使对任意实数，为定值，则只有，‎ 此时．‎ 故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．‎ ‎7．【2018湖北武汉市高中毕业生2月调研】已知、为椭圆 的左、右顶点，，且离心率为．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）若点为直线上任意一点，，交椭圆于，两点，试问直线是否恒过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）；（II）答案见解析．‎ ‎【解析】试题分析 （I）由题设有，，从而，所求椭圆方程为．（II）设点，则，，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理得到，，从而直线，它过定点．‎ 解析 （I）依题意，则，又，椭圆方程为 ‎ ‎．‎ ‎（II）设，（不妨设），则直线方程 ，直线方程．‎ 设，，由得，则，则，于是．‎ 由，得，则，则，于是，，，．‎ 直线方程为 ．令得，故直线过点．‎ ‎8．【2018山西太原市高三3月模拟】已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，点在椭圆上．‎ ‎（I）求椭圆方程；‎ ‎（II）若直线与椭圆交于两点，已知直线与相交于点，证明 点在定直线上，并求出定直线的方程．‎ ‎【答案】（I）；（II）定直线．‎ ‎【解析】试题分析 （I）将点坐标代入椭圆方程，解方程组可得 （II）先根据特殊位置计算交点在定直线上，再设 ‎，解方程组可得交点横坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得定值1．‎ 试题解析 ‎ ‎（I），∴，由题目已知条件知，∴，所以；‎ ‎（II）由椭圆对称性知在上，假设直线过椭圆上顶点，则，‎ ‎∴，，∴，所以在定直线上．‎ 当不在椭圆顶点时，设，得，‎ 所以，‎ ‎，当时，得，‎ 所以显然成立，所以在定直线上．‎ ‎9．【2018四川南充市高三第二次（3月）高考适应性考试】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）直线平行于为坐标原点），且与椭圆交于两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）‎ ‎【解析】试题分析 （Ⅰ）根据题意，列出关于的方程组，求解的值，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线的的方程为，联立方程组，求得，进而得到实数的范围，再由为钝角等价于，且，即可求解实数的取值范围．‎ 试题解析 ‎ ‎（I）因为椭圆的离心率为，点在椭圆上，所以，解得．‎ 故椭圆的标准方程为．‎ ‎（II）由直线平行于得直线的斜率为，又在轴上的截距，故的方程为．‎ 由得，又直线与椭圆交于两个不同的点，‎ 设，则．‎ 所以，于是为钝角等价于，且，‎ 则 即，又，所以的取值范围为．‎ ‎10．【2018河南豫南豫北高三第二次联考】已知 如图，两同心圆 和．为大圆上一动点，连结（为坐标原点）交小圆于点，过点作轴垂线（垂足为），再过点作直线的垂线，垂足为．‎ ‎（I）当点在大圆上运动时，求垂足的轨迹方程；‎ ‎（II）过点的直线交垂足的轨迹于两点，若以为直径的圆与轴相切，求直线的方程．‎ ‎【答案】（I）；（II）直线的方程为 ．‎ 试题解析 （I）设垂足，则，因为在上，所以，所以，故垂足的轨迹方程为．‎ ‎（II）设直线的方程为，则有，又因为圆与轴相切，‎ 所以，即（ ）‎ 由消去x整理得，‎ 因为直线与椭圆交于两点，所以，解得．‎ 又，将上式代入（ ）式中得 ‎，解得．满足．‎ 故所求的直线的方程为，即．‎