2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：模块综合评估2 10页

模块综合评估(二) 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知扇形面积为3π 8 ，半径是 1，则扇形的圆心角是( C ) A.3π 16 B.3π 8 C.3π 4 D．3π 2 解析：S 扇＝1 2αr2＝1 2 ×α×12＝3π 8 ，∴α＝3π 4 . 2．已知锐角α的终边上一点 P(sin40°，1＋cos40°)，则锐角α＝ ( B ) A．80° B．70° C．20° D．10° 解 析 ： 点 P 到 坐 标 原 点 的 距 离 为 sin240°＋1＋cos40°2 ＝ 2＋2cos40°＝ 2＋2×2cos220°－1＝2cos20°，由三角函数的定义可 知 cosα＝ sin40° 2cos20° ＝2sin20°cos20° 2cos20° ＝sin20°.∵点 P 在第一象限，且角α 为锐角，∴α＝70°.故选 B. 3．若α，β的终边关于 y 轴对称，则下列等式正确的是( A ) A．sinα＝sinβ B．cosα＝cosβ C．tanα＝tanβ D．sinα＝cosβ 解析：因为α，β的终边关于 y 轴对称，所以β＝2kπ＋π－α，k∈ Z，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sinα. 4．在△ABC 中，AB→＝c，AC→＝b.若点 D 满足BD→ ＝2DC→ ，则AD→ ＝ ( A ) A.2 3b＋1 3c B.5 3c－2 3b C.2 3b－1 3c D．1 3b＋2 3c 解析：由题意得AD→ －AB→＝2(AC→－AD→ )，则 3AD→ ＝AB→＋2AC→＝c＋ 2b，所以AD→ ＝1 3c＋2 3b. 5．设角α＝－35π 6 ，则 2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α 1＋sin2α＋sinπ－α－cos2π＋α 的值等于 ( D ) A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D． 3 解析：因为α＝－35π 6 ，所以 2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α 1＋sin2α＋sinπ－α－cos2π＋α ＝ 2sinαcosα＋cosα 1＋sin2α＋sinα－cos2α ＝2sinαcosα＋cosα 2sin2α＋sinα ＝cosα sinα ＝ cos －35π 6 sin －35π 6 ＝ cosπ 6 sinπ 6 ＝ 3.故选 D. 6．为了得到函数 y＝ 3sin2x－cos2x 的图像，只需把函数 y＝ 4sinxcosx 的图像( A ) A．向右平移 π 12 个单位长度 B．向左平移 π 12 个单位长度 C．向左平移π 6 个单位长度 D．向右平移π 6 个单位长度 解析：y＝ 3sin2x－cos2x＝2sin 2x－π 6 ＝2sin 2 x－ π 12 ，y＝ 4sinxcosx＝2sin2x，故只需将 y＝4sinxcosx 的图像向右平移 π 12 个单位 长度即可． 7.如图，在圆 O 中，若弦 AB＝3，弦 AC＝5，则AO→ ·BC→ 的值是 ( D ) A．－8 B．－1 C．1 D．8 解析：取 BC 的中点 D，连接 AD，OD，则有 OD⊥BC.AD→ ＝1 2(AB→ ＋AC→)，BC→＝AC→－AB→，AO→ ·BC→＝(AD→ ＋DO→ )·BC→＝AD→ ·BC→ ＋DO→ ·BC→ ＝ AD→ ·BC→＝1 2(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝1 2(AC→ 2－AB→ 2)＝1 2 ×(52－32)＝8，故选 D. 8．已知向量 a 的同向的单位向量为 a0＝ － 3 2 ，1 2 ，若向量 a 的 起点坐标为(1，－2)，模为 4 3，则 a 的终点坐标是( A ) A．(－5,2 3－2) B．(1－2 3，4) C．(－5,2 3－2)或(7，－2－2 3) D．(1－2 3，4)或(1＋2 3，－6) 解析：设 a 的终点 B 的坐标为(x，y)，则 a＝(x－1，y＋2)．又 a ＝4 3a0＝(－6,2 3)，所以 B(－5,2 3－2)． 9．函数 y＝ cos x＋π 4 ＋sin x＋π 4 cos x＋π 4 －sin x＋π 4 在一个周 期内的图像是( B ) 解析：y＝ 2 2 cosx－ 2 2 sinx＋ 2 2 sinx＋ 2 2 cosx · 2 2 cosx－ 2 2 sinx－ 2 2 sinx－ 2 2 cosx ＝ 2cosx·(－ 2sinx)＝－2sinxcosx ＝－sin2x，故选 B. 10．如果将函数 f(x)＝sin2x 图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，将 函数 g(x)＝cos 2x－π 6 图像向右平移φ个单位长度后，二者能够完全重 合，则φ的最小值为( C ) A.π 3 B.2π 3 C. π 12 D．5π 12 解析：将函数 f(x)＝sin2x 的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度得到 y＝sin[2(x＋φ)]＝sin(2x＋2φ)的图像，将函数 g(x)＝cos 2x－π 6 图像向 右 平 移 φ 个 单 位 长 度 后 ， 可 得 函 数 y ＝ cos 2x－φ－π 6 ＝ cos 2x－2φ－π 6 ＝ sin π 2 － 2x－2φ－π 6 ＝ sin 2π 3 －2x＋2φ ＝ sin 2x－2φ＋π 3 的图像．二者能够完全重合，由题意可得，2x＋2φ＝ 2x－2φ＋π 3 ＋2kπ，k∈Z，解得φ＝1 2kπ＋ π 12(k∈Z)．由于φ>0，故当 k ＝0 时，φmin＝ π 12.故选 C. 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请把答案 填写在题中横线上) 11．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，若 P(4， y)是角θ终边上一点，且 sinθ＝－2 5 5 ，则 y＝－8. 解析：r＝ x2＋y2＝ 16＋y2，∵sinθ＝－2 5 5 ，∴sinθ＝y r ＝ y 16＋y2 ＝－2 5 5 ，解得 y＝－8 或 y＝8(舍去)． 12．若函数 f(x)＝asin2x＋btanx＋1，且 f(－3)＝5，则 f(π＋3)＝ －3. 解析：显然 T＝π，f(π＋3)＝f(3)．F(x)＝f(x)－1＝asin2x＋btanx 为奇函数，则 F(－3)＝f(－3)－1＝4，F(3)＝f(3)－1＝－4，f(3)＝－3. 13．若向量 a 与 b 不共线，a·b≠0，且 c＝a－a·a a·bb，则向量 a 与 c 的夹角为 90°. 解析：∵a·c＝a·a－a·a a·b(b·a)＝a·a－a·a＝0，∴a⊥c，即 a 与 c 的 夹角为 90°. 14．已知点 P(cosα，sinα)在直线 y＝2x 上，则 cos2α sinα－cosα2 ＝－ 3. 解析：由点 P(cosα，sinα)在直线 y＝2x 上可知，tanα＝2.则 cos2α sinα－cosα2 ＝ cos2α－sin2α sin2α＋cos2α－2sinαcosα ＝ 1－tan2α tan2α＋1－2tanα ＝ 1－4 4＋1－4 ＝－3. 15．给出下列四个命题： ①函数 y＝tanx 的图像关于点 kπ＋π 2 ，0 (k∈Z)对称；②函数 f(x) ＝sin|x|是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则 tanθ 2>cosθ 2 ，且 sinθ 2>cosθ 2 ；④函数 y＝cos2x＋sinx 的最小值为－1. 其中正确命题的序号是①④. 解析：①由正切曲线知点(kπ，0)(k∈Z)， kπ＋π 2 ，0 (k∈Z)都是 正切函数图像的对称中心，故正确．②f(x)＝sin|x|不是周期函数，故 错误．③∵θ∈ π 2 ＋2kπ，π＋2kπ ，k∈Z，∴θ 2 ∈ kπ＋π 4 ，kπ＋π 2 ，k∈ Z.当 k＝2n＋1，n∈Z 时，sinθ 20，ω>0，|φ|<π) 的一段图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求这个函数的单调递增区间． 解：(1)由图像可知 A＝2，T 2 ＝3π 8 － －π 8 ＝π 2 ，所以 T＝π，ω＝2. 所以 y＝2sin(2x＋φ)，将点 －π 8 ，2 代入得－π 4 ＋φ＝2kπ＋π 2(k∈ Z)，|φ|<π，所以φ＝3 4π. 所以函数的解析式为 y＝2sin 2x＋3π 4 . (2)由 2kπ－π 2 ≤2x＋3π 4 ≤2kπ＋π 2 ，得 kπ－5π 8 ≤x≤kπ－π 8(k∈Z)． 所以函数 y＝2sin 2x＋3π 4 的单调递增区间为 kπ－5π 8 ，kπ－π 8 (k ∈Z)． 19．(本小题 12 分)设函数 f(x)＝a·(b＋c)，其中向量 a＝(sinx，－ cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，x∈R. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期； (2)将函数 y＝f(x)的图像按向量 d 平移，使平移后的图像关于坐 标原点中心对称，求长度最小的 d. 解：由题意得 f(x)＝a·(b＋c)＝(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－ 3cosx)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x ＝2＋cos2x－sin2x＝2＋ 2sin 2x＋3 4π . (1)函数 f(x)的最大值为 2＋ 2，最小正周期是 T＝2π 2 ＝π. (2)由 sin 2x＋3 4π ＝0，得 2x＋3π 4 ＝kπ，k∈Z，即 x＝kπ 2 －3π 8 ，k ∈Z. 于是 d＝ 3π 8 －kπ 2 ，－2 (k∈Z)，|d|＝ kπ 2 －3π 8 2＋4(k∈Z)． 因为 k 为整数，所以要使|d|最小，只要 k＝1，此时 d＝ －π 8 ，－2 . 20．(本小题 13 分)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) ω>0，0<φ<π 2 的部分图 像如图所示，该图像与 y 轴交于点 F(0， 2)，与 x 轴交于点 B、C， 点 M 为最高点，且△MBC 的面积为π. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若 f α－π 4 ＝2 5 5 ，α∈ 0，π 2 ，求 cos 2α＋π 4 的值． 解：(1)由题意知点 M 的纵坐标为 2，所以 S△MBC＝1 2 ×2×BC＝ BC＝π，∴最小正周期 T＝2π＝2π ω ，∴ω＝1. 由 f(0)＝2sinφ＝ 2得 sinφ＝ 2 2 .∵0<φ<π 2 ，∴φ＝π 4 ，∴函数 f(x)的 解析式为 f(x)＝2sin x＋π 4 . (2)由 f α－π 4 ＝2sinα＝2 5 5 ，得 sinα＝ 5 5 . ∵α∈ 0，π 2 ，∴cosα＝ 1－sin2α＝2 5 5 ，∴cos2α＝2cos2α－1＝3 5 ， sin2α＝2sinαcosα＝4 5 ， ∴cos 2α＋π 4 ＝cos2αcosπ 4 －sin2αsinπ 4 ＝3 5 × 2 2 －4 5 × 2 2 ＝－ 2 10. 21．(本小题 14 分)已知向量 a＝( 3sin2x，cos2x)，b＝(cos2x， －cos2x)． (1)若 x∈ 7π 24 ，5π 12 时，a·b＋1 2 ＝－3 5 ，求 cos4x 的值； (2)若 cosx≥1 2 ，x∈(0，π)，方程 a·b＋1 2 ＝m 有且仅有一个实数根， 求实数 m 的值． 解：(1)∵a·b＝ 3sin2xcos2x－cos22x， ∴a·b＋1 2 ＝ 3sin2xcos2x－cos22x＋1 2 ＝ 3 2 sin4x－1＋cos4x 2 ＋1 2 ＝ 3 2 sin4x－1 2cos4x＝sin 4x－π 6 ＝－3 5. ∵x∈ 7 24π， 5 12π ，∴4x∈ 7 6π，5 3π ，4x－π 6 ∈ π，3 2π ，∴cos 4x－π 6 ＝－4 5 ， ∴cos4x＝cos 4x－π 6 ＋π 6 ＝cos 4x－π 6 cosπ 6 －sin 4x－π 6 sinπ 6 ＝ －4 5 × 3 2 － －3 5 ×1 2 ＝3－4 3 10 . (2)∵cosx≥1 2 ，y＝cosx 在(0，π)上是减函数，∴0