2020-2021学年北师大版数学选修2-2课时作业：模块综合评估 12页

选修 2－2 模块综合评估 时限：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．函数 y＝2x2，则自变量从 2变到 2＋Δx时函数值的增量Δy为 ( C ) A．8 B．8＋2Δx C．2(Δx)2＋8Δx D．4Δx＋2(Δx)2 解析：Δy＝2(2＋Δx)2－2×22＝2(Δx)2＋8Δx. 2．设 i 为虚数单位，则复数 z＝2－i 1＋i 在复平面上对应的点位于 ( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：z＝2－i 1＋i ＝ 2－i1－i 1＋i1－i ＝ 1－3i 2 ，在复平面上对应的点为 1 2 ，－ 3 2 ，位于第四象限，故选 D. 3．已知函数 f(x)＝xsinx＋cosx，则 f′ π 2 ＝( B ) A.π 2 B．0 C．－1 D．1 解析：∵f(x)＝xsinx＋cosx，∴f′(x)＝xcosx， ∴f′ π 2 ＝ π 2 cosπ 2 ＝0.故选 B. 4．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中 a，b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi| 等于( D ) A.1 2 ＋i B．5 C.5 4 D. 5 2 解析：由(1＋2ai)i＝1－bi得 －2a＝1， －b＝1， 解得 a＝－ 1 2 ， b＝－1， 所以|a＋bi|＝|－1 2 －i|＝ － 1 2 2＋－12＝ 5 2 .故选 D. 5．已知函数 y＝xlnx，则这个函数的图像在点 x＝1 处的切线方 程是( C ) A．y＝2x－2 B．y＝2x＋2 C．y＝x－1 D．y＝x＋1 解析：当 x＝1时，y＝0.y′＝lnx＋1，k＝ln1＋1＝1，所以切线 方程为 y＝x－1. 6．由直线 x＝0，x＝2π 3 ，y＝0与曲线 y＝2sinx所围成的图形的 面积等于( A ) A．3 B.3 2 C．1 D.1 2 解析：∫ 2π 3 02sinxdx＝－2cosx2π 3 0＝3. 7．观察下图，可推断出“x”应该填的数字是( B ) A．171 B．183 C．205 D．268 解析：由前两个题图发现：中间数等于四周四个数的平方和， 即 12＋32＋42＋62＝62,22＋42＋52＋82＝109， 所以“x”处该填的数字是 32＋52＋72＋102＝183. 8．图①～图④是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像， 其中一定不正确的序号是( B ) A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 解析：①②正确；③不正确，导函数图像过原点，且在原点附近 的导数值异号，但三次函数在 x＝0处不存在极值；④不正确，三次 函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故选 B. 9．已知数列 1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数 列的第 k项是( D ) A．ak＋ak＋1＋…＋a2k B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1 C．ak－1＋ak＋…＋a2k D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2 解析：由前几项观察得第 1项 1个数，第 2项 2个数相加，第 3 项 3个数相加，则第 k项有 k个数相加，且首项为 ak－1，故选 D. 10．若函数 f(x)＝x2lnx(x>0)的极值点是α，函数 g(x)＝xlnx2(x>0) 的极值点是β，则有( B ) A．α<β B．α>β C．α＝β D．α与β的大小不确定 解析：由题意得 f′(x)＝2xlnx＋x，g′(x)＝lnx2＋2，又函数 f(x) ＝x2lnx(x>0)的极值点是α，函数 g(x)＝xlnx2(x>0)的极值点是β，所以 2αlnα＋α＝0，lnβ2＋2＝0，所以α＝e－1 2 ，β＝e－1，所以α>β，故选 B. 11．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上 研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石 子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数 5,9,14,20，…被 称为梯形数．根据图形的构成，记第 2 014个梯形数为 a2 014，则 a2 014 ＝( D ) A．2 015×2 013 B．2 015×2 014 C．2 015×1 008 D．2 015×1 009 解析：5＝2＋3＝a1， 9＝2＋3＋4＝a2， 14＝2＋3＋4＋5＝a3， …， an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝n＋12＋n＋2 2 ＝ 1 2 (n＋1)(n＋4)， 由此可得 a2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝1 2 ×2 015×2 018＝2 015×1 009.故选 D. 12．定义：如果函数 f(x)在[a，b]上存在 x1，x2(a0， g0＝－a2＋a>0， ga＝2a2－a>0， 解得 1 2 0，则 x0＝ 3. 解析：∵错误!(ax2＋b)dx＝ 1 3 ax3＋bx |30＝9a＋3b， ∴9a＋3b＝3ax20＋3b， ∴x20＝3， ∵x0>0，∴x0＝ 3，故答案为 3. 15．若集合 A1，A2，…，An满足 A1∪A2∪…∪An＝A，则称 A1， A2，…，An为集合 A的一种拆分．已知： ①当 A1∪A2＝{a1，a2，a3}时，有 33种拆分； ②当 A1∪A2∪A3＝{a1，a2，a3，a4}时，有 74种拆分； ③当 A1∪A2∪A3∪A4＝{a1，a2，a3，a4，a5}时，有 155种拆分； … 由以上结论，推测出一般结论： 当 A1∪A2∪…∪An＝{a1，a2，a3，…，an＋1}有(2n－1)n＋1种拆分． 解析：因为当有两个集合时，33＝(4－1)2＋1＝(22－1)2＋1；当有三 个集合时，74＝(8－1)3＋1＝(23－1)3＋1；当有四个集合时，155＝(16－ 1)4＋1＝(24－1)4＋1……由此可以归纳当有 n个集合时，有(2n－1)n＋1种 拆分． 16．设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x>0时，xf′(x)－f(x)>0，则使得 f(x)>0成立的 x的取值范围是(－1,0) ∪(1，＋∞)． 解析：设 g(x)＝fx x ， 则 g(x)的导数为 g′(x)＝xf′x－fx x2 . ∵当 x>0时，xf′(x)－f(x)>0，即当 x>0时，g′(x)恒大于 0，∴ 当 x>0时，函数 g(x)为增函数， ∵f(x)为奇函数，∴函数 g(x)为定义域上的偶函数， 又∵g(－1)＝f－1 －1 ＝0，f(x)>0， ∴当 x>0时，g(x)>0＝g(1)，当 x<0时，g(x)<0＝g(－1)， ∴x>1或－10成立的 x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)，故答案为 (－1,0)∪(1，＋∞)． 三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数 z＝1－i2＋31＋i 2－i ，i为虚数单位． (1)若复数 z1与 z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求 z1； (2)若实数 a，b满足 z2＋az＋b＝1－i，求 z2＝a＋bi的共轭复数． 解：由已知得复数 z＝1－i2＋31＋i 2－i ＝ －2i＋3＋3i 2－i ＝ 3＋i 2－i ＝ 3＋i2＋i 2－i2＋i ＝ 5＋5i 5 ＝1＋i. (1)因数复数 z1与 z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它 们的实部互为相反数，虚部相等，所以 z1＝－1＋i. (2)因为 z2＋az＋b＝1－i，所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理 得 a＋b＋(2＋a)i＝1－i，因为 a，b∈R，所以 a＋b＝1，且 2＋a＝－ 1，解得 a＝－3，b＝4，所以复数 z2＝－3＋4i，所以 z2的共轭复数为 －3－4i. 18．(12分)设函数 f(x)＝ 1 x＋2 ，a，b∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f a b ＋f b a ≤ 2 3 ； (2)设 a＋b>4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于 1 2 . 证明：(1)要证 f a b ＋f b a ≤ 2 3 ， 只需证 1 a b ＋2 ＋ 1 b a ＋2 ≤ 2 3 ， 即证 b a＋2b ＋ a b＋2a ≤ 2 3 ， 即证 b2＋4ab＋a2 2a2＋5ab＋2b2 ≤ 2 3 ， 即证(a－b)2≥0，这显然成立， ∴f a b ＋f b a ≤ 2 3 . (2)假设 af(b)，bf(a)都小于或等于 1 2 ，即 a b＋2 ≤ 1 2 ， b a＋2 ≤ 1 2 ， 则有 2a≤b＋2,2b≤a＋2，两式相加得 a＋b≤4， 这与 a＋b>4矛盾，∴af(b)，bf(a)中至少有一个大于 1 2 . 19．(12分)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线 y＝f(x)在点 P(1， f(1))处的切线方程为 y＝3x＋1. (1)求 a，b的值； (2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值． 解：(1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5， 得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 由题意得 f(1)＝4，f′(1)＝3， 即 a＋b＋6＝4， 2a＋b＋3＝3， 解得 a＝2， b＝－4， 所以 a＝2，b＝－4. (2)由(1)知 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5. f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)， 令 f′(x)＝0，得 x＝2 3 或 x＝－2. 当 x变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表： 由表可知，f(x)在[－3,1]上的最大值为 13. 20．(12分)已知函数 f(x)＝xlnx－a 2 x2(a∈R)． (1)若 a＝2，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若 g(x)＝f(x)＋(a－1)x在 x＝1 处取得极小值，求实数 a的取 值范围． 解：(1)当 a＝2时，f(x)＝xlnx－x2，f′(x)＝lnx＋1－2x，因为 f(1) ＝－1，f′(1)＝－1，所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y ＝－x. (2)由已知得 g(x)＝xlnx－a 2 x2＋(a－1)x， 则 g′(x)＝lnx－ax＋a，记 h(x)＝g′(x)＝lnx－ax＋a，则 h(1)＝0， h′(x)＝1 x －a＝1－ax x . ①当 a≤0，x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，函数 g′(x)单调递增， 因为 g′(1)＝0，所以当 x∈(0,1)时，g′(x)<0，当 x∈(1，＋∞)时， g′(x)>0，所以 g(x)在 x＝1处取得极小值，满足题意． ②当 01，当 x∈ 0，1 a 时，h′(x)>0，故函数 g′(x) 单调递增，可得当 x∈(0,1)时，g′(x)<0，x∈ 1，1 a 时，g′(x)>0，所 以 g(x)在 x＝1处取得极小值，满足题意． ③当 a＝1，x∈(0,1)时，h′(x)>0，g′(x)在(0,1)内单调递增，x ∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，g′(x)在(1，＋∞)内单调递减，所以当 x ∈(0，＋∞)时，g′(x)≤0恒成立，所以 g(x)无极值，不合题意． ④当 a>1，即 0<1 a <1时，当 x∈ 1 a ，1 时，h′(x)<0，g′(x)单调 递减，g′(x)>0，当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，g′(x)单调递减， g′(x)<0，所以 g(x)在 x＝1处取得极大值，不合题意． 综上可知，实数 a的取值范围为(－∞，1)． 21．(12分)已知函数 f(x)＝ 2 2－x ，记数列{an}的前 n项和为 Sn， 且有 a1＝f(1)．当 n≥2时，Sn－ 2 fan ＝ 1 2 (n2＋5n－2)． (1)直接写出 a1，a2，a3，a4的值； (2)猜想数列{an}的通项公式，并给予证明． 解：(1)a1＝2，a2＝3，a3＝4，a4＝5. (2)由(1)猜想 an＝n＋1.下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1,2,3,4时，由(1)可知猜想成立； ②假设 n＝k(k≥4且 k∈N*)时猜想成立， 即 ak＝k＋1， 则当 n＝k＋1时，Sk＋1－ 2 fak＋1 ＝ 1 2 [(k＋1)2＋5(k＋1)－2]， 即 Sk＋ak＋1－(2－ak＋1)＝ 1 2 [(k＋1)2＋5(k＋1)－2]， 即 1 2 (k2＋5k－2)＋2－ak＋ak＋1－(2－ak＋1)＝1 2 [(k＋1)2＋5(k＋1)－ 2]， 化简整理得 ak＋1＝k＋2＝(k＋1)＋1， ∴当 n＝k＋1时猜想成立， 综上所述，对任意 n∈N*，an＝n＋1成立． 22．(12分)已知函数 f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x. (1)若函数 y＝f(x)和函数 y＝g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数， 求实数 a的取值范围． (2)若方程 f(x)＝g(x)＋m有唯一解，求实数 m的值． 解：(1)f′(x)＝2x－8 x ＝ 2x＋2x－2 x (x>0)． 当 02时，f′(x)>0， 要使 f(x)在(a，a＋1)上递增，必须 a≥2. g(x)＝－x2＋14x＝－(x－7)2＋49， 如使 g(x)在(a，a＋1)上递增，必须 a＋1≤7，即 a≤6. 由上得出，当 2≤a≤6时 f(x)，g(x)在(a，a＋1)上均为增函数． (2)方程 f(x)＝g(x)＋m有唯一解 ⇔ y＝m， y＝2x2－8lnx－14x 有唯一解． 设 h(x)＝2x2－8lnx－14x， h′(x)＝4x－8 x －14＝2 x (2x＋1)(x－4)(x>0)， h′(x)，h(x)随 x变化如下表： 由于在(0，＋∞)上，h(x)只有一个极小值， 所以 h(x)的最小值为－24－16ln2， 当 m＝－24－16ln2时，方程 f(x)＝g(x)＋m有唯一解．