高考数学模拟试卷 2 (15) 10页

- 1 - 荆州中学 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（模拟一）(31) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 (1) 已知集合 },421|{},034|{ 2 NxxBxxxA x  ，则 A B  （A）  （B）  1,2 （C） 2 （D） 1,2 (2) 欧拉公式 cos sinixe x i x  (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数 的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要， 被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知， i e  3 2018 表示的复数位于复平面中的 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 (3) 要得到函数   sin 2f x x 的图象，只需将函数   cos2g x x 的图象 （A）向左平移 1 2 个周期 （B）向右平移 1 2 个周期 （C）向左平移 1 4 个周期 （D）向右平移 1 4 个周期 (4) 某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是 75.0 ， 连续两天为优良的概率是 6.0 ，已知某天的空气质量为优良，则随后 一天空气质量为优良的概率是 （A） 8.0 （B） 75.0 （C） 6.0 （D） 45.0 (5) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面 中直角三角形的个数是 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 (6) 等比数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，下列结论一定成立的是 （A）若 05 a ，则 02017 a （B）若 06 a ，则 02018 a （C）若 05 a ，则 02017 S （D）若 06 a ，则 02018 S (7) 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如下程序框图表 示其基本步骤（函数 RAND 是产生随机数的函数，它能 随机产生 )1,0( 内的任何一个实数），若输出的结果为 527，则由此可估计π的近似值 （A）126 （B） 3.132 （C）3.151 （D） 3.162 - 2 - (8) 函数 2( 1)cos π( )= | | x xf x x  的部分图像为 （A （B） （C） （D） (9) 已知三棱锥 ABCD  的所有顶点都在球O 的球面上， 2 BCAB ， 22AC ，若 三棱锥 D ABC 体积的最大值为 2，则球O 的表面积为 （A）8π （B） 9π （C） 25π 3 （D） 9 121 (10) 已知双曲线 2 2 2 2: 1x yE a b   （ 0, 0a b  ）的左、右焦点分别为 1 2,F F ， 1 2 6F F  ，P 是 E 右 支上的一点， 1PF 与 y 轴交于点 A ， 2PAF△ 的内切圆在边 2AF 上的切点为Q ．若 3AQ  ， 则 E 的离心率是 （A） 3 （B） 5 （C） 32 （D） 2 (11) 向量 ba  ， 1|| e ，对 Rt  ， |||| etaea  ，则 （A） ea  （B） )( eaa  （C） )( eae  （D） )()( eaea  (12) 函数 )1(ln)1()(  xaxxxf 有三个零点，则实数 a 的取值范围是 （A） )2,0( （B） ),2( e （C） ),( e （D） ),2(  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 (13)  3 12 1x x      展开式中的常数项为 ． (14) 甲 和 乙 玩 一 个 猜 数 游 戏 ， 规 则 如 下 ： 已 知 五 张 纸 牌 上 分 别 写 有 11 2 n    （ *, 5n n  N 1 ）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自 己手中的数推测谁手上的数更大． 甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中 的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、 乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 . （B） （ （C） （ （D） （ （A） （ - 3 - (15) 不等式组       04 022 012 yx yx yx 的解集记作 D ，实数 ,x y 满足如下两个条件： ① axyDyx  ,),( ；② ayxDyx  ,),( . 则实数 a 的取值范围为 . (16) “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称 之为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等 于前两个相邻数字之和．已知数列 na 为“斐波那契”数列， nS 为数列 na 的前 n 项和， 若 Ma 2020 ，则 2018S __________．（用 M 表示） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) （12 分） △ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2cos 2b A c a  ． （Ⅰ）求 B ； （Ⅱ）若 4 2c  ， 7 2cos 10A  ，求△ABC 的面积． (18) （12 分） 如图，多面体 ABCDEF 中，面 ABCD 为正方形， 2AB  ， 3AE  ， 5DE  ，二面角 E AD C  的余弦值为 5 5 ，且 //EF BD ． （Ⅰ）证明：平面 ABCD  平面 EDC ； （Ⅱ）求平面 AEF 与平面 EDC 所成锐二面角的余弦值． （18 题图） - 4 - (19) （12 分） 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量  y g 与尺寸 x（mm）之间 近似满足关系式 by c x  （b、c 为大于 0 的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的 比在区间 ,9 7 e e     内时为优等品．现随机抽取 6 件合格产品，测得数据如下： 尺寸 x（mm） 38 48 58 68 78 88 质量 y (g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比 y x 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 （Ⅰ）现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，记 为取到优等品的件数，试求随机变量 的 分布列和期望； （Ⅱ）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：  6 1 ln lni i i x y    6 1 ln i i x    6 1 ln i i y    6 2 1 ln i i x   75.3 24.6 18.3 101.4 （ⅰ）根据所给统计量，求 y 关于 x 的回归方程； （ⅱ）已知优等品的收益 z （单位：千元）与 ,x y 的关系为 2 0.32z y x  ，则当优等 品的尺寸 x 为何值时，收益 z 的预报值最大？（精确到 0.1） 附：对于样本 ( , )i iv u ( 1,2, , )i n  ，其回归直线u b v a   的斜率和截距的最小二乘 估计公式分别为： 1 1 22 2 1 1 ( )( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i v v u u v u nvu b v v v nv                 ， a u bv     ， 2.7182e  . - 5 - (20) （12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     的上顶点为 B ，点 (0, 2 )D b ，P 是 E 上且不在 y 轴上的 点，直线 DP 与 E 交于另一点Q .若 E 的离心率为 2 2 ， PBD 的最大面积等于 3 2 2 . （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）若直线 ,BP BQ 分别与 x 轴交于点 ,M N ，试判断 OM ON 是否为定值. (21) （12 分） 已知函数 )1ln()(  xaxxf ， 1)(  xexg x ．曲线 )(xfy  与 )(xgy  在原点处的切 线相同. （Ⅰ）求函数 )(xf 单调区间； （Ⅱ）当 0x 时， )()( xkfxg  ，求实数 k 的取值范围． 请考生在第  22 、  23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 (22) （10 分）选修 4 4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 1C 的极 坐标方程为 4sin  ， M 为曲线 1C 上异于极点的动点，点 P 在射线 OM 上，且 , 2 5,OP OM 成等比数列． （Ⅰ）求点 P 的轨迹 2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知 (0,3)A , B 是曲线 2C 上的一点且横坐标为 2 ，直线 AB 与 1C 交于 ,D E 两点，试求 AD AE 的值． - 6 - (23) （10 分）选修 4 5 ：不等式选讲 已知 2( ) ( )f x x a a   R ， ( ) 1 2g x x x    （Ⅰ）若 4a   ，求不等式 ( ) ( )f x g x 的解集； （Ⅱ）若 [0,3]x 时， ( ) ( )f x g x 的解集为空集，求 a 的取值范围． - 7 - 理科数学参考答案(31) 一、选择题 DBDAC CDDDA CD 二、填空题 13、 4 14、 8 7 15、 ]1,2[ 16、 1M 三、解答题 17.（1） 4B  （2） ABC 的面积为 2 18.（1）∵ 2AD  ， 3AE  ， 5DE  ，由勾股定理得： AD DE -------1 分 又正方形 ABCD 中 AD DC ，且 DE DC D ∴ AD  面 EDC ---------------3 分 ∵ AD  面 ABCD ，∴平面 ABCD  平面 EDC --------------4 分 （2）解：由（Ⅰ）知 EDC 是二面角 E AD C  的平面角 ----------5 分 作 OE CD 于O ，则 cos 1OD DE EDC    ， 2OE  且由平面 ABCD  平面 EDC ，平面 ABCD  平面 EDC CD ，OE  面 EDC 得： OE  面 ABCD --------------6 分 取 AB 中点 G ，连结OG ，则OG CD -----------------7 分 如图，建立空间直角坐标系， 则 (2, 1,0)A  、 (2,1,0)B 、 (0, 1,0)D  、 (0,0,2)E ∴ ( 2,1,2)AE   ， EF 的一个方向向量 (2,2,0)DB  ---8 分 设面 AEF 的一个法向量 ( , , )n x y z ， 则 2 2 0 2 2 0 n AE x y z n DB x y                ， 取 2x  ，得： (2,2, 3)n   -----------------9 分 又面 EDC 一个法向量为： (1,0,0)m  ---------------10 分 ∴ 2 17cos , 17 n mn m n m         ----------11 分 设面 AEF 与面 EDC 所成二面角为 ，由 为锐角得： 2 17cos cos , 17n m    - 8 - 19.（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间 ,9 7 e e     内，即  0.302 , 0.388y x  则随机抽取的 6 件合格产品中，有 3 件为优等品，3 件为非优等品 ------------1 分 现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，则取到优等品的件数 0 ,1, 2 , 3  0 3 3 3 3 6 1( 0) 20 C CP C     ， 1 2 3 3 3 6 9( 1) 20 C CP C     ， 2 1 3 3 3 6 9( 2) 20 C CP C     ， 3 0 3 3 3 6 1( 3) 20 C CP C     -------------3 分  的分布列为  0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 1 9 9 1 3( ) 0 1 2 320 20 20 20 2E           -----------------5 分 （2）解：对 by c x  （ , 0b c  ）两边取自然对数得 ln ln lny c b x  ， 令 ln , lni i i iv x u y  ，得u b v a   ，且 lna c ， -------------6 分 （ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有， 1 222 1 75.3 24.6 18.3 6 0.27 1 101.4 24.6 6 0.54 2 n i i i n i i v u nvu b v nv              - --------------7 分 118.3 24.6 6 12a u bv             ，得 ˆ ˆln 1a c  ，故 ˆc e -----8 分 所求 y 关于 x 的回归方程为 1 2y e x  --------------9 分 （ⅱ）由（ⅰ）可知， 1 2ˆy e x  ，则 ˆ 2 0.32z e x x  由优等品质量与尺寸的比   1 2ˆ , 7 , 99 7 y ex e e e xx x x         ，即  49 , 81x 令  7 , 9t x  ， 2 2 2ˆ( ) 0.32 2 0.32( )0.32 0.32 e ez t t et t       - 9 - 当  8.5 7 , 90.32 et x    时， ˆz 取最大值 - -------------12 分 即优等品的尺寸 72.3x  （mm），收益 ˆz 的预报值最大. 20 （1）由题意，可得 PBD 的最大面积为 1 3 232 2b a   ，即 2ab  .……① 又 2 2 ce a   ……② ....................................................................................................................2 分 2 2 2a b c  ……③ ........................................................................................................................3 分 联立①②③，解得 2a  ， 1b  ， 故 E 的方程 2 2 12 x y  . ...............................................................................................................4 分 （2）设直线 DP 的方程为 2y kx  ， 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y . .............................................5 分 联立方程组 2 2 2, 1,2 y kx x y     消去 y ，得 2 22( 2) 2x kx   ，......................................................6 分 整理，得 2 2(2 1) 8 6 0k x kx    ，.............................................................................................7 分 由韦达定理，得 1 2 1 22 2 8 6,2 1 2 1 kx x x xk k     ，....................................................................8 分 又直线 BP 的方程为 1 1 1 1yy xx   ，所以 1 1 ,01 xM y      ，..................................................... 9 分 直线 BQ 的方程为 2 2 1 1yy xx   ，所以 2 2 ,01 xN y      ，.......................................................10 分 所以 1 2 1 21 1 x xOM ON y y     ..............................................................................................11 分 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 6 2 ( 3)( 3) 3 ( ) 9 6 24 9(2 1) 3 x x x x kx kx k x x k x x k k k            ， 即 OM ON 为定值 2 3 .................................................................................................................................. 12 分 21.（1） 1a ，减区间 )0,1( ，增区间 ),0(  ……………………5 分 （2） 1k ……………………12 分 - 10 - 22（1）解：（1）设 ( , )P   ， 1( , )M   ， 则由 ,2 5,OP OM 成等比数列，可得 20OP OM  ，………………………………1 分 即 1 =20  ， 1 20=  ．………………………………2 分 又 1( , )M   满足 1 4sin  ，即 20 4sin  ，………………………………3 分 ∴ sin 5   ，………………………………4 分 化为直角坐标方程为 5y  ．………………………………5 分 （2）依题意可得 (2,5)B ，故 1ABk  ，即直线 AB 倾斜角为 4  ，……………………6 分 ∴直线 AB 的参数方程为 2 ,2 23 ,2 x t y t      ………………………………7 分 代入圆的直角坐标方程 2 2( 2) 4x y   ，得 2 2 3 0t t   ，……………………8 分 故 1 2 2t t   ， 1 2 3 0t t    ，………………………………9 分 ∴ 1 2 2AD AE t t    ．………………………………10 分 23．选修 4 5 ：不等式选讲 (1)当 4a   时， ( ) ( )f x g x 化为 2 4 1 2x x x     ， …………1 所以 ( )f x x 解集为 | 1 6x x x    或 3x  ． …………5 分 (2) 由题意可知，即为 [0,3]x 时， ( ) ( )f x g x 恒成立． …………6 分 当 0 2x  时， 2 3x a  ，得  2 min 3 1a x    ；…………8 分 当 2 3x  时， 2 2 1x a x   ，得  2 min +2 1 4a x x     ， 综上， 4a   ．…………10 分