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- 2021-06-16 发布
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江西省南昌市安义中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
第I卷(选择题)
一、单选题
1.已知全集,集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得,
,
∴,∴.故选C.
2.在映射中,,且,则元素在作用下的原像是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,解得
在作用下的原像是
故答案选A
3.下列各组函数中,表示同一函数是( )
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
【答案】B
【解析】对于A,函数与的对应关系不同,不是相同函数;
对于B, ,函数的定义域为,的定义域为R,所以,函数与是同一函数;
对于C,函数与的定义域不同,不是相同函数;
对于D,由得,,
,,故函数与的定义域不同,不是相同函数;
故选:
4.已知函数在R上是增函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于分段函数:
一次函数单调递增,则
指数函数单调递增,则
且当时,应满足
结合可得实数的取值范围是
故答案选D
5.已知方程的两个根为,则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】因为方程的两个根为,
由韦达定理可得,
又,
故选B.
6.设,下列从到的对应法则不是映射的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】选项A:,集合 中的任一元素在集合中都有唯一元素对应,是映射;
选项B: ,集合 中的元素6,在集合中不存在元素与之对应,不是映射;
选项C: ,集合 中的任一元素在集合中都有唯一元素对应,是映射;
选项D: 集合 中的任一元素在集合中都有唯一元素对应,是映射;
故选:B
7.若函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数的图象是开口方向朝上,以直线为对称轴的抛物线
又函数在区间上是减函数,
故解得
则实数的取值范围是故选
8.下列函数中在定义域上为增函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,故为增函数;
,当时,为减函数;为减函数;
为减函数故答案选A
9.函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数,其图象关于轴对称,因为,所以排除选项;当时,有一零点,设为,当时,为减函数,当时,为增函数.故选D
10.已知,,,则的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】,
故答案选C
11.若函数为奇函数且在上为减函数,又,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】是奇函数,且在上为减函数
在内是减函数,又,
当时,
当时,
的解集是
故答案选A .
12.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:, ,已知函数,则函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,由于
的值域为:
根据表示不超过的最大整数
函数的值域是.故选:D.
第II卷(非选择题)
二、填空题
13.函数图象一定过点______.
【答案】
【解析】∵函数y=ax﹣3+1(a>0且a≠1),a0=1
∴a3﹣3+1=2,∴f(3)=2
∴函数y=ax﹣3+1(a>0且a≠1)的图象必经过点(3,2)
故答案为(3,2)
14.已知函数,若f(-2)=2,求f(2)=________.
【答案】
【解析】函数f(x)=ax5﹣bx+|x|﹣1,若f(﹣2)=2,
可得:﹣32a+2b+1=2,即32a﹣2b=﹣1
f(2)=32a﹣2b+1=﹣1+1=0
故答案为0.
15.甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游,当地有,,,,,六件手工纪念品,他们打算每人买一件,甲说:只要不是就行;乙说:,,,都行;丙说:我喜欢,但是只要不是就行;丁说:除了,之外,其他的都可以.据此判断,他们四人可以共同买的手工纪念品为__________.
【答案】
【解析】甲可以选择的手工纪念品的集合为:,乙可以选择的手工纪念品的集合为,丙可以选择的手工纪念品的集合为 丁可以选择的手工纪念品的集合为,这四个集合的交集中只有元素F
故答案为F
16.对于实数和,定义运算“”:,设函数,若方程恰有两个不同的解,则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】令,求得,则,画出函数的图象,如图,方程恰有两个不同的解,即是函数的图象与直线有个交点,数形结合可得,,
故答案为.
三、解答题(共70分)
17.计算:
(1)
(2)
解:(1)
=
==99,
(2)=.18.已知全集为,函数的定义域为集合,集合.
(1)求;
(2)若,求实数的取值范围.
解:(1)由 得, 函数 的定义域,又,
得,.
(2),①当 时,满足要求, 此时, 得;②当 时,要,则,解得,由①② 得,,实数 的取值范围.
19.已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式;
(2)若在上不是单调函数,求实数的取值范围.
解:(1)由 或
又为偶函数,则:此时:.
(2)在上不是单调函数,则的对称轴满足
即:.
20.若二次函数满足,且
(1)求的解析式;
(2)设,求在的最小值的表达式.
解:(1)设,由得,
故.
因为,
所以,
整理得所以,解得.
所以.
(2)由(1)得,
故函数的图象是开口朝上、以为对称轴的抛物线,
①当,即时,则当时,取最小值3;
②当,即时,则当时,取最小值;
③当,即时,则当时,取最小值.
综上.
21.已知函数.
(1)求函数的解析式;
(2)对任意的实数,都有恒成立,求实数的取值范围.
解:(1)令
∴
即:∴.
(2)由
即:
又因为:,∴
令,则:
又在为减函数,在为增函数.
∴
∴,即:.
22.设函数,,,.
(1)用函数单调性的定义在在证明:函数在区间上单调递减,在上单调递增;
(2)若对任意满足的实数,都有成立,求证:.
解:证明: (1)在区间(0,1上任取,且,则有
∵,且,∴
所以
即在区间(0,1上是减函数.
同理可证在1,+∞)上单调递增
(2)∵ ,即,又因为,
∴ ,即.
令,由(1)可得,即,
即上恒成立
法1:令,
因为,所以h(t)是关于t的一次函数
所以,要想恒成立
必须,又
所以
法2:
又,所以
所以
又,所以
所以