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- 2021-06-16 发布
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江苏省泰州中学2021届高三第一次月度检测
一、单选题(在每小题给出的选项中,只有1项符合题意)
1.已知集合,,则( ).
A. B. C. D.
答案:A
提示:对数的真数大于0,取交集.
2.若复数为纯虚数,则实数的值为( ).
A.1 B.0 C. D.
答案:D
提示:代入验算.
3.二项式的展开式中的常数项为( ).
A. B. C.6 D.
答案:D
提示:
4.已知向量,满足,且,,则与的夹角为( ).
A. B. C. D.
答案:D
提示:注意到数量关系,画图即可.
5.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长,专家预测经过年可能增长到原来的倍,则函数的图象大致为( ).
A. B.
C. D.
答案:D
提示:指数函数.
6.如图,在正四棱柱中,底面的边长为3,与底面所成角的大小为,且,则该正四棱柱的外接球表面积为( ).
A. B. C. D.
答案:A
提示:体对角线
7.若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
答案:B
提示:显然0不满足排除B,不满足排除CD,不满足排除A.
8.函数的定义域为,若满足:①在内是单调函数;②存在,使在上的值域为,那么就称为“半保值函数”,若函数(,且)是“半保值函数”,则的取值范围为( ).
A. B.
C. D.
答案:B
提示:不满足排除D,含范围对称故选B.
二、多选题(在每小题给出的选项中,有多项符合要求)
9.关于双曲线:与双曲线:,下列说法正确的是( ).
A.它们有相同的渐近线 B.它们有相同的顶点
C.它们的离心率不相等 D.它们的焦距相等
答案:CD
提示:双曲线几何性质.
10.函数(,,)在一个周期内的图象如图所示,则( ).
A.该函数的解析式为
B.该函数的对称中心为,
C.该函数的单调递增区间是,
D.把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到该函数图象
答案:ACD
提示:三角图像的性质.
11.若随机变量,,其中,下列等式成立有( ).
A. B.
C. D.
答案:AC
提示:正太分布的应用.
12.已知函数,若,则下列结论正确的是( ).
A.
B.
C.
D.当时,
答案:AD
解析:A.正确;因为令,在上是增函数,
∴当时,,∴即.
B.错误;因为令,∴,
∴时,,单调递增,时,,单调递减.
∴与无法比较大小.
C.错误;因为令,,
∴时,,在单调递减,
时,,在单调递增,
∴当时,,
∴,∴,∴.
当时,∴,
∴,∴.
D.正确;因为时,单调递增,又∵A正确,
∴
.
故选AD.
三、填空题(只要求直接写出结果,不必写出计算和推理过程)
13.已知点在抛物线:()的准线上,记的焦点为,则直线的斜率为______.
答案:
提示:
14. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果,功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液;“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的概率是______.
答案:
提示:
15. 直线分别与轴、轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是______.
答案:
提示:
14. 若实数,满足,则的最大值为______.
答案:
解析:因为,,
,设,,
故原问题可转化为“已知,求的最大值”.
又因为,
所以的最大值为,当且仅当时取等号.
故答案为:.
四、解答题(评分要求为:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.在①,,且,②,③
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并给出解答.
在中,角,,的对边分别为,,,且______.
(1)求角;
(2)若,求周长的最大值.
【注】如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.设数列的前项和为,点,均在函数的图象上.
(1)数列的通项公式;
(2)记数列的前项和为,若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
19.某学校八年级共有学生400人,现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试,实践操作能力测试结果分为四个等级水平,一、二等级水平的学生实践操作能力较弱,三、四等级水平的学生实践操作能力较强,测试结果统计如下表:
等级
水平一
水平二
水平三
水平四
男生/名
4
8
12
6
女生/名
6
8
4
2
(1)根据表中统计的数据填写下面列联表,并判断是否有的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关?
实践损伤能力较弱
实践损伤能力较强
合计
男生/名
女生/名
合计
(2)现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习力测试,记抽到水平一的男生的人数为,求的分布列和数学期望.下面的临界值表供参考:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式:,其中.
20.如图,直三棱柱的侧棱长为4,,且,点,分别是棱,上的动点,且.
(1)求证:无论点在何处,总有;
(2)当三棱锥的体积取最大值时,求二面角的余弦值.
21.如图,已知直线:()关于直线对称的直线为,直线,与椭圆:分别交于点,和,,记直线的斜率为.
(1)求的值;
(2)当变化时,试问直线是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.
22.已知函数,,其中是自然对数的底数.
(1)若函数的极大值为,求实数的值;
(2)设函数,若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
江苏省泰州中学2021届高三第一次月度检测 参考答案(数学)
一、单选题
1.A 2.B 3.D 4.D 5.D
6.A 7.B 8.B
二、多选题
9.CD 10.ACD 11.AC
12.AD 【解析】解:
A.正确;因为令,在上是增函数,
∴当时,,∴即.
B.错误;因为令,∴,
∴时,,单调递增,时,,单调递减.
∴与无法比较大小.
C.错误;因为令,,
∴时,,在单调递减,
时,,在单调递增,
∴当时,,
∴,∴,∴.
当时,∴,
∴,∴.
D.正确;因为时,单调递增,又∵A正确,
∴
.
故选AD.
三、填空题
13. 14. 15.
16. 【解析】因为,,
,设,,
故原问题可转化为“已知,求的最大值”.
又因为,
所以的最大值为,当且仅当时取等号.
故答案为:.
四、解答题
17.【解析】(1)解:(1)选①∵,,且,
∴.化简得,,
由余弦定理得,又因为,∴.
选②根据正弦定理,由得,
又因为,所以,
又因为,所以,又因为,所以.
选③由,得,
即,所以,
又因为,所以,因此.
(2)由余弦定理,得.
又∵,∴,当且仅当时等号成立,
∴,解得,,当且仅当时,等号成立.
∴.∴的周长的最大值为12.
18.【解析】解:(1)依题意得,即.当时,,
当时,,∴.
(2)∵,
∴,
又,∴,解得或,即实数的取值范围为.
19.【解析】(1)
实践损伤能力较弱
实践损伤能力较强
合计
男生/名
12
18
30
女生/名
14
6
20
合计
26
24
50
所以.
所以有的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关.
(2)的取值为0,1,2,3,4.
,,,
,.
所以的分布列为
0
1
2
3
4
所以.
20.【解析】解:根据题意,以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则,,,,,.
(1)证明:设(),则.得,,
故,即总有.
(2)易知,
当且仅当时,取等号.
此时,,则,.
设平面的法向量为,则即
令,则,所以.
同理可得平面的一个法向量.
所以,
所以二面角的余弦值为.
21.【解析】(1)设直线上任意一点关于直线对称的点为,直线与直线的交点为,∴:,:,,,
由,得,①
由,得,②
由①②得 ∴.
(2)由得.设,,
∴,.
同理可得,,
,
直线:,即,
即.
∴当变化时,直线过定点.
alnx a(l-Inx)
22.【解析】(1)因为,则,因为,所以,
则当时,,单调递增,当时,,单调递减,
所以当时,的极大值,解得;
(2)由题意可知,对任意恒成立,
整理得对任意恒成立,设,
由(1)可知,在上单调递增,且当时,,
当时,,若,则,
若,因为,且在上单调递增,所以,
综上可知,对任意恒成立,即,
设,,则,所以单调递增,
所以,即的取值范围为.