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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习苏教版函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用学案

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§4.4 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 考情考向分析  以考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、 由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主,常与三角函数的性质、三角恒 等变换结合起来进行综合考查,加强数形结合思想的应用意识.题型为填空题,中档难 度. 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0),x≥0 A T=2π ω f=1 T=ω 2π ωx+φ φ 2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示: x 0-φ ω π 2-φ ω π-φ ω 3π 2 -φ ω 2π-φ ω ωx+φ 0 π 2 π 3π 2 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 3.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径 概念方法微思考 1.怎样从 y=sin ωx 的图象变换得到 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象? 提示 向左平移φ ω个单位长度. 2.函数 y=sin(ωx+φ)图象的对称轴是什么? 提示 x=kπ ω+ π 2ω-φ ω(k∈Z). 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y=sin (x-π 4 )的图象是由 y=sin (x+π 4 )的图象向右平移π 2个单位长度得到的.( √ ) (2)将函数 y=sin ωx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度,得到函数 y=sin(ωx-φ)的图 象.( × ) (3)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T 2.( √ ) (4)函数 y=sin x 的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的1 2,所得图象对应的函数解析 式为 y=sin 1 2x.( × ) 题组二 教材改编 2.[P39T2]为了得到函数 y=2sin(2x-π 3)的图象,可以将函数 y=2sin 2x 的图象向________平 移________个单位长度. 答案 右 π 6 3.[P40T5]y=2sin (1 2x-π 3)的振幅、频率和初相分别为__________________. 答案 2,1 4π,-π 3 4.[P41T1]如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b,则 这段曲线的函数解析式为__________________________. 答案 y=10sin(π 8x+3π 4 )+20,x∈[6,14] 解析 从题图中可以看出,从 6~14 时的是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期, 所以 A=1 2×(30-10)=10, b=1 2×(30+10)=20, 又1 2×2π ω=14-6,所以 ω=π 8. 又π 8×10+φ=2π+2kπ,k∈Z,取 φ=3π 4 , 所以 y=10sin(π 8x+3π 4 )+20,x∈[6,14]. 题组三 易错自纠 5 . 将 函 数 y = 2sin (2x+π 6)的 图 象 向 右 平 移 1 4个 周 期 后 , 所 得 图 象 对 应 的 函 数 为 ________________. 答案 y=2sin(2x-π 3) 解析 函数 y=2sin (2x+π 6)的周期为 π,将函数 y=2sin (2x+π 6)的图象向右平移1 4个周期,即π 4 个单位长度, 所得函数为 y=2sin[2(x-π 4 )+π 6]=2sin(2x-π 3). 6.y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________. 答案  π2+4 解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2,横坐标之差恰为半个周期 π,故它们之间的 距离为 π2+4. 7.若函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则 f (π 4 )的值为 ________. 答案  3 解析 由题干图象可知 A=2,3 4T=11π 12 -π 6=3π 4 , ∴T=π,∴ω=2,∵当 x=π 6时,函数 f(x)取得最大值, ∴2×π 6+φ=π 2+2kπ(k∈Z),∴φ=π 6+2kπ(k∈Z), 又 0<φ<π,∴φ=π 6,∴f(x)=2sin(2x+π 6), 则 f (π 4 )=2sin(π 2+π 6 )=2cos π 6= 3. 题型一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 例 1 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A > 0,ω > 0,-π 2 < φ < π 2) 的最小正周期是 π,且当 x=π 6时,f(x)取得最大值 2. (1)求 f(x)的解析式; (2)作出 f(x)在[0,π]上的图象(要列表). 解 (1)因为函数 f(x)的最小正周期是 π,所以 ω=2. 又因为当 x=π 6时,f(x)取得最大值 2. 所以 A=2, 同时 2×π 6+φ=2kπ+π 2,k∈Z, φ=2kπ+π 6,k∈Z, 因为-π 2<φ<π 2,所以 φ=π 6, 所以 f(x)=2sin(2x+π 6). (2)因为 x∈[0,π],所以 2x+π 6∈[π 6,13π 6 ], 列表如下: 2x+π 6 π 6 π 2 π 3π 2 2π 13π 6 x 0 π 6 5π 12 2π 3 11π 12 π f(x) 1 2 0 -2 0 1 描点、连线得图象: 引申探究 在本例条件下,若将函数 f(x)的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后得到函数 y=g(x)的图象, 且 y=g(x)是偶函数,求 m 的最小值. 解 由已知得 y=g(x)=f(x-m)=2sin[2(x-m)+π 6]=2sin [2x-(2m-π 6)]是偶函数, 所以 2m-π 6=π 2(2k+1),k∈Z,m=kπ 2 +π 3,k∈Z, 又因为 m>0,所以 m 的最小值为π 3. 思维升华 (1)y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换 z=ωx+φ 计算五点坐标. (2)由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩” 与“先伸缩后平移”. 跟踪训练 1 (1)(2018·南通、泰州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,将函数 y=sin (2x+π 3)的图 象向右平移 φ (0 < φ < π 2)个单位长度,若平移后得到的图象经过坐标原点,则 φ 的值为 ________. 答案 π 6 解析 y=sin (2x+π 3)的图象向右平移 φ 个单位长度后得到 y=sin(2x-2φ+π 3), 又 sin(-2φ+π 3)=0,∴-2φ+π 3=kπ(k∈Z), 又 0<φ<π 2,∴φ=π 6. (2)已知函数 f(x)=sin(ωx+π 6)(0<ω<2)满足条件:f (-1 2 )=0,为了得到函数 y=f(x)的图象, 可将函数 g(x)=cos ωx 的图象向右平移 m(m>0)个单位长度,则 m 的最小值为________. 答案 1 解析 由题意得 sin(-1 2ω+π 6)=0,即-1 2ω+π 6=kπ(k∈Z),则 ω=π 3-2kπ(k∈Z), 结合 0<ω<2,得 ω=π 3,所以 f(x)=sin(π 3x+π 6)=cos(π 2-π 3x-π 6)=cos[π 3 (x-1)], 所以只需将函数 g(x)=cos π 3x 的图象向右至少平移 1 个单位长度, 即可得到函数 y=f(x)的图象. 题型二 由图象确定 y=Asin(ωx+φ)的解析式 例 2 (1)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω > 0,|φ| < π 2)的部分图象如图所示,则 y=f (x+π 6 )取得最 小值时 x 的集合为________________. 答案 Error! 解析 根据题干所给图象,周期 T=4×(7π 12-π 3)=π,故 π=2π ω,∴ω=2, 因此 f(x)=sin(2x+φ),另外图象经过点(7π 12,0),代入有 2×7π 12+φ=π+2kπ(k∈Z), 再由|φ|<π 2,得 φ=-π 6,∴f(x)=sin(2x-π 6), ∴f (x+π 6 )=sin(2x+π 6), 当 2x+π 6=-π 2+2kπ(k∈Z),即 x=-π 3+kπ(k∈Z)时,y=f (x+π 6 )取得最小值. (2)(2019·江苏省扬州中学月考)函数 f(x)=6cos 2ωx 2 + 3sin ωx-3(ω>0)在一个周期内的图象 如图所示,A 为图象的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. ①求 ω 的值及函数 f(x)的值域; ②若 f(x0)=8 3 5 ,且 x0∈(-10 3 ,2 3),求 f(x0+1)的值. 解 ①由已知可得,f(x)=3cos ωx+ 3sin ωx=2 3sin(ωx+π 3), ∴函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3], ∴正三角形 ABC 的高为 2 3,从而 BC=4, ∴函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即2π ω=8,ω=π 4. ②∵f(x0)=8 3 5 , 由①有 f(x0)=2 3sin(π 4x0+π 3)=8 3 5 , 即 sin(π 4x0+π 3)=4 5, 由 x0∈(-10 3 ,2 3),知 π 4x0+π 3∈(-π 2,π 2), ∴cos(π 4x0+π 3)= 1-(4 5 )2=3 5. ∴f(x0+1)=2 3sin(π 4x0+π 4+π 3) =2 3sin[(π 4x0+π 3)+π 4] =2 3[sin(π 4x0+π 3)cosπ 4+cos(π 4x0+π 3)sinπ 4] =2 3(4 5 × 2 2 +3 5 × 2 2 )=7 6 5 . 思维升华 y=Asin(ωx+φ)中 φ 的确定方法 (1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或 把图象的最高点或最低点代入. (2)五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 跟踪训练 2 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B (A > 0,ω > 0,|φ| < π 2)的部分图象如图所示,将函 数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,得到函数 g(x)的图象关于点(π 3, 3 2 )对称,则 m 的最小值为________. 答案  π 12 解析 依题意得Error!解得Error! T 2=π ω=2π 3 -π 6=π 2, 故 ω=2,则 f(x)= 3sin(2x+φ)+ 3 2 . 又 f (π 6 )= 3sin(π 3+φ )+ 3 2 =3 3 2 , 故π 3+φ=π 2+2kπ(k∈Z),即 φ=π 6+2kπ(k∈Z). 因为|φ|<π 2,故 φ=π 6, 所以 f(x)= 3sin(2x+π 6)+ 3 2 . 将函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位长度后,得到 g(x)= 3sin(2x+π 6+2m)+ 3 2 的图象, 又函数 g(x)的图象关于点(π 3, 3 2 )对称,即 h(x)= 3sin (2x+π 6+2m)的图象关于点(π 3,0 )对 称, 故 3sin(2π 3 +π 6+2m)=0,即5π 6 +2m=kπ(k∈Z),故 m=kπ 2 -5π 12(k∈Z). 又 m>0,所以 m 的最小值为 π 12. 题型三 三角函数图象、性质的综合应用 命题点 1 图象与性质的综合问题 例 3 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω > 0,|φ| < π 2)的部分图象如图所示,若 f(0)= 3,且AB → ·BC → =π2 8 -8,B,C 分别为最高点与最低点. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若将 f(x)的图象向左平移π 6个单位长度,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π 2 ]上 的最大值和最小值. 解 (1)由 f(0)= 3,可得 2sin φ= 3,即 sin φ= 3 2 . 又∵|φ|<π 2,∴φ=π 3. 由题意可知,AB → =(1 4T,2),BC → =(1 2T,-4), 则AB → ·BC → =T2 8 -8=π2 8 -8,∴T=π. 故 ω=2,∴f(x)=2sin(2x+π 3). 由-π 2+2kπ≤2x+π 3≤π 2+2kπ,k∈Z, 解得-5π 12+kπ≤x≤ π 12+kπ,k∈Z, ∴函数 f(x)的单调递增区间为[-5π 12+kπ, π 12+kπ],k∈Z. (2)由题意将 f(x)的图象向左平移π 6个单位长度,得到函数 g(x)的图象, ∴g(x)=f (x+π 6 )=2sin[2(x+π 6 )+π 3] =2sin(2x+2π 3 ). ∵x∈[0,π 2 ], ∴2x+2π 3 ∈[2π 3 ,5π 3 ],sin(2x+2π 3 )∈[-1, 3 2 ]. ∴当 2x+2π 3 =2π 3 ,即 x=0 时,sin(2x+2π 3 )= 3 2 , g(x)取得最大值 3, 当 2x+2π 3 =3π 2 ,即 x=5π 12时,sin(2x+2π 3 )=-1, g(x)取得最小值-2. 命题点 2 函数零点(方程根)问题 例 4 已知关于 x 的方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0 在(π 2,π )上有两个不同的实数根,则 m 的取值范围是____________. 答案 (-2,-1) 解析 方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0 可转化为 m=1-2sin2x+ 3sin 2x=cos 2x+ 3sin 2x =2sin(2x+π 6),x∈(π 2,π ). 设 2x+π 6=t,则 t∈(7 6π,13 6 π), ∴题目条件可转化为m 2=sin t,t∈(7 6π,13 6 π)有两个不同的实数根. ∴y=m 2和 y=sin t,t∈(7 6π,13 6 π)的图象有两个不同交点,如图: 由图象观察知,m 2的取值范围是(-1,-1 2), 故 m 的取值范围是(-2,-1). 引申探究 本例中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则 m 的取值范围是__________. 答案 [-2,1) 解析 由上例题知,m 2的取值范围是[-1,1 2), ∴-2≤m<1,∴m 的取值范围是[-2,1). 命题点 3 三角函数模型 例 5 据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ωx+φ) +B (A > 0,ω > 0,|φ| < π 2)的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,9 月份价 格最低,为 5 千元,则 7 月份的出厂价格为______元. 答案 6 000 解析 作出函数简图如图: 三角函数模型为 y=Asin(ωx+φ)+B, 由题意知 A=1 2(9 000-5 000)=2 000,B=7 000, T=2×(9-3)=12, ∴ω=2π T =π 6. 将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点, 则有π 6×3+φ=π 2,∴φ=0, 故 f(x)=2 000sin π 6x+7 000(1≤x≤12,x∈N*). ∴f(7)=2 000×sin 7π 6 +7 000=6 000(元). 故 7 月份的出厂价格为 6 000 元. 思维升华 (1)研究 y=Asin(ωx+φ)的性质时可将 ωx+φ 视为一个整体,利用换元法和数形结 合思想进行解题. (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. (3)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽 象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题. 跟踪训练 3 (1)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω > 0,-π 2 ≤ φ ≤ π 2)的图象上的两个相邻的最高 点和最低点的距离为 2 2,且过点(2,-1 2),则函数 f(x)的解析式为______________. 答案 f(x)=sin(πx 2 +π 6) 解析 根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为 2 2,可得 (T 2 )2+(1+1)2=2 2, 解得 T=4, 故 ω=2π T =π 2,即 f(x)=sin(πx 2 +φ). 又函数图象过点(2,-1 2), 故 f(2)=sin(π 2 × 2+φ)=-sin φ=-1 2, 又-π 2≤φ≤π 2,解得 φ=π 6, 故 f(x)=sin(πx 2 +π 6). (2)(2019·江苏省淮海中学测试)已知函数 f(x)=4sin x·cos (x+π 3 )+ 3. ①求 f(x)在区间[-π 4,π 6]上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值; ②若方程 f(x)-t=0 在 x∈[-π 4,π 2]上有唯一解,求实数 t 的取值范围. 解 ①f(x)=4sin x(cos xcosπ 3-sin xsinπ 3)+ 3 =2sin xcos x-2 3sin2x+ 3 =sin 2x+ 3cos 2x =2sin(2x+π 3). 因为-π 4≤x≤π 6,所以-π 6≤2x+π 3≤2π 3 , 所以-1 2≤sin(2x+π 3)≤1,所以-1≤f(x)≤2, 当 2x+π 3=-π 6,即 x=-π 4时,f(x)min=-1; 当 2x+π 3=π 2,即 x= π 12时,f(x)max=2. ②因为当-π 4≤x≤ π 12时,-π 6≤2x+π 3≤π 2, 所以-1≤2sin(2x+π 3)≤2,且单调递增; 当 π 12≤x≤π 2时,π 2≤2x+π 3≤4π 3 , 所以- 3≤2sin(2x+π 3)≤2,且单调递减, 所以 f(x)=t 有唯一解时对应 t 的取值范围是 t∈[- 3,-1)或 t=2. 三角函数图象与性质的综合问题 例 (14 分)已知函数 f(x)=2 3sin(x 2+π 4 )·cos(x 2+π 4 )-sin(x+π). (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若将 f(x)的图象向右平移π 6个单位长度,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π]上 的最大值和最小值. 规范解答 解 (1)f(x)=2 3sin(x 2+π 4 )cos(x 2+π 4 ) -sin(x+π)= 3cos x+sin x[3 分] =2sin(x+π 3 ),[5 分] 于是 T=2π 1 =2π.[6 分] (2)由已知得 g(x)=f (x-π 6 )=2sin(x+π 6 ),[8 分] ∵x∈[0,π],∴x+π 6∈[π 6,7π 6 ], ∴sin(x+π 6 )∈[-1 2,1],[10 分] ∴g(x)=2sin(x+π 6 )∈[-1,2].[12 分] 故函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值为 2,最小值为-1.[14 分] 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步:(化简)将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式; 第二步:(用辅助角公式)构造 f(x)= a2+b2·(sin x· a a2+b2 +cos x· b a2+b2); 第三步:(求性质)利用 f(x)= a2+b2sin(x+φ)研究三角函数的性质. 1.(2018·南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,将函数 y=cos 2x 的图象向右平移 π 6个单位长 度得到 g(x)的图象,则 g (π 2 )的值为________. 答案 -1 2 解析 由题意得,将函数 y=cos 2x 的图象向右平移π 6个单位长度,得到 g(x)=cos (2x-π 3)的图 象, 所以 g(π 2 )=cos(π-π 3 )=-1 2. 2.若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移 φ 个单位长度,所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是________. 答案 3π 8 解析 f(x)=sin 2x+cos 2x= 2cos(2x-π 4),将函数 f(x)的图象向右平移 φ 个单位长度后所得 图象对应的函数为 y= 2cos(2x-π 4-2φ),且该函数为偶函数, 故 2φ+π 4=kπ(k∈Z),所以 φ 的最小正值为3π 8 . 3.函数 f(x)=cos(ωx+π 6)(ω>0)的最小正周期是 π,则其图象向右平移π 3个单位长度后对应函数 的单调递减区间是________________. 答案 [π 4+kπ,3π 4 +kπ](k∈Z) 解析 由题意知 ω=2π π =2,将函数 f(x)的图象向右平移π 3个单位长度后得到函数 g(x)=cos [2(x-π 3 )+π 6]=cos(2x-π 2)=sin 2x 的图象,由 2kπ+π 2≤2x≤2kπ+3π 2 (k∈Z),解得所求函数的 单调递减区间为[kπ+π 4,kπ+3π 4 ](k∈Z). 4.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω > 0,|φ| < π 2)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递增区间为 ________. 答案 [-3+8k,1+8k](k∈Z) 解析 由题图知,T=4×(3-1)=8,所以 ω=2π T =π 4, 所以 f(x)=sin(π 4x+φ).把(1,1)代入,得 sin(π 4+φ )=1,即π 4+φ=π 2+2kπ(k∈Z), 又|φ|<π 2,所以 φ=π 4,所以 f(x)=sin(π 4x+π 4).由 2kπ-π 2≤π 4x+π 4≤2kπ+π 2(k∈Z), 得 8k-3≤x≤8k+1(k∈Z), 所以函数 f(x)的单调递增区间为[8k-3,8k+1](k∈Z). 5.(2018·江苏泰州中学月考)将函数 y=sin 2x 的图象向右平移 φ 个单位长度(φ>0),使得平移 后的图象仍过点(π 3, 3 2 ),则 φ 的最小值为________. 答案 π 6 解析 将 y=sin 2x 的图象向右平移 φ 个单位长度(φ>0)得到 y=sin 2(x-φ), 代入点(π 3, 3 2 )得 3 2 =sin(2π 3 -2φ), 因为 φ>0,所以当2π 3 -2φ=π 3时,第一个正弦值为 3 2 的角,此时 φ 最小,为π 6. 6.将函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ| < π 2)的图象向左平移π 6个单位长度后关于原点对称,则函数 f(x) 在[0,π 2 ]上的最小值为________. 答案 - 3 2 解析 将函数 f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移 π 6个单位长度得到 y=sin[2(x+π 6 )+φ]=sin (2x+π 3+φ)的图象,该图象关于原点对称,即为奇函数,则π 3+φ=kπ(k∈Z), 又|φ|<π 2,所以 φ=-π 3,即 f(x)=sin(2x-π 3). 当 x∈[0,π 2 ]时,2x-π 3∈[-π 3,2π 3 ], 所以当 2x-π 3=-π 3,即 x=0 时,f(x)取得最小值,最小值为- 3 2 . 7.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω > 0,|φ| < π 2)的部分图象如图所示,则 f ( π 24 )=________. 答案  3 解析 由题干图象知π ω=2×(3π 8 -π 8)=π 2, 所以 ω=2. 因为 2×π 8+φ=kπ+π 2(k∈Z), 所以 φ=kπ+π 4(k∈Z), 又|φ|<π 2,所以 φ=π 4, 这时 f(x)=Atan(2x+π 4). 又函数图象过点(0,1),代入上式得 A=1,所以 f(x)=tan(2x+π 4). 所以 f( π 24 )=tan(2 × π 24+π 4)= 3. 8.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω > 0,|φ| < π 2)的部分图象如图所示,又 x1,x2∈(-π 6,π 3),且 f(x1) =f(x2),则 f(x1+x2)=________. 答案  3 2 解析 由题图可知,T 2=π 3-(-π 6 )=π 2, 则 T=π,ω=2,又 -π 6+π 3 2 = π 12, 所以 f(x)的图象过点( π 12,1), 即 sin(2 × π 12+φ)=1, 所以 2× π 12+φ=π 2+2kπ,k∈Z, 又|φ|<π 2,可得 φ=π 3,所以 f(x)=sin(2x+π 3). 由 f(x1)=f(x2),x1,x2∈(-π 6,π 3), 可得 x1+x2=-π 6+π 3=π 6, 所以 f(x1+x2)=f (π 6 )=sin(2 × π 6+π 3)=sin2π 3 = 3 2 . 9.(2018·南京模拟)在同一直角坐标系中,函数 y=sin (x+π 3 )(x∈[0,2π])的图象和直线 y=1 2 的交点的个数是________. 答案 2 解析 方法一 令 sin(x+π 3 )=1 2,可得 x+π 3=2kπ+π 6或 x+π 3=2kπ+5π 6 ,k∈Z, 即 x=2kπ-π 6或 x=2kπ+π 2,k∈Z,又 x∈[0,2π],所以 x=11π 6 或 x=π 2, 故原函数图象与 y=1 2的交点的个数是 2. 方法二 在同一个坐标系下画出这两个函数图象,可得交点个数为 2. 10.已知函数 f(x)=cos(3x+π 3),其中 x∈[π 6,m ],若 f(x)的值域是[-1,- 3 2 ],则 m 的取值 范围是________. 答案 [2π 9 ,5π 18] 解析 画出函数的图象如图所示. 由 x∈[π 6,m ],可知5π 6 ≤3x+π 3≤3m+π 3, 因为 f(π 6 )=cos 5π 6 =- 3 2 且 f(2π 9 )=cos π=-1,要使 f(x)的值域是[-1,- 3 2 ], 只要2π 9 ≤m≤5π 18,即 m∈[2π 9 ,5π 18]. 11.已知函数 f(x)=2sin(2ωx+π 6)(其中 0<ω<1),若点(-π 6,0)是函数 f(x)图象的一个对称中 心. (1)求 ω 的值,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)先列表,再作出函数 f(x)在区间[-π,π]上的图象. 解 (1)因为点(-π 6,0)是函数 f(x)图象的一个对称中心, 所以-ωπ 3 +π 6=kπ(k∈Z),ω=-3k+1 2(k∈Z), 因为 0<ω<1,所以当 k=0 时,可得 ω=1 2. 所以 f(x)=2sin(x+π 6 ). 令 2kπ-π 2≤x+π 6≤2kπ+π 2(k∈Z), 解得 2kπ-2π 3 ≤x≤2kπ+π 3(k∈Z), 所以函数的单调递增区间为[2kπ-2π 3 ,2kπ+π 3](k∈Z). (2)由(1)知,f(x)=2sin(x+π 6 ),x∈[-π,π], 列表如下: x+π 6 -5π 6 -π 2 0 π 2 π 7π 6 x -π -2π 3 -π 6 π 3 5π 6 π f(x) -1 -2 0 2 0 -1 作出函数部分图象如图所示: 12.设函数 f(x)=sin(ωx-π 6)+sin(ωx-π 2),其中 0<ω<3.已知 f (π 6 )=0. (1)求 ω; (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向 左平移π 4个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在[-π 4,3π 4 ]上的最小值. 解 (1)因为 f(x)=sin(ωx-π 6)+sin(ωx-π 2), 所以 f(x)= 3 2 sin ωx-1 2cos ωx-cos ωx = 3 2 sin ωx-3 2cos ωx= 3(1 2sin ωx- 3 2 cos ωx) = 3sin(ωx-π 3). 由题设知 f (π 6 )=0, 所以ωπ 6 -π 3=kπ,k∈Z, 故 ω=6k+2,k∈Z.又 0<ω<3, 所以 ω=2. (2)由(1)得 f(x)= 3sin(2x-π 3), 所以 g(x)= 3sin(x+π 4-π 3)= 3sin(x- π 12). 因为 x∈[-π 4,3π 4 ], 所以 x- π 12∈[-π 3,2π 3 ], 当 x- π 12=-π 3,即 x=-π 4时,g(x)取得最小值-3 2. 13.将函数 f(x)=sin(2x+θ)(-π 2 < θ < π 2)的图象向右平移 φ(0<φ<π)个单位长度后,得到函数 g(x) 的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P(0, 3 2 ),则 φ 的值为________. 答案 5π 6 解析 g(x)=sin[2(x-φ)+θ]=sin(2x-2φ+θ), 若 f(x),g(x)的图象都经过点 P(0, 3 2 ), 所以 sin θ= 3 2 ,sin(-2φ+θ)= 3 2 , 又-π 2<θ<π 2, 所以 θ=π 3,sin(π 3-2φ)= 3 2 . 又 0<φ<π,所以-5π 3 <π 3-2φ<π 3, 所以π 3-2φ=-4π 3 . 即 φ=5π 6 . 14.已知函数 f(x)= 3sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中,若 相邻交点距离的最小值为π 3,则 f(x)的最小正周期为________. 答案 π 解析 f(x)= 3sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+π 6)(ω>0). 由 2sin(ωx+π 6)=1,得 sin(ωx+π 6)=1 2, ∴ωx+π 6=2kπ+π 6或 ωx+π 6=2kπ+5π 6 (k∈Z). 令 k=0,得 ωx1+π 6=π 6,ωx2+π 6=5π 6 , ∴x1=0,x2=2π 3ω. 由|x1-x2|=π 3,得2π 3ω=π 3,∴ω=2. 故 f(x)的最小正周期 T=2π 2 =π. 15.已知函数 y=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于直线 x= 1 3对称.该函数的部分 图象如图所示,AC=BC= 2 2 ,C=90°,则 f (1 2 )的值为________. 答案  3 4 解析 依题意知,△ABC 是直角边长为 2 2 的等腰直角三角形, 因此其边 AB 上的高是1 2,函数 f(x)的最小正周期是 2, 故 M=1 2,2π ω=2,ω=π,f(x)=1 2sin(πx+φ). 又 f(x)的图象关于直线 x=1 3对称, ∴f (1 3 )=1 2sin(π 3+φ )=±1 2. ∴π 3+φ=kπ+π 2,k∈Z,又 0<φ<π, ∴φ=π 6, ∴f (1 2 )=1 2sin(π 2+π 6 )= 3 4 . 16.已知函数 f(x)=Asin(2x+φ)-1 2(A > 0,0 < φ < π 2)的图象在 y 轴上的截距为 1,且关于直线 x= π 12对称,若存在 x∈[0,π 2 ],使 m2-3m≥f(x)成立,则实数 m 的取值范围为______________. 答案 (-∞,1]∪[2,+∞) 解析 ∵函数 f(x)=Asin(2x+φ)-1 2(A > 0,0 < φ < π 2)的图象在 y 轴上的截距为 1, ∴Asin φ-1 2=1,即 Asin φ=3 2. ∵函数 f(x)=Asin(2x+φ)-1 2的图象关于直线 x= π 12对称, ∴2× π 12+φ=kπ+π 2,k∈Z, 又 0<φ<π 2,∴φ=π 3,∴A·sinπ 3=3 2, ∴A= 3,∴f(x)= 3sin(2x+π 3)-1 2. 当 x∈[0,π 2 ]时,2x+π 3∈[π 3,4π 3 ], ∴当 2x+π 3=4π 3 ,即 x=π 2时, f(x)min=-3 2-1 2=-2. 令 m2-3m≥-2,解得 m≥2 或 m≤1.