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- 2021-06-16 发布
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§4.4 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
考情考向分析 以考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、
由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主,常与三角函数的性质、三角恒
等变换结合起来进行综合考查,加强数形结合思想的应用意识.题型为填空题,中档难
度.
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,
ω>0),x≥0 A T=2π
ω f=1
T=ω
2π ωx+φ φ
2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示:
x
0-φ
ω
π
2-φ
ω
π-φ
ω
3π
2 -φ
ω
2π-φ
ω
ωx+φ 0 π
2 π 3π
2 2π
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
3.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
概念方法微思考
1.怎样从 y=sin ωx 的图象变换得到 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象?
提示 向左平移φ
ω个单位长度.
2.函数 y=sin(ωx+φ)图象的对称轴是什么?
提示 x=kπ
ω+ π
2ω-φ
ω(k∈Z).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=sin (x-π
4 )的图象是由 y=sin (x+π
4 )的图象向右平移π
2个单位长度得到的.( √ )
(2)将函数 y=sin ωx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度,得到函数 y=sin(ωx-φ)的图
象.( × )
(3)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为
T
2.( √ )
(4)函数 y=sin x 的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的1
2,所得图象对应的函数解析
式为 y=sin 1
2x.( × )
题组二 教材改编
2.[P39T2]为了得到函数 y=2sin(2x-π
3)的图象,可以将函数 y=2sin 2x 的图象向________平
移________个单位长度.
答案 右 π
6
3.[P40T5]y=2sin (1
2x-π
3)的振幅、频率和初相分别为__________________.
答案 2,1
4π,-π
3
4.[P41T1]如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b,则
这段曲线的函数解析式为__________________________.
答案 y=10sin(π
8x+3π
4 )+20,x∈[6,14]
解析 从题图中可以看出,从 6~14 时的是函数
y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期,
所以 A=1
2×(30-10)=10,
b=1
2×(30+10)=20,
又1
2×2π
ω=14-6,所以 ω=π
8.
又π
8×10+φ=2π+2kπ,k∈Z,取 φ=3π
4 ,
所以 y=10sin(π
8x+3π
4 )+20,x∈[6,14].
题组三 易错自纠
5 . 将 函 数 y = 2sin (2x+π
6)的 图 象 向 右 平 移 1
4个 周 期 后 , 所 得 图 象 对 应 的 函 数 为
________________.
答案 y=2sin(2x-π
3)
解析 函数 y=2sin (2x+π
6)的周期为 π,将函数 y=2sin (2x+π
6)的图象向右平移1
4个周期,即π
4
个单位长度,
所得函数为 y=2sin[2(x-π
4 )+π
6]=2sin(2x-π
3).
6.y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
答案 π2+4
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2,横坐标之差恰为半个周期 π,故它们之间的
距离为 π2+4.
7.若函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则 f (π
4 )的值为
________.
答案 3
解析 由题干图象可知 A=2,3
4T=11π
12 -π
6=3π
4 ,
∴T=π,∴ω=2,∵当 x=π
6时,函数 f(x)取得最大值,
∴2×π
6+φ=π
2+2kπ(k∈Z),∴φ=π
6+2kπ(k∈Z),
又 0<φ<π,∴φ=π
6,∴f(x)=2sin(2x+π
6),
则 f (π
4 )=2sin(π
2+π
6 )=2cos π
6= 3.
题型一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例 1 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A > 0,ω > 0,-π
2 < φ < π
2)
的最小正周期是 π,且当 x=π
6时,f(x)取得最大值 2.
(1)求 f(x)的解析式;
(2)作出 f(x)在[0,π]上的图象(要列表).
解 (1)因为函数 f(x)的最小正周期是 π,所以 ω=2.
又因为当 x=π
6时,f(x)取得最大值 2.
所以 A=2,
同时 2×π
6+φ=2kπ+π
2,k∈Z,
φ=2kπ+π
6,k∈Z,
因为-π
2<φ<π
2,所以 φ=π
6,
所以 f(x)=2sin(2x+π
6).
(2)因为 x∈[0,π],所以 2x+π
6∈[π
6,13π
6 ],
列表如下:
2x+π
6
π
6
π
2 π 3π
2 2π 13π
6
x 0 π
6
5π
12
2π
3
11π
12 π
f(x) 1 2 0 -2 0 1
描点、连线得图象:
引申探究
在本例条件下,若将函数 f(x)的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后得到函数 y=g(x)的图象,
且 y=g(x)是偶函数,求 m 的最小值.
解 由已知得 y=g(x)=f(x-m)=2sin[2(x-m)+π
6]=2sin [2x-(2m-π
6)]是偶函数,
所以 2m-π
6=π
2(2k+1),k∈Z,m=kπ
2 +π
3,k∈Z,
又因为 m>0,所以 m 的最小值为π
3.
思维升华 (1)y=Asin(ωx+φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换 z=ωx+φ
计算五点坐标.
(2)由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”
与“先伸缩后平移”.
跟踪训练 1 (1)(2018·南通、泰州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,将函数 y=sin (2x+π
3)的图
象向右平移 φ (0 < φ < π
2)个单位长度,若平移后得到的图象经过坐标原点,则 φ 的值为
________.
答案 π
6
解析 y=sin (2x+π
3)的图象向右平移 φ 个单位长度后得到 y=sin(2x-2φ+π
3),
又 sin(-2φ+π
3)=0,∴-2φ+π
3=kπ(k∈Z),
又 0<φ<π
2,∴φ=π
6.
(2)已知函数 f(x)=sin(ωx+π
6)(0<ω<2)满足条件:f (-1
2 )=0,为了得到函数 y=f(x)的图象,
可将函数 g(x)=cos ωx 的图象向右平移 m(m>0)个单位长度,则 m 的最小值为________.
答案 1
解析 由题意得 sin(-1
2ω+π
6)=0,即-1
2ω+π
6=kπ(k∈Z),则 ω=π
3-2kπ(k∈Z),
结合 0<ω<2,得 ω=π
3,所以 f(x)=sin(π
3x+π
6)=cos(π
2-π
3x-π
6)=cos[π
3
(x-1)],
所以只需将函数 g(x)=cos π
3x 的图象向右至少平移 1 个单位长度,
即可得到函数 y=f(x)的图象.
题型二 由图象确定 y=Asin(ωx+φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω > 0,|φ| < π
2)的部分图象如图所示,则 y=f (x+π
6 )取得最
小值时 x 的集合为________________.
答案 Error!
解析 根据题干所给图象,周期 T=4×(7π
12-π
3)=π,故 π=2π
ω,∴ω=2,
因此 f(x)=sin(2x+φ),另外图象经过点(7π
12,0),代入有 2×7π
12+φ=π+2kπ(k∈Z),
再由|φ|<π
2,得 φ=-π
6,∴f(x)=sin(2x-π
6),
∴f (x+π
6 )=sin(2x+π
6),
当 2x+π
6=-π
2+2kπ(k∈Z),即 x=-π
3+kπ(k∈Z)时,y=f (x+π
6 )取得最小值.
(2)(2019·江苏省扬州中学月考)函数 f(x)=6cos 2ωx
2 + 3sin ωx-3(ω>0)在一个周期内的图象
如图所示,A 为图象的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形.
①求 ω 的值及函数 f(x)的值域;
②若 f(x0)=8 3
5 ,且 x0∈(-10
3 ,2
3),求 f(x0+1)的值.
解 ①由已知可得,f(x)=3cos ωx+ 3sin ωx=2 3sin(ωx+π
3),
∴函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3],
∴正三角形 ABC 的高为 2 3,从而 BC=4,
∴函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即2π
ω=8,ω=π
4.
②∵f(x0)=8 3
5 ,
由①有 f(x0)=2 3sin(π
4x0+π
3)=8 3
5 ,
即 sin(π
4x0+π
3)=4
5,
由 x0∈(-10
3 ,2
3),知 π
4x0+π
3∈(-π
2,π
2),
∴cos(π
4x0+π
3)= 1-(4
5 )2=3
5.
∴f(x0+1)=2 3sin(π
4x0+π
4+π
3)
=2 3sin[(π
4x0+π
3)+π
4]
=2 3[sin(π
4x0+π
3)cosπ
4+cos(π
4x0+π
3)sinπ
4]
=2 3(4
5 × 2
2 +3
5 × 2
2 )=7 6
5 .
思维升华 y=Asin(ωx+φ)中 φ 的确定方法
(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或
把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
跟踪训练 2 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B (A > 0,ω > 0,|φ| < π
2)的部分图象如图所示,将函
数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,得到函数 g(x)的图象关于点(π
3, 3
2 )对称,则 m
的最小值为________.
答案 π
12
解析 依题意得Error!解得Error!
T
2=π
ω=2π
3 -π
6=π
2,
故 ω=2,则 f(x)= 3sin(2x+φ)+ 3
2 .
又 f (π
6 )= 3sin(π
3+φ )+ 3
2 =3 3
2 ,
故π
3+φ=π
2+2kπ(k∈Z),即 φ=π
6+2kπ(k∈Z).
因为|φ|<π
2,故 φ=π
6,
所以 f(x)= 3sin(2x+π
6)+ 3
2 .
将函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位长度后,得到 g(x)= 3sin(2x+π
6+2m)+ 3
2 的图象,
又函数 g(x)的图象关于点(π
3, 3
2 )对称,即 h(x)= 3sin (2x+π
6+2m)的图象关于点(π
3,0 )对
称,
故 3sin(2π
3 +π
6+2m)=0,即5π
6 +2m=kπ(k∈Z),故 m=kπ
2 -5π
12(k∈Z).
又 m>0,所以 m 的最小值为 π
12.
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
命题点 1 图象与性质的综合问题
例 3 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω > 0,|φ| < π
2)的部分图象如图所示,若 f(0)= 3,且AB
→
·BC
→
=π2
8 -8,B,C 分别为最高点与最低点.
(1)求函数 f(x)的单调递增区间;
(2)若将 f(x)的图象向左平移π
6个单位长度,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π
2 ]上
的最大值和最小值.
解 (1)由 f(0)= 3,可得 2sin φ= 3,即 sin φ= 3
2 .
又∵|φ|<π
2,∴φ=π
3.
由题意可知,AB
→
=(1
4T,2),BC
→
=(1
2T,-4),
则AB
→
·BC
→
=T2
8 -8=π2
8 -8,∴T=π.
故 ω=2,∴f(x)=2sin(2x+π
3).
由-π
2+2kπ≤2x+π
3≤π
2+2kπ,k∈Z,
解得-5π
12+kπ≤x≤ π
12+kπ,k∈Z,
∴函数 f(x)的单调递增区间为[-5π
12+kπ, π
12+kπ],k∈Z.
(2)由题意将 f(x)的图象向左平移π
6个单位长度,得到函数 g(x)的图象,
∴g(x)=f (x+π
6 )=2sin[2(x+π
6 )+π
3]
=2sin(2x+2π
3 ).
∵x∈[0,π
2 ],
∴2x+2π
3 ∈[2π
3 ,5π
3 ],sin(2x+2π
3 )∈[-1, 3
2 ].
∴当 2x+2π
3 =2π
3 ,即 x=0 时,sin(2x+2π
3 )= 3
2 ,
g(x)取得最大值 3,
当 2x+2π
3 =3π
2 ,即 x=5π
12时,sin(2x+2π
3 )=-1,
g(x)取得最小值-2.
命题点 2 函数零点(方程根)问题
例 4 已知关于 x 的方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0 在(π
2,π )上有两个不同的实数根,则 m
的取值范围是____________.
答案 (-2,-1)
解析 方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0 可转化为
m=1-2sin2x+ 3sin 2x=cos 2x+ 3sin 2x
=2sin(2x+π
6),x∈(π
2,π ).
设 2x+π
6=t,则 t∈(7
6π,13
6 π),
∴题目条件可转化为m
2=sin t,t∈(7
6π,13
6 π)有两个不同的实数根.
∴y=m
2和 y=sin t,t∈(7
6π,13
6 π)的图象有两个不同交点,如图:
由图象观察知,m
2的取值范围是(-1,-1
2),
故 m 的取值范围是(-2,-1).
引申探究
本例中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则 m 的取值范围是__________.
答案 [-2,1)
解析 由上例题知,m
2的取值范围是[-1,1
2),
∴-2≤m<1,∴m 的取值范围是[-2,1).
命题点 3 三角函数模型
例 5 据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ωx+φ)
+B (A > 0,ω > 0,|φ| < π
2)的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,9 月份价
格最低,为 5 千元,则 7 月份的出厂价格为______元.
答案 6 000
解析 作出函数简图如图:
三角函数模型为 y=Asin(ωx+φ)+B,
由题意知 A=1
2(9 000-5 000)=2 000,B=7 000,
T=2×(9-3)=12,
∴ω=2π
T =π
6.
将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点,
则有π
6×3+φ=π
2,∴φ=0,
故 f(x)=2 000sin π
6x+7 000(1≤x≤12,x∈N*).
∴f(7)=2 000×sin 7π
6 +7 000=6 000(元).
故 7 月份的出厂价格为 6 000 元.
思维升华 (1)研究 y=Asin(ωx+φ)的性质时可将 ωx+φ 视为一个整体,利用换元法和数形结
合思想进行解题.
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
(3)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽
象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.
跟踪训练 3 (1)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω > 0,-π
2 ≤ φ ≤ π
2)的图象上的两个相邻的最高
点和最低点的距离为 2 2,且过点(2,-1
2),则函数 f(x)的解析式为______________.
答案 f(x)=sin(πx
2 +π
6)
解析 根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为 2 2,可得 (T
2 )2+(1+1)2=2 2,
解得 T=4,
故 ω=2π
T =π
2,即 f(x)=sin(πx
2 +φ).
又函数图象过点(2,-1
2),
故 f(2)=sin(π
2 × 2+φ)=-sin φ=-1
2,
又-π
2≤φ≤π
2,解得 φ=π
6,
故 f(x)=sin(πx
2 +π
6).
(2)(2019·江苏省淮海中学测试)已知函数 f(x)=4sin x·cos (x+π
3 )+ 3.
①求 f(x)在区间[-π
4,π
6]上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值;
②若方程 f(x)-t=0 在 x∈[-π
4,π
2]上有唯一解,求实数 t 的取值范围.
解 ①f(x)=4sin x(cos xcosπ
3-sin xsinπ
3)+ 3
=2sin xcos x-2 3sin2x+ 3
=sin 2x+ 3cos 2x
=2sin(2x+π
3).
因为-π
4≤x≤π
6,所以-π
6≤2x+π
3≤2π
3 ,
所以-1
2≤sin(2x+π
3)≤1,所以-1≤f(x)≤2,
当 2x+π
3=-π
6,即 x=-π
4时,f(x)min=-1;
当 2x+π
3=π
2,即 x= π
12时,f(x)max=2.
②因为当-π
4≤x≤ π
12时,-π
6≤2x+π
3≤π
2,
所以-1≤2sin(2x+π
3)≤2,且单调递增;
当 π
12≤x≤π
2时,π
2≤2x+π
3≤4π
3 ,
所以- 3≤2sin(2x+π
3)≤2,且单调递减,
所以 f(x)=t 有唯一解时对应 t 的取值范围是 t∈[- 3,-1)或 t=2.
三角函数图象与性质的综合问题
例 (14 分)已知函数 f(x)=2 3sin(x
2+π
4 )·cos(x
2+π
4 )-sin(x+π).
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)若将 f(x)的图象向右平移π
6个单位长度,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π]上
的最大值和最小值.
规范解答
解 (1)f(x)=2 3sin(x
2+π
4 )cos(x
2+π
4 )
-sin(x+π)= 3cos x+sin x[3 分]
=2sin(x+π
3 ),[5 分]
于是 T=2π
1 =2π.[6 分]
(2)由已知得 g(x)=f (x-π
6 )=2sin(x+π
6 ),[8 分]
∵x∈[0,π],∴x+π
6∈[π
6,7π
6 ],
∴sin(x+π
6 )∈[-1
2,1],[10 分]
∴g(x)=2sin(x+π
6 )∈[-1,2].[12 分]
故函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值为 2,最小值为-1.[14 分]
解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤
第一步:(化简)将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式;
第二步:(用辅助角公式)构造 f(x)= a2+b2·(sin x· a
a2+b2
+cos x· b
a2+b2);
第三步:(求性质)利用 f(x)= a2+b2sin(x+φ)研究三角函数的性质.
1.(2018·南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,将函数 y=cos 2x 的图象向右平移 π
6个单位长
度得到 g(x)的图象,则 g (π
2 )的值为________.
答案 -1
2
解析 由题意得,将函数 y=cos 2x 的图象向右平移π
6个单位长度,得到 g(x)=cos (2x-π
3)的图
象,
所以 g(π
2 )=cos(π-π
3 )=-1
2.
2.若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移 φ 个单位长度,所得图象关于 y 轴对称,
则 φ 的最小正值是________.
答案 3π
8
解析 f(x)=sin 2x+cos 2x= 2cos(2x-π
4),将函数 f(x)的图象向右平移 φ 个单位长度后所得
图象对应的函数为 y= 2cos(2x-π
4-2φ),且该函数为偶函数,
故 2φ+π
4=kπ(k∈Z),所以 φ 的最小正值为3π
8 .
3.函数 f(x)=cos(ωx+π
6)(ω>0)的最小正周期是 π,则其图象向右平移π
3个单位长度后对应函数
的单调递减区间是________________.
答案 [π
4+kπ,3π
4 +kπ](k∈Z)
解析 由题意知 ω=2π
π =2,将函数 f(x)的图象向右平移π
3个单位长度后得到函数 g(x)=cos
[2(x-π
3 )+π
6]=cos(2x-π
2)=sin 2x 的图象,由 2kπ+π
2≤2x≤2kπ+3π
2 (k∈Z),解得所求函数的
单调递减区间为[kπ+π
4,kπ+3π
4 ](k∈Z).
4.函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω > 0,|φ| < π
2)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递增区间为
________.
答案 [-3+8k,1+8k](k∈Z)
解析 由题图知,T=4×(3-1)=8,所以 ω=2π
T =π
4,
所以 f(x)=sin(π
4x+φ).把(1,1)代入,得 sin(π
4+φ )=1,即π
4+φ=π
2+2kπ(k∈Z),
又|φ|<π
2,所以 φ=π
4,所以 f(x)=sin(π
4x+π
4).由 2kπ-π
2≤π
4x+π
4≤2kπ+π
2(k∈Z),
得 8k-3≤x≤8k+1(k∈Z),
所以函数 f(x)的单调递增区间为[8k-3,8k+1](k∈Z).
5.(2018·江苏泰州中学月考)将函数 y=sin 2x 的图象向右平移 φ 个单位长度(φ>0),使得平移
后的图象仍过点(π
3, 3
2 ),则 φ 的最小值为________.
答案 π
6
解析 将 y=sin 2x 的图象向右平移 φ 个单位长度(φ>0)得到 y=sin 2(x-φ),
代入点(π
3, 3
2 )得 3
2 =sin(2π
3 -2φ),
因为 φ>0,所以当2π
3 -2φ=π
3时,第一个正弦值为 3
2 的角,此时 φ 最小,为π
6.
6.将函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ| < π
2)的图象向左平移π
6个单位长度后关于原点对称,则函数 f(x)
在[0,π
2 ]上的最小值为________.
答案 - 3
2
解析 将函数 f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移 π
6个单位长度得到 y=sin[2(x+π
6 )+φ]=sin
(2x+π
3+φ)的图象,该图象关于原点对称,即为奇函数,则π
3+φ=kπ(k∈Z),
又|φ|<π
2,所以 φ=-π
3,即 f(x)=sin(2x-π
3).
当 x∈[0,π
2 ]时,2x-π
3∈[-π
3,2π
3 ],
所以当 2x-π
3=-π
3,即 x=0 时,f(x)取得最小值,最小值为- 3
2 .
7.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω > 0,|φ| < π
2)的部分图象如图所示,则 f ( π
24 )=________.
答案 3
解析 由题干图象知π
ω=2×(3π
8 -π
8)=π
2,
所以 ω=2.
因为 2×π
8+φ=kπ+π
2(k∈Z),
所以 φ=kπ+π
4(k∈Z),
又|φ|<π
2,所以 φ=π
4,
这时 f(x)=Atan(2x+π
4).
又函数图象过点(0,1),代入上式得 A=1,所以 f(x)=tan(2x+π
4).
所以 f( π
24 )=tan(2 × π
24+π
4)= 3.
8.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω > 0,|φ| < π
2)的部分图象如图所示,又 x1,x2∈(-π
6,π
3),且 f(x1)
=f(x2),则 f(x1+x2)=________.
答案 3
2
解析 由题图可知,T
2=π
3-(-π
6 )=π
2,
则 T=π,ω=2,又
-π
6+π
3
2 = π
12,
所以 f(x)的图象过点( π
12,1),
即 sin(2 × π
12+φ)=1,
所以 2× π
12+φ=π
2+2kπ,k∈Z,
又|φ|<π
2,可得 φ=π
3,所以 f(x)=sin(2x+π
3).
由 f(x1)=f(x2),x1,x2∈(-π
6,π
3),
可得 x1+x2=-π
6+π
3=π
6,
所以 f(x1+x2)=f (π
6 )=sin(2 × π
6+π
3)=sin2π
3 = 3
2 .
9.(2018·南京模拟)在同一直角坐标系中,函数 y=sin (x+π
3 )(x∈[0,2π])的图象和直线 y=1
2
的交点的个数是________.
答案 2
解析 方法一 令 sin(x+π
3 )=1
2,可得 x+π
3=2kπ+π
6或 x+π
3=2kπ+5π
6 ,k∈Z,
即 x=2kπ-π
6或 x=2kπ+π
2,k∈Z,又 x∈[0,2π],所以 x=11π
6 或 x=π
2,
故原函数图象与 y=1
2的交点的个数是 2.
方法二 在同一个坐标系下画出这两个函数图象,可得交点个数为 2.
10.已知函数 f(x)=cos(3x+π
3),其中 x∈[π
6,m ],若 f(x)的值域是[-1,- 3
2 ],则 m 的取值
范围是________.
答案 [2π
9 ,5π
18]
解析 画出函数的图象如图所示.
由 x∈[π
6,m ],可知5π
6 ≤3x+π
3≤3m+π
3,
因为 f(π
6 )=cos 5π
6 =- 3
2 且 f(2π
9 )=cos π=-1,要使 f(x)的值域是[-1,- 3
2 ],
只要2π
9 ≤m≤5π
18,即 m∈[2π
9 ,5π
18].
11.已知函数 f(x)=2sin(2ωx+π
6)(其中 0<ω<1),若点(-π
6,0)是函数 f(x)图象的一个对称中
心.
(1)求 ω 的值,并求出函数 f(x)的单调递增区间;
(2)先列表,再作出函数 f(x)在区间[-π,π]上的图象.
解 (1)因为点(-π
6,0)是函数 f(x)图象的一个对称中心,
所以-ωπ
3 +π
6=kπ(k∈Z),ω=-3k+1
2(k∈Z),
因为 0<ω<1,所以当 k=0 时,可得 ω=1
2.
所以 f(x)=2sin(x+π
6 ).
令 2kπ-π
2≤x+π
6≤2kπ+π
2(k∈Z),
解得 2kπ-2π
3 ≤x≤2kπ+π
3(k∈Z),
所以函数的单调递增区间为[2kπ-2π
3 ,2kπ+π
3](k∈Z).
(2)由(1)知,f(x)=2sin(x+π
6 ),x∈[-π,π],
列表如下:
x+π
6 -5π
6 -π
2 0 π
2 π 7π
6
x -π -2π
3 -π
6
π
3
5π
6 π
f(x) -1 -2 0 2 0 -1
作出函数部分图象如图所示:
12.设函数 f(x)=sin(ωx-π
6)+sin(ωx-π
2),其中 0<ω<3.已知 f (π
6 )=0.
(1)求 ω;
(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向
左平移π
4个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在[-π
4,3π
4 ]上的最小值.
解 (1)因为 f(x)=sin(ωx-π
6)+sin(ωx-π
2),
所以 f(x)= 3
2 sin ωx-1
2cos ωx-cos ωx
= 3
2 sin ωx-3
2cos ωx= 3(1
2sin ωx- 3
2 cos ωx)
= 3sin(ωx-π
3).
由题设知 f (π
6 )=0,
所以ωπ
6 -π
3=kπ,k∈Z,
故 ω=6k+2,k∈Z.又 0<ω<3,
所以 ω=2.
(2)由(1)得 f(x)= 3sin(2x-π
3),
所以 g(x)= 3sin(x+π
4-π
3)= 3sin(x- π
12).
因为 x∈[-π
4,3π
4 ],
所以 x- π
12∈[-π
3,2π
3 ],
当 x- π
12=-π
3,即 x=-π
4时,g(x)取得最小值-3
2.
13.将函数 f(x)=sin(2x+θ)(-π
2 < θ < π
2)的图象向右平移 φ(0<φ<π)个单位长度后,得到函数 g(x)
的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P(0, 3
2 ),则 φ 的值为________.
答案 5π
6
解析 g(x)=sin[2(x-φ)+θ]=sin(2x-2φ+θ),
若 f(x),g(x)的图象都经过点 P(0, 3
2 ),
所以 sin θ= 3
2 ,sin(-2φ+θ)= 3
2 ,
又-π
2<θ<π
2,
所以 θ=π
3,sin(π
3-2φ)= 3
2 .
又 0<φ<π,所以-5π
3 <π
3-2φ<π
3,
所以π
3-2φ=-4π
3 .
即 φ=5π
6 .
14.已知函数 f(x)= 3sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.在曲线 y=f(x)与直线 y=1 的交点中,若
相邻交点距离的最小值为π
3,则 f(x)的最小正周期为________.
答案 π
解析 f(x)= 3sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+π
6)(ω>0).
由 2sin(ωx+π
6)=1,得 sin(ωx+π
6)=1
2,
∴ωx+π
6=2kπ+π
6或 ωx+π
6=2kπ+5π
6 (k∈Z).
令 k=0,得 ωx1+π
6=π
6,ωx2+π
6=5π
6 ,
∴x1=0,x2=2π
3ω.
由|x1-x2|=π
3,得2π
3ω=π
3,∴ω=2.
故 f(x)的最小正周期 T=2π
2 =π.
15.已知函数 y=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于直线 x= 1
3对称.该函数的部分
图象如图所示,AC=BC= 2
2 ,C=90°,则 f (1
2 )的值为________.
答案 3
4
解析 依题意知,△ABC 是直角边长为 2
2 的等腰直角三角形,
因此其边 AB 上的高是1
2,函数 f(x)的最小正周期是 2,
故 M=1
2,2π
ω=2,ω=π,f(x)=1
2sin(πx+φ).
又 f(x)的图象关于直线 x=1
3对称,
∴f (1
3 )=1
2sin(π
3+φ )=±1
2.
∴π
3+φ=kπ+π
2,k∈Z,又 0<φ<π,
∴φ=π
6,
∴f (1
2 )=1
2sin(π
2+π
6 )= 3
4 .
16.已知函数 f(x)=Asin(2x+φ)-1
2(A > 0,0 < φ < π
2)的图象在 y 轴上的截距为 1,且关于直线
x= π
12对称,若存在 x∈[0,π
2 ],使 m2-3m≥f(x)成立,则实数 m 的取值范围为______________.
答案 (-∞,1]∪[2,+∞)
解析 ∵函数 f(x)=Asin(2x+φ)-1
2(A > 0,0 < φ < π
2)的图象在 y 轴上的截距为 1,
∴Asin φ-1
2=1,即 Asin φ=3
2.
∵函数 f(x)=Asin(2x+φ)-1
2的图象关于直线 x= π
12对称,
∴2× π
12+φ=kπ+π
2,k∈Z,
又 0<φ<π
2,∴φ=π
3,∴A·sinπ
3=3
2,
∴A= 3,∴f(x)= 3sin(2x+π
3)-1
2.
当 x∈[0,π
2 ]时,2x+π
3∈[π
3,4π
3 ],
∴当 2x+π
3=4π
3 ,即 x=π
2时,
f(x)min=-3
2-1
2=-2.
令 m2-3m≥-2,解得 m≥2 或 m≤1.